# OCME 第2冊 代數與方程 · v0.2

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出版／營運單位：EVEMISS TECHNOLOGY CO., LTD.

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# 第1章 變數、常數與代數式

買3件同價商品，要付多少錢？如果每件4元，商品金額是12元；如果每件5元，商品金額是15元。兩次計算的結構相同，變的是單價。我們可以先用一個字母保留這個位置，等知道它的值再計算。

本章要學的不是猜字母，而是讀懂字母的角色。讀完後，你應能分清變數、常數和係數，完整代入負數，並在計算前寫出有意義的範圍。先備是第一冊的整數、分數和運算次序。

## 1.1 字母代表什麼要先說清楚

變數是我們允許取不同值的量。當一個問題給了條件、要求找出符合條件的值時，這個待求的量通常稱為未知數。字母本身沒有永久身分：同一個p，在某題可以是已知的固定單價，在另一題也可以是需要比較的變數。

常數是在目前討論中固定的量。例如3x＋2裡的數字3和2都是固定的，但它們的作用不同。3乘著x，是x項的係數；2不帶變數，是常數項。因此，「常數」不等於「常數項」。

| 部分 | 讀法 | 在3x＋2中的作用 |
| --- | --- | --- |
| x | 先指定允許取值的量 | 變數 |
| 3x | 3乘x | 含變數的一項，係數是3 |
| 2 | 固定加上的2 | 常數項 |

同一題裡，同一個字母要保留同一個取值。不能在3x＋x中把前面的x取4、後面的x取6，卻仍說自己在計算同一個x的式子。

![3x＋2的角色對照：3是x項的係數，x是變數，2是常數項；另在明示x＝4的例子中得到14。](assets/f01-symbol-roles.svg)

本冊沒有另說明時，純代數問題中的變數取實數。ℝ代表實數全體；這裡沿用第一冊的數線與實數運算，不在本章重新構造實數。若字母表示整件商品的件數，允許值就要改成0、1、2等非負整數。

## 1.2 代數式是一個計算安排

3x表示3 × x，不是把數字3與x排成一個兩位數。ab表示a × b，a(b＋c)表示a乘上整個括號。若是a²，則表示a × a，不是2 × a。

3x＋2是一個代數式；它還沒有說「等於哪一個數」。3x＋2＝14則是一個等式，是否成立要看x。給定x＝4後算出14，是一次代入計算，不是說這個代數式對每一個x都固定等於14。

### 例題1 給定x＝4 求3x＋2的值

1. 先把省略的乘號讀出來：3x＋2＝3 × x＋2。
2. 把完整的x值4放回原位置，得到3 × 4＋2。
3. 先做乘法：3 × 4＝12。
4. 再做加法：12＋2＝14。
5. 所以，在x＝4這個給定值下，3x＋2的值是14。

檢查時可以反向看：14減去固定加上的2，剩12；12除以係數3，得到4，正好回到本題給定的x。這個反向檢查能找出代入或計算錯誤，但我們還沒有在本章建立一般的解方程方法。

若改給x＝0，同一個式子的值就是3 × 0＋2＝2。因此，不能把「在x＝4時等於14」改說成「對所有實數x都等於14」。

## 1.3 代入負數要帶著括號

把一個量代入式子時，要替換整個量，不是只替換看起來方便的一部分。負數特別需要用括號保留它的完整角色。

### 例題2 給定a＝−3 b＝5 求2a²−b的值

1. 依運算次序，2a²−b先讀成2 × (a²)−b。
2. 把a和b的完整值代入，得到2 × (−3)²−5。
3. 平方是兩個相同因子相乘：(−3)²＝(−3) × (−3)＝9。
4. 再乘上係數2：2 × 9＝18。
5. 最後減去b的值5：18−5＝13。
6. 所以2a²−b在這組給定值下等於13。

![代入對照卡依序顯示a＝−3、a²＝9、2a²＝18，再減b＝5得到13。括號保留負數作為平方底數的角色。](assets/f02-substitution.svg)

回查：結果13加回5得到18，再除以2得到9，與a²相符。但不能從a²＝9單獨判定a一定是−3，因為a＝3也有同樣的平方；本題的負號來自已給定的a＝−3。

還要分清−a²與(−a)²。前者通常讀成−(a²)，後者則是把−a整體平方。例如a＝2時，−a²＝−4，而(−a)²＝4。它們在a＝0時可以相同，但不是對所有a都相同的兩個式子。

## 1.4 允許取值的範圍也是條件

式子中若有除法，先檢查分母。6/(v−2)的分母是整個v−2，因此必須有v−2≠0，也就是v≠2。給定v＝2時，原式沒有通常實數除法的意義，不能硬填成0或無窮大。

限制也可能來自題意，而不是運算本身。件數n＝2.5可以放進8＋3n做實數計算，但在「整件、不拆售」的模型中，2.5件不是合格的件數。

### 例題3 固定包裝費加上商品金額

假設某個數學模型規定：固定包裝費8元，每件商品3元，商品只按整件計。模型還明示，即使n＝0，固定費仍是8元。若買n件，用C表示總金額。

1. 先定義符號：n是件數，只能取非負整數；C以元為單位。
2. 每件3元，n件的商品金額是3n元。
3. 加上固定費，模型寫成C＝8＋3n。
4. 若n＝5，代入得到C＝8＋3 × 5。
5. 先算商品金額3 × 5＝15，再算8＋15＝23。
6. 因此本模型中5件的總金額是23元。

單位也要回查：(3元/件) × 5件＝15元，再加8元得到23元。反向核對，23−8＝15，15/3＝5，回到原件數。

這是明示假設的合成模型，不是在宣稱真實商店都有相同收費方式。遇到真實題目，要先確認固定費何時收取、是否可以拆售，以及是否另有折扣，不能只看到數字就套式子。

## 1.5 常見錯誤

- 把係數和常數項混在一起。3x＋2中，3是固定數字，但常數項是2，不是3。
- 同一題的同一字母，前後偷偷換了不同值。
- 把2a²讀成(2a)²，或把−a²讀成(−a)²。指數作用到哪裡，要由括號和通常的運算次序判斷。
- 只替換負數的數字部分，漏掉負號或括號。
- 忘記分母非零，或把「式子算得出來」誤當成「取值符合題意」。

一個實用的計算次序是：先說明字母角色與範圍，再抄完整的式子，帶括號代入，依運算次序算值，最後核對原條件與單位。

## 1.6 本章回顧

代數式保留的是量與運算的結構。計算前先回答：字母代表什麼、哪些量固定、允許哪些值、括號涵蓋哪一部分。下一章開始比較不同寫法是否表示同一個式子；理由不能只靠挑幾個數代入。先完成下面練習並核對解答，再進入下一章。

## 1.7 練習

以下純代數題中的變數取實數；第8題另依件數模型的條件。

1. **B02-C01-Q01**　在5x−7中，x項的係數及常數項分別是什麼？不要把減號遺漏。
2. **B02-C01-Q02**　給定t＝−2，求4t＋1的值。
3. **B02-C01-Q03**　給定a＝−2，分別求−a²與(−a)²的值。
4. **B02-C01-Q04**　給定u＝3，求2(u＋4)的值，寫出括號內的計算。
5. **B02-C01-Q05**　給定x＝4時，3x＋2＝14是否成立？這能否證明它對所有實數x成立？用x＝0檢查第二個問題。
6. **B02-C01-Q06**　6/(v−2)在v＝2時是否有意義？在v＝−1時的值是多少？
7. **B02-C01-Q07**　把「先將k減去5，再把整個結果乘3」寫成代數式，並求k＝7時的值。
8. **B02-C01-Q08**　沿用例題3的模型C＝8＋3n，求n＝4時的總金額；n＝2.5是否是本模型允許的件數？

## 1.8 完整解答

### Q01

5x−7可以讀成5x＋(−7)。含x的一項是5x，所以x項的係數是5。另一項沒有變數，是常數項−7。答案不是「係數5、常數項7」，因為減號是這一項的一部分。

### Q02

1. 把t＝−2完整代入：4t＋1＝4 × (−2)＋1。
2. 先算乘法：4 × (−2)＝−8。
3. 再加1：−8＋1＝−7。
4. 因此原式的值是−7。反向核對，−7−1＝−8，而−8/4＝−2，與給定值相符。

### Q03

1. −a²的平方先算：a²＝(−2)²＝4，再取相反數，得到−a²＝−4。
2. (−a)²先處理括號：−a＝−(−2)＝2，再平方，得到(−a)²＝2²＝4。
3. 兩個答案分別是−4與4。差別在負號是否包括在平方的底數內，不是同一個算式得到兩個任意答案。

### Q04

1. 代入u＝3：2(u＋4)＝2 × (3＋4)。
2. 先算括號：3＋4＝7。
3. 再乘2：2 × 7＝14。
4. 所以原式的值是14。這裡的2乘上整個括號，不只是乘u。

### Q05

給定x＝4時，左邊3 × 4＋2＝12＋2＝14，與右邊相等，所以在這個給定值下成立。

但這不能證明「對所有實數x成立」。給定x＝0，左邊3 × 0＋2＝2，右邊仍是14，而2≠14。這個符合實數範圍的反例已足以否定「所有x」的說法。一次成立的代入檢查與一般恆等關係是不同的問題。

### Q06

1. 分母是v−2，先要求v−2≠0，也就是v≠2。
2. 在v＝2時，分母2−2＝0，所以6/(v−2)沒有通常實數除法的意義。
3. 在v＝−1時，分母(−1)−2＝−3，符合非零條件。
4. 此時6/(v−2)＝6/(−3)＝−2。
5. 用除法的反向關係檢查：(−3) × (−2)＝6，計算相符。

### Q07

先減5，要把中間結果k−5保留成一組；再乘3，所以代數式是3(k−5)。

給定k＝7，先算7−5＝2，再算3 × 2＝6。若誤寫成3k−5，代入7會得到21−5＝16，那描述的是「先乘3，再減5」，順序與題意不同。

### Q08

1. n＝4是非負整數，符合件數條件。
2. 代入C＝8＋3n，得到C＝8＋3 × 4＝8＋12＝20，總金額是20元。
3. 2.5不是整數，所以n＝2.5不屬於這個「整件、不拆售」模型的允許範圍。
4. 8＋3 × 2.5作為實數算式雖然可以計算，但算得出一個數，不會自動讓2.5件變成符合模型的輸入。



# 第2章 分配律與式的整理

3x＋2x為什麼可以寫成5x？2(x＋3)為什麼不是2x＋3？整理式子不是把相似的字挪在一起，而是在不改變值的前提下，使用明確的運算規則換一種寫法。

本章沿用實數運算。你會練習展開括號、合併同類項，再把結果反向展開或代入檢查。最後還要分清：一個反例能否定錯誤的恆等說法，但有限次代入不能代替一般的代數理由。

## 2.1 分配律作用到每一項

對實數a、b、c，分配律寫成a(b＋c)＝ab＋ac。它是本冊採用的實數運算規則之一；同時也使用乘法、加法的交換律與結合律。省略乘號時，ab仍然表示a乘b。

例如2(x＋3)，括號內有x和3兩項。外面的2要乘到兩項，所以得到2x＋2 × 3＝2x＋6。不是只乘第一項。

![分配律的面積示意取x＝4：高2、總寬7的矩形分成寬4及寬3兩塊，面積8加6等於14。一般等式的理由是分配律。](assets/f03-distributive-area.svg)

圖中取x＝4，只為看清楚分割。若用矩形長度作示意，就不能把負數x當成負的實際長度。2(x＋3)＝2x＋6對所有實數x成立的理由，是實數的分配律，不是這一張有限數值的圖。

減法也要連同符號一起處理。因為b−c＝b＋(−c)，所以a(b−c)＝ab−ac。特別是括號前面的負號，可以先讀成係數−1。

## 2.2 合併同類項是反向使用分配律

2x＋3x＝(2＋3)x＝5x。第一步是反向使用分配律，把共同的x提出來；第二步才是把係數2和3相加。

本章把變數及其各自次方完全相同的項稱為同類項。例如2x與−3x是同類項，2x²與5x²也是；但x與x²不是同類項。常數項之間可以合併。

| 可以合併的項 | 共同的變數部分 | 合併結果 |
| --- | --- | --- |
| 2x與3x | x | 5x |
| 4a²與−a² | a² | 3a² |
| 8與−5 | 沒有變數 | 3 |

xy與yx雖然字面順序不同，但在實數乘法中xy＝yx，因此3xy−2yx＝xy。判斷同類項要考慮已允許的運算規則，不是只看字母排版是否一模一樣。

x＋x²通常不能合併成2x。取x＝2，前者是2＋4＝6，後者是4，所以兩者不是恆等的寫法。個別取值時碰巧相同，不會讓它們成為同一個代數式的普遍整理規則。

### 例題1 整理3x＋2(x＋4)−5

1. 原式是3x＋2(x＋4)−5，所有括號與符號都先保留。
2. 對括號使用分配律：2(x＋4)＝2x＋8。
3. 代回原式，得到3x＋2x＋8−5。
4. 依加法的交換律與結合律，把含x的項看成一組，常數項看成另一組。
5. 含x的項是3x＋2x＝(3＋2)x＝5x。
6. 常數項是8−5＝3。
7. 合起來，原式＝5x＋3。

反向核對可以把5x拆回3x＋2x，把3寫回8−5，再把2x＋8合回2(x＋4)。每一步都有相反方向可用的等式，所以沒有偷偷換成另一個值。

再用x＝−2檢查算術：原式是3 × (−2)＋2 × ((−2)＋4)−5＝−6＋4−5＝−7；整理式是5 × (−2)＋3＝−10＋3＝−7。這次代入能幫助找錯，一般成立的理由仍是前面的運算規則。

## 2.3 括號前面的負號不能只照顧一項

若整個括號都要被減去，裡面的每一項都受影響。對任意實數u、v，−(u−v)＝−u＋v。可以先把左邊寫成(−1)(u＋(−v))，再把−1分配到兩項。

### 例題2 整理4a−(2a−3)＋2

1. 先處理被減去的整個括號：−(2a−3)＝(−1)(2a＋(−3))。
2. 分配到兩項：(−1) × 2a＝−2a，(−1) × (−3)＝3。
3. 因此原式變成4a−2a＋3＋2。
4. 合併同類項：4a−2a＝(4−2)a＝2a。
5. 合併常數項：3＋2＝5。
6. 所以4a−(2a−3)＋2＝2a＋5。

若把括號去成4a−2a−3＋2，就是漏掉了原本「減去−3」的作用。取a＝0，原式是0−(−3)＋2＝5；錯式卻得到−1，足以否定那個錯誤的恆等說法。

反向看，2a＋5可以寫成4a−2a＋3＋2，再把−2a＋3收成−(2a−3)，回到原式。這是按規則回查，不是任意加上一個括號。

## 2.4 兩個和相乘要分配兩次

### 例題3 展開(x＋2)(x＋3)

1. 先把右邊整個x＋3當作一組，對左括號的兩項分配：原式＝x(x＋3)＋2(x＋3)。
2. 第一組再分配：x(x＋3)＝x × x＋x × 3＝x²＋3x。
3. 第二組再分配：2(x＋3)＝2x＋6。
4. 合起來得到x²＋3x＋2x＋6。
5. 3x與2x是同類項，合成5x；x²不是x項，不能一起合併。
6. 因此(x＋2)(x＋3)＝x²＋5x＋6，對所有實數x成立。

![兩個和相乘的面積示意取x＝4：總寬6、總高7，四塊分別表示x²、2x、3x、6；面積16、8、12、6合計42。](assets/f04-product-area.svg)

圖只是把四個乘積放在不同區域。圖中取x＝4時，左邊是6 × 7＝42，右邊是16＋20＋6＝42；對任意實數x的等式則由前面的兩次分配律得到。負的x不能照搬成負的實際邊長。

只把首項相乘、末項相乘而寫成x²＋6，會漏掉中間的3x與2x。例如x＝1時，原式為3 × 4＝12，錯式為7。這個反例否定錯式，但不取代正確展開的逐步理由。

## 2.5 恆等與一次代入檢查

在一個明示範圍內，兩個式子對每個允許的值都相等，就稱它們在該範圍內恆等。本章的三個整理例題都沒有分母或其他排除條件，使用的規則對全部實數取值適用。

代入一個值發現不相等，可以反駁「所有值都相等」。代入幾個值都相等，只表示這些取值沒有找出錯誤，還不能單獨建立一般恆等。說明分配律、合併同類項及其他合法步驟，才是本章整理式子的主線。

## 2.6 常見錯誤

- 2(x＋3)只乘到x，漏掉2乘3。
- −(u−v)去括號時只改第一項，漏掉減去負數會得到加上相應的正數。
- 因為都含x，就把x和x²當成同類項。
- 兩個和相乘時漏掉交叉的兩個乘積。
- 把少數幾次代入相同，當成對所有實數成立的證明。

## 2.7 本章回顧

整理式子時，先處理括號，再辨認同類項，最後核對每個符號與乘積的去向。下一章要處理的是等式何時成立；式子恆等的改寫可以放進方程，但「解方程」還需要說清楚每一步是否保留全部解。先完成下面練習並核對解答，再進入下一章。

## 2.8 練習

下列變數均取實數。每題請寫出使用的整理步驟，不只寫最後結果。

1. **B02-C02-Q01**　合併2x＋5x−3x。
2. **B02-C02-Q02**　整理7−2y＋4y−1。
3. **B02-C02-Q03**　展開5(a＋2)。
4. **B02-C02-Q04**　展開−3(t−4)，保留兩個乘積的符號。
5. **B02-C02-Q05**　整理2(3x−1)＋x＋5。
6. **B02-C02-Q06**　整理6m−(m＋2)。
7. **B02-C02-Q07**　展開(z＋1)(z＋4)，把四個乘積都寫出來。
8. **B02-C02-Q08**　有人說2(x＋3)＝2x＋3對所有實數x成立。用x＝0指出問題，再用分配律給出正確整理式。

## 2.9 完整解答

### Q01

1. 三項的變數部分都是x，因此可以合併係數。
2. 2x＋5x−3x＝(2＋5−3)x。
3. 2＋5−3＝4，所以結果是4x。

### Q02

1. 依加法交換律與結合律，把式子寫成(−2y＋4y)＋(7−1)。
2. y項合併為(−2＋4)y＝2y。
3. 常數項合併為7−1＝6。
4. 結果是2y＋6。常數6不帶y，不能再和2y合併成8y。

### Q03

1. 係數5要乘到括號中的兩項：5(a＋2)＝5a＋5 × 2。
2. 算出5 × 2＝10，得到5a＋10。
3. 反向提出共同因子5，就能從5a＋10回到5(a＋2)。

### Q04

1. t−4讀成t＋(−4)。
2. 分配−3，得到(−3)t＋(−3) × (−4)。
3. 第二個乘積是12，所以結果是−3t＋12。
4. 不能把它寫成−3t−12；那是把負負相乘的符號算錯。

### Q05

1. 展開括號：2(3x−1)＝6x−2。
2. 原式變成6x−2＋x＋5。
3. 合併x項：6x＋x＝7x，這裡單獨的x有係數1。
4. 合併常數項：−2＋5＝3。
5. 所以結果是7x＋3。

### Q06

1. 整個m＋2都要被減去，所以−(m＋2)＝−m−2。
2. 原式變成6m−m−2。
3. 6m−m＝(6−1)m＝5m，因此結果是5m−2。
4. 反向把5m寫回6m−m，再把−m−2收成−(m＋2)，就回到原式。

### Q07

1. 對第一個括號分配：(z＋1)(z＋4)＝z(z＋4)＋1(z＋4)。
2. 繼續展開兩組：＝z × z＋z × 4＋1 × z＋1 × 4。
3. 寫出各乘積：＝z²＋4z＋z＋4。
4. 合併同類項：4z＋z＝5z。
5. 所以結果是z²＋5z＋4。四個乘積都已出現，沒有漏掉中間兩項。

### Q08

取x＝0，左邊2(0＋3)＝6，右邊2 × 0＋3＝3。6≠3，所以原來的「所有實數x」說法不成立。

正確使用分配律，2(x＋3)＝2x＋2 × 3＝2x＋6。後面這條恆等式的理由是把2分配到兩項，不是只因為x＝0這次剛好相等。



# 第3章 一元一次方程

計算3x＋5在x＝5時的值，是代入。現在反過來：如果已知3x＋5＝20，要如何找出所有符合條件的x？只猜到一個能用的值還不夠，我們還要說明為什麼沒有漏掉其他解。

本章的未知數取實數。核心是一元一次方程：整理後可以寫成ax＋b＝0，其中a、b是給定的實數，且a≠0。章末也會檢查整理後x項消失的等式；那兩種退化情形不屬於a≠0的這一類，必須另判斷解集。

## 3.1 解與同解的意思

讓原等式兩邊相等、而且符合原來條件的值，叫作解。把所有解放在一起，叫作解集。兩個方程在同一個允許範圍內有相同解集，就稱為同解。

例如x＋2＝5與x＝3在實數範圍內同解。不是說左邊的式子x＋2與x本身恆等，而是說能讓各自等式成立的x都是同一個3。

本章用⇔表示所列的兩個方程同解。每次寫這個符號，都要能交代兩個方向；若只知道原式成立會推出後式成立，還不能直接寫成同解。

## 3.2 哪些操作可以保留全部解

兩邊同加或同減一個在論域內有意義的量，可以用相反操作回到原式。兩邊同乘或同除一個已知非零常數，也可以用相反操作回去。

| 操作 | 反向操作 | 要保留的條件 |
| --- | --- | --- |
| 兩邊同減5 | 兩邊同加5 | 兩邊原本都有意義 |
| 兩邊同加2x | 兩邊同減2x | 同一個x，且各項在論域內有意義 |
| 兩邊同除3 | 兩邊同乘3 | 3≠0 |

把含x的量加到兩邊，也可以合法。例如對每一個固定的實數x，2x都是有意義的同一個量；加上2x後，再減去2x即可回去。不能在左右兩邊偷偷選不同的x。

「移項換號」只是這些步驟的簡稱。剛開始練習時，請寫出兩邊同做了什麼，不要把換號當成沒有理由的搬家規則。

### 例題1 解3x＋5＝20

1. 先保留原方程3x＋5＝20，未知數x取實數。
2. 兩邊同減5，得到3x＋5−5＝20−5。
3. 整理兩邊，得到3x＝15。
4. 因為3≠0，兩邊可以同除3，得到(3x)/3＝15/3。
5. 整理後得到x＝5。

每一步都可逆，所以可以摘要為：3x＋5＝20 ⇔ 3x＝15 ⇔ x＝5。

回代原式：左邊3 × 5＋5＝15＋5＝20，等於右邊，所以5確實是解。反向從x＝5出發，兩邊同乘3得到3x＝15，再同加5就回到原式。

不是只因為「試到5可用」就宣稱唯一。任何原方程的解，都必須經過這些可逆步驟得到x＝5；而5又能回到原式，因此解集恰好只有5。

![同解變形的長條示意以已求得的x＝5核對：3x加5與20平衡，同減5後3x與15平衡，再同除3得到x與5。](assets/f05-equation-balance.svg)

圖中長條按本例已求得的正數x＝5示意，不是用量圖的寬度猜出解，也不把負數解畫成負的實際重量。解的資格仍由可逆的等式步驟決定。

## 3.3 未知數在兩邊時先展開再整理

### 例題2 解2(x−3)＋4＝3x−5

1. 左邊用分配律展開：2(x−3)＋4＝2x−6＋4＝2x−2。這是對所有實數x成立的式子改寫。
2. 方程因此同解於2x−2＝3x−5。
3. 兩邊同減2x，得到−2＝x−5。
4. 兩邊同加5，得到3＝x。
5. 等號兩邊可以對調，因此x＝3。

回代原式，左邊2(3−3)＋4＝0＋4＝4；右邊3 × 3−5＝9−5＝4，所以成立。

反向核對：從x＝3先對調等號，得到3＝x；同減5得到−2＝x−5；同加2x得到2x−2＝3x−5；再把左邊改寫回2(x−3)＋4。全部步驟在實數範圍內有意義，也都能回去，所以沒有漏解或多加解。

## 3.4 分母是已知常數時可以一起清除

### 例題3 解(x−1)/3＋(x＋2)/2＝4

1. 這裡的分母是已知的3與2，都不是0，因此原式對每個實數x都有意義。
2. 取公倍數6。因為6≠0，兩邊同乘6是可逆操作。
3. 左邊的兩項及右邊都要乘6，得到2(x−1)＋3(x＋2)＝24。
4. 展開左邊：2x−2＋3x＋6＝24。
5. 合併同類項，得到5x＋4＝24。
6. 兩邊同減4，得到5x＝20。
7. 因為5≠0，兩邊同除5，得到x＝4。

回代原式：(4−1)/3＋(4＋2)/2＝3/3＋6/2＝1＋3＝4，與右邊相等。反向從x＝4依序乘5、加4，展開成兩組，再把等式兩邊同除6，可以回到原來的分數方程。

不能只讓第一個分數乘6，也不能忘記把右邊的4改成24。若分母含有未知數，還要先列非零條件；那是第9章要進一步整理的資格，本例不靠省略條件來清除分母。

## 3.5 整理後一次項消失時不要硬除以0

同樣寫著x的等式，整理後不一定還有非零的一次項。先看一般形式ax＋b＝0。

- 若a≠0，兩邊同減b，再同除a，唯一解是x＝−b/a。這才是本章核心的一元一次方程。
- 若a＝0而b≠0，等式變成b＝0，無論x取什麼都不成立，所以無解。
- 若a＝0而b＝0，等式變成0＝0。在原論域沒有額外排除點時，每一個實數x都是解。

後兩種不符合一元一次方程的非零係數條件，仍須正確描述其解集。不能看到0x＝4就寫x＝4/0，也不能看到0＝0就說x＝0。

![等式整理後的三種結果：2x＝6只有解3；2x＋3＝2x＋7沒有解；3(x−2)＝3x−6對所有實數成立。數線只是有限視窗。](assets/f06-solution-cases.svg)

圖中的空數線表示沒有符合條件的點，不是把0當成一個解；整條帶箭頭的數線表示所有實數，不把範圍限制在畫出的有限視窗。

## 3.6 回代與可逆性各自檢查什麼

回代是在檢查候選值是否符合原式。可逆性是在追蹤整個解集是否保持不變。這兩件事要配合使用。

例如x＝2若兩邊同乘0，會得到0＝0。原來的解只有2，後來的等式卻對每個實數成立，因此「同乘0」不能當成一般的同解規則。原式成立確實會推出0＝0，但從0＝0不能反推x＝2。

本章求解時只除以已確認非零的常數。把等式兩邊同除未知數，不會因為「兩邊都有同樣的字」就自動合法；若它可能是0，就不能直接做這個除法。

## 3.7 常見錯誤

- 移項時換了符號，卻說不出兩邊同做了哪個操作。
- 去括號漏乘某一項，或清分母只乘到等式的一部分。
- 除以可能為0的量，沒有保留條件。
- 只回代一個猜到的數，就宣稱已找出全部解。
- 把一次項消失後的矛盾或恆等式，都硬當成具有唯一解的一元一次方程。

## 3.8 本章回顧

完整的解方程應包含原論域、每一步操作及其資格、整理後的解集，最後回代原式。能回代成功，代表這個候選值確實可用；能交代所有同解步驟，才支持沒有增解或漏解。下一章將把這個習慣帶到不等式，但那裡還要另檢查不等號的方向。先完成下面練習並核對解答，再進入下一章。

## 3.9 練習

未知數x均取實數。前6題求解並回代；第7、8題整理後一次項消失，請判斷解集，不要強行套用非零係數的公式。

1. **B02-C03-Q01**　解x＋7＝12。
2. **B02-C03-Q02**　解4x＝28。
3. **B02-C03-Q03**　解−2x＋3＝11。
4. **B02-C03-Q04**　解5x−4＝2x＋8。
5. **B02-C03-Q05**　解3(x＋2)＝2x＋11。
6. **B02-C03-Q06**　解(x＋1)/2＝5。
7. **B02-C03-Q07**　判斷2x＋3＝2x＋7的解集。
8. **B02-C03-Q08**　判斷3(x−2)＝3x−6的解集。

## 3.10 完整解答

### Q01

1. 兩邊同減7：x＋7−7＝12−7。
2. 整理得到x＝5。加回7即可反向回到原式，因此同解。
3. 回代：5＋7＝12，所以解集只有5。

### Q02

1. 4≠0，兩邊同除4，得到x＝28/4＝7。
2. 反向同乘4可回到4x＝28，所以沒有漏掉其他解。
3. 回代：4 × 7＝28，解集只有7。

### Q03

1. 兩邊同減3，得到−2x＝8。
2. −2≠0，兩邊同除−2，得到x＝8/(−2)＝−4。
3. 每一步都能用相反操作回去，因此解集只有−4。
4. 回代原式：(−2) × (−4)＋3＝8＋3＝11。等式兩邊同除負數仍是等式，不是在這裡翻轉一個不等號。

### Q04

1. 原式5x−4＝2x＋8，兩邊同減2x，得到3x−4＝8。
2. 兩邊同加4，得到3x＝12。
3. 因3≠0，兩邊同除3，得到x＝4。
4. 回代：左邊5 × 4−4＝16，右邊2 × 4＋8＝16，符合原式。
5. 加回、減回及同乘3都合法，所以這些是同解步驟，解集只有4。

### Q05

1. 左邊展開為3x＋6，方程同解於3x＋6＝2x＋11。
2. 兩邊同減2x，得到x＋6＝11。
3. 兩邊同減6，得到x＝5。
4. 回代原式：左邊3(5＋2)＝21，右邊2 × 5＋11＝21。
5. 展開和兩次減法都可逆，因此解集只有5。

### Q06

1. 分母2固定且非零，原式對所有實數x都有意義。
2. 兩邊同乘2，得到x＋1＝10。
3. 兩邊同減1，得到x＝9。
4. 回代：(9＋1)/2＝10/2＝5。
5. 乘2與減1都可以反向操作，所以解集只有9。

### Q07

1. 兩邊同減2x，得到3＝7。
2. 3＝7是假等式，而且不再含x。沒有任何實數x能改變這個矛盾。
3. 因為同減2x是可逆步驟，原式也沒有解，解集為空集合。
4. 這不是x＝0，也不是要用0去除某個數。整理後一次項係數是0，不屬於非零係數的一元一次方程。

### Q08

1. 左邊依分配律展開：3(x−2)＝3x−6。
2. 方程變成3x−6＝3x−6，兩邊是同一個式子。
3. 也可兩邊同減3x，得到−6＝−6，始終成立。
4. 原式沒有分母或其他排除條件，所以上述改寫對每個實數x都合法，解集是ℝ。
5. 一次項消失後是恆等式，不是唯一解x＝0。也不是只代入幾個值，就把剩下所有實數猜成解。



# 第4章 不等式與解集

「至多5件」與「少於5件」不同：前者允許5，後者不允許。不等式也要保留這種邊界差別。求解不只是在最後寫出一個數，而是指出哪些值符合條件、哪些端點包含在內。

本章純代數問題的未知數取實數。先備是前三章的式子整理、同解操作與回查。圖中的數線只畫有限視窗，兩端箭頭不把實數限制成有限個刻度。

## 4.1 大小關係與端點

x＜3表示x嚴格小於3，不能取3；x≤3則可以取3。相應地，x＞3與x≥3也有相同的端點差別。

區間(−∞,3)表示所有小於3的實數；(−∞,3]包含3。圓括號排除有限端點，方括號包含有限端點。∞與−∞在這裡不是實數，所以不把它們寫成包含端點的方括號。

兩邊同加或同減一個量，大小方向不變。兩邊同乘或同除正數，方向也不變；若乘除的是負數，方向必須反過來。例如1＜2，但同乘−1後，−1＞−2。

這不是只靠這個例子訂規則。對a＜b，差b−a是正數；乘上正數仍為正，乘上負數則為負，正是順序需要保留或反轉的原因。若乘0，原來的嚴格大小差別會消失，不能用它作一般的同解操作。

### 例題1 解3x−2＜7

1. 兩邊同加2，得到3x＜9。
2. 3是正數，兩邊同除3，方向不變，得到x＜3。
3. 每一步都可用相反的合法操作回去，所以解集是(−∞,3)。
4. 用邊界檢查：x＝3時，左邊7不嚴格小於7，因此不包含3；取x＝0，左邊−2＜7，確實在解集中。

檢查幾個值不是逐一窮盡整條數線；全部解由上面的同解步驟得到。

## 4.2 除以負數要改變方向

### 例題2 解−2x＋5≥11

1. 兩邊同減5，得到−2x≥6。
2. 除數−2是負數，兩邊同除−2時，把≥改成≤。
3. 得到x≤−3，解集為(−∞,−3]。
4. x＝−3使左邊11等於右邊11，所以包含端點。
5. 取x＝−4，左邊8＋5＝13≥11；取x＝−2，左邊4＋5＝9，不符合條件。

反向從x≤−3同乘−2，方向變回≥，得到−2x≥6，再同加5回到原式。

![不等式解集以數線區分開端點與閉端點：x小於3不含3，x小於等於負3含負3；複合條件取負2到2之間且只含右端。](assets/f07-inequality-sets.svg)

## 4.3 兩個條件要分清楚且與或

−1＜2x＋3≤7要求兩個比較同時成立。「且」取共同部分；「或」只要至少一個條件成立，取兩部分的聯集。

### 例題3 解−1＜2x＋3≤7

1. 把它看成−1＜2x＋3，且2x＋3≤7。
2. 三部分同減3，得到−4＜2x≤4；這等於對兩個不等式都做同減3。
3. 同除正數2，兩個方向都不變，得到−2＜x≤2。
4. 解集為(−2,2]。x＝−2使中間值等於−1，違反左邊的嚴格小於；x＝2使中間值等於7，符合右邊的≤。
5. 每個條件都可逆，因此共同保留的範圍正是全部解。

![數線上的1小於2；同乘負1後對應點成為負1與負2，大小方向反轉。有限點示意配合正文的順序理由，不單靠兩點證明一般規則。](assets/f08-negative-order.svg)

若題目是x＜−1或x≥2，中間不是要「同時小於−1又大於等於2」，而是保留左側與右側兩段。讀錯連接詞，就會把非空的聯集誤判成沒有解。

## 4.4 本章回顧

先讀嚴格與非嚴格符號，再逐步做兩邊同運算；負數乘除一定檢查方向。寫出解集後，逐一核對端點是否包含，以及多個條件是且還是或。

## 4.5 練習

1. **B02-C04-Q01**　解x＋4≤9，說明端點是否包含。
2. **B02-C04-Q02**　解5x＞15。
3. **B02-C04-Q03**　解−3x＜6。
4. **B02-C04-Q04**　解7−2x≤1。
5. **B02-C04-Q05**　解2(x−1)≥x＋3。
6. **B02-C04-Q06**　解1≤3x＋4＜10。
7. **B02-C04-Q07**　用區間表示x＜−1或x≥2，判斷−1與2是否在解集中。
8. **B02-C04-Q08**　有人把−2x≤6整理成x≤−3。用x＝0檢查，再寫出正確解集。

## 4.6 完整解答

### Q01

兩邊同減4，得到x≤5，所以解集是(−∞,5]。代入5得到9≤9，端點包含；減4可用加4回去，因此沒有漏解。

### Q02

5是正數，同除5不改方向，得到x＞3，解集是(3,∞)。代入3只有15＝15，不符合嚴格大於，所以排除3。

### Q03

同除負數−3時，把＜改成＞，得到x＞−2，解集為(−2,∞)。例如x＝0使0＜6成立；端點−2使6＜6不成立。

### Q04

1. 兩邊同減7，得到−2x≤−6。
2. 同除−2並反轉方向，得到x≥3。
3. 解集是[3,∞)。回代3，左邊7−6＝1，符合≤1。

### Q05

先展開為2x−2≥x＋3；兩邊同減x，得x−2≥3；再同加2，得x≥5。解集為[5,∞)。展開及加減都可逆；代入5，原兩邊都等於8。

### Q06

三部分同減4，得−3≤3x＜6；同除正數3，得−1≤x＜2。解集為[−1,2)：左端可以等於，右端不可以等於。

### Q07

解集是(−∞,−1)與[2,∞)的聯集。−1不在左段，也不在右段，所以排除；2在右段，因此包含。0位於兩段之外，因此不在解集中。一般地，不在這個聯集內的實數恰好滿足−1≤x＜2：它既不滿足x＜−1，也不滿足x≥2，所以都不是解。這個整段判定來自原條件的「或」，不是只憑x＝0這一個代入值推廣。

### Q08

x＝0時，原式是0≤6，成立；錯誤結果卻要求0≤−3，不成立，表示那一步沒有保留原解。正確同除−2必須反轉方向，得到x≥−3，解集為[−3,∞)。


# 第5章 聯立一次方程

兩種票合計12張，票款又有一個總數，通常需要同時使用兩個條件。聯立方程的解不是只符合其中一條，而是同一組未知數使全部方程都成立。

本章未知數x、y取實數，解寫成有順序的(x,y)。若題目把它們解釋成件數，還要另外檢查整數與非負條件，不能把實數解直接當成合格的件數。

## 5.1 代入法保留另一條方程

把一條方程改寫成y＝某個含x的式子，再代入另一條，可以把兩個未知數暫時化成一個。原來用於替換的關係仍須保留，才能找回y並檢查整組解。

### 例題1 解x＋y＝7 且2x−y＝2

1. 第一條同減x，得到y＝7−x。
2. 將同一個y代入第二條，得到2x−(7−x)＝2。
3. 去括號並合併，得到3x−7＝2，所以3x＝9，x＝3。
4. 代回保留的關係，y＝7−3＝4。
5. 檢查第一條3＋4＝7，第二條2 × 3−4＝2，兩條都成立。

每個聯立解都必須滿足y＝7−x及代入後的方程；後者唯一決定x＝3，前者再唯一決定y＝4。反向代入也成立，因此唯一解是(3,4)，不是只試到了一組可用的數。

## 5.2 消去法與等價的方程組

兩條等式可以相加，但若只留下相加結果、把其他條件全丟掉，資訊可能變少。常用的安全做法是保留一條方程，用「另一條加上它的倍數」替換另一條；反向減回相同倍數就能復原。

### 例題2 解2x＋3y＝12 且3x−2y＝5

1. 第一條同乘非零常數2，得到4x＋6y＝24。
2. 第二條同乘非零常數3，得到9x−6y＝15。
3. 相加得到13x＝39，同時保留第一條或第二條的關係。
4. 因13≠0，得x＝3。
5. 代入第一條：6＋3y＝12，所以3y＝6，y＝2。
6. 回查第二條：9−4＝5；第一條6＋6＝12也成立。

唯一解是(3,2)。為什麼相加沒有漏掉條件？因為我們保留了一條方程：由它和相加式，可以反向減回另一條。只寫13x＝39而從此不再處理y，並不是完整解答。

![消去y的係數對照：兩條方程分別乘2與3，得到正6y及負6y；相加後13x等於39，仍保留一條原關係求y。](assets/f10-elimination.svg)

## 5.3 平行與重合對應不同代數結果

當ax＋by＝c中的a、b不全是0時，它在平面上是一條直線。兩條方程所表示的直線可以相交、平行而不同，或彼此重合。這個圖形對照要以方程的代數關係確認，不是靠畫得像不像。

### 例題3 相似寫法可能無解也可能有無限多解

先看x＋y＝3且2x＋2y＝8。

1. 第一條同乘2得到2x＋2y＝6。
2. 它與第二條相減，得到0＝2，這不可能成立。
3. 所以沒有同時符合兩條的實數組，聯立方程無解。

再把第二條改成2x＋2y＝6。

1. 這次第二條恰是第一條的2倍，沒有增加新的限制。
2. 令x＝t，其中t可取任意實數，第一條就給出y＝3−t。
3. 代入第二條，2t＋2(3−t)＝6，始終成立。
4. 因此全部解是(t,3−t)，t取任意實數。不同t給出不同的有序數對，所以有無限多解。

![三種聯立關係的平面示意：相交有一組解，平行沒有交點，重合則整條線上的點都符合。線段只畫有限視窗，分類由代數確認。](assets/f09-system-lines.svg)

「看見兩條方程」不保證兩條獨立限制。若係數全為0，還可能直接出現0＝0或0＝1，須按陳述本身判斷，不硬套直線圖。

## 5.4 本章回顧

先列出全部條件，再使用代入或可逆的消去操作。求出一個未知數後，要找回另一個，最後逐條回代。若消去後出現矛盾，沒有解；若只剩一條有效限制，就描述全部符合它的數對，不隨意挑一組當成全部。

## 5.5 練習

1. **B02-C05-Q01**　解x＋y＝5且x−y＝1。
2. **B02-C05-Q02**　解x＋2y＝8且x−y＝2。
3. **B02-C05-Q03**　解2x＋y＝7且x＋y＝4。
4. **B02-C05-Q04**　解x−y＝4且2x＋y＝11。
5. **B02-C05-Q05**　判斷x＋y＝2且2x＋2y＝5的解集。
6. **B02-C05-Q06**　描述x−2y＝1且2x−4y＝2的全部實數解，以y＝t表示。
7. **B02-C05-Q07**　檢查(2,1)是否同時符合x＋2y＝4與3x−y＝5。這兩條是否另有其他實數解？
8. **B02-C05-Q08**　x＋y＝4與x−y＝0相加得2x＝4。只留下x＝2是否足夠？用(2,0)說明，再完成原聯立方程。

## 5.6 完整解答

### Q01

兩條相加得2x＝6，所以x＝3。代入x＋y＝5，得y＝2。原式檢查3＋2＝5及3−2＝1都成立。保留一條再反向減回另一條，能復原整組，因此唯一解是(3,2)。

### Q02

第一條減第二條得3y＝6，所以y＝2。保留x−y＝2，得到x＝4。回查4＋2 × 2＝8及4−2＝2，唯一解是(4,2)。

### Q03

第一條減第二條得到x＝3。代回第二條，y＝1。檢查2 × 3＋1＝7，且3＋1＝4，所以唯一解是(3,1)。

### Q04

兩條相加得3x＝15，所以x＝5。由x−y＝4，得5−y＝4，即y＝1。回查5−1＝4及10＋1＝11，因此唯一解是(5,1)。

### Q05

第一條乘2要求2x＋2y＝4，第二條卻要求同一個左邊等於5。相減得到0＝1，矛盾，所以解集為空。這不是說x或y必須取0。

### Q06

第二條是第一條的2倍，只需保留x−2y＝1。令y＝t，便得x＝1＋2t。代回兩條，(1＋2t)−2t＝1，2(1＋2t)−4t＝2，所以全部解為(1＋2t,t)，t取任意實數。

### Q07

代入(2,1)，第一條2＋2＝4，第二條6−1＝5，都成立。再用第一條求x＝4−2y，代入第二條得12−7y＝5，故y＝1、x＝2。這也說明沒有其他實數解，唯一解是(2,1)。

### Q08

(2,0)符合2x＝4，卻不符合原第一條2＋0＝4，表示只留下相加結果會多收進不合格的數對。保留x−y＝0，再代入x＝2，得y＝2；回查兩條均成立，所以原方程組唯一解是(2,2)。


# 第6章 多項式的運算

多項式把不同次方的項組在一起。整理時要同時追蹤係數、次方及正負號；不是把所有看起來有x的東西都合成同一項。

本章以一個實數變數x為主，係數是固定實數，指數為非負整數。例如2x³−5x＋7是多項式；1/x和√x不是這個定義下的x多項式。

## 6.1 次數看最高的非零項

5x³−2x＋7的最高非零次方是3，次數為3，最高次項係數為5，常數項為7。缺少的x²項可用係數0記錄，但不會因此改變多項式的值。

非零常數多項式的次數是0。本冊不為零多項式指定通常的非負整數次數；有些其他語境另設約定，不能默默混用。多項式在一個取值時算出0，也不表示它就是零多項式。

![多項式5x³減2x加7的係數位置：三次項5、二次項0、一次項負2、常數項7；缺項的0只是位置記錄。](assets/f11-polynomial-slots.svg)

## 6.2 加法逐次方合併

### 例題1 計算(2x²−3x＋1)＋(x²＋5x−4)

1. 加上整個括號，不改變其中各項符號，得到2x²−3x＋1＋x²＋5x−4。
2. x²項合併為(2＋1)x²＝3x²。
3. x項合併為(−3＋5)x＝2x。
4. 常數合併為1−4＝−3。
5. 結果是3x²＋2x−3。

反向依次拆開三組係數，就能回到原來兩個多項式的和。取x＝1作算術檢查，原兩括號分別為0與2，和為2；結果式為3＋2−3＝2。一般恆等的理由是同類項合併，不是只靠x＝1。

## 6.3 減法先改變整個被減式的符號

### 例題2 計算(x²−2x＋3)−(2x²＋x−1)

1. 括號前的負號作用到全部三項：−(2x²＋x−1)＝−2x²−x＋1。
2. 原式變成x²−2x＋3−2x²−x＋1。
3. x²項是x²−2x²＝−x²。
4. x項是−2x−x＝−3x，常數為3＋1＝4。
5. 所以結果是−x²−3x＋4。

取x＝0，原式3−(−1)＝4，結果也為4。若把末項錯改成−1，就會錯得2；數值反查可發現這類符號錯誤。

## 6.4 乘法要寫出全部分配項

### 例題3 展開(2x−1)(x²＋x＋3)

1. 把左邊兩項分配到整個右括號，得2x(x²＋x＋3)−1(x²＋x＋3)。
2. 第一組產生2x³＋2x²＋6x。
3. 第二組產生−x²−x−3。
4. 合起來為2x³＋2x²＋6x−x²−x−3。
5. 合併同類項，得到2x³＋x²＋5x−3。

![兩項乘三項的乘積表共有六格，依序保留2x與負1乘到x²、x及3的結果；色塊是代數項的表格，不表示負的物理面積。](assets/f12-polynomial-products.svg)

六個乘積都要出現，才再合併。反向把結果拆成2x³＋2x²＋6x與−x²−x−3兩組，即可分別提出2x及−1，回到原式。

若兩個非零實係數多項式相乘，各自最高次項相乘會產生「兩者次數相加」的項，係數是兩個非零係數的乘積，因此仍非零。其他任何乘積只要至少選到其中一式較低次的項，次數就嚴格小於這個和，不能與最高次項合併抵消。因此，乘積次數是兩者次數的和。這個說明需要「兩者非零」；加法則可能因最高次項抵消而降次，不能照搬乘法結論。

## 6.5 本章回顧

加減法按相同次方對齊，減法先照顧整個括號；乘法逐項分配，再合併。最後重新檢查最高非零次方。不要把一個代入值為0、零多項式和次數為0混成同一件事。

## 6.6 練習

1. **B02-C06-Q01**　指出5x³−2x＋7的次數、最高次項係數及常數項。
2. **B02-C06-Q02**　非零常數多項式−4的次數是多少？
3. **B02-C06-Q03**　x²−x²整理後是什麼？本冊是否把它的次數說成0？
4. **B02-C06-Q04**　計算(3x²＋x−2)＋(−x²＋4x＋5)。
5. **B02-C06-Q05**　計算(4x²−x＋6)−(x²＋2x−1)。
6. **B02-C06-Q06**　展開x(x²−3x＋2)。
7. **B02-C06-Q07**　展開(2x＋1)(x−3)。
8. **B02-C06-Q08**　整理(x²＋1)＋(−x²＋x)，並說明次數為什麼不是2。

## 6.7 完整解答

### Q01

最高非零次方是3，所以次數為3；相應係數為5，常數項為7。x²項係數為0，不會把最高次項換掉。

### Q02

−4不含變數，且不是零多項式，所以次數為0。這不是說−4的值等於0。

### Q03

x²−x²的每一項都抵消，得到零多項式。本冊不給它通常的非負整數次數，不能直接回答「次數0」；次數0是非零常數的情形。

### Q04

去掉加號後的括號，按次方合併：(3−1)x²＋(1＋4)x＋(−2＋5)＝2x²＋5x＋3。每組都只合併同類項。

### Q05

先把被減式的三項改成−x²−2x＋1，再與4x²−x＋6相加。得到(4−1)x²＋(−1−2)x＋(6＋1)＝3x²−3x＋7。

### Q06

x分配到三項：x × x²−3x × x＋2x＝x³−3x²＋2x。每個乘積的次方來自相同底數的因子相乘，不是把次方直接乘上x的值。

### Q07

四個乘積是2x²、−6x、x、−3。合併中間兩項，得到2x²−5x−3。取x＝0，原式1 × (−3)＝−3，常數項也相符。

### Q08

x²與−x²抵消，剩x＋1。最高非零次方是1，所以次數為1，不是2。加法的最高次項可能抵消，不能只看原來哪裡印著最大的指數。


# 第7章 因式分解

展開把乘積寫成和，因式分解則把和改寫成乘積。兩個方向都依運算規則進行；得到一個好看的括號後，仍要展開檢查，不能只靠「很像公式」。

本章變數取實數。先練習整係數的常見例子，不宣稱每個多項式都能用整數配出一次因子。

## 7.1 提出公因式不等於任意約分

### 例題1 分解6x²＋9x

1. 兩項都可以寫成3x乘另一個式子：6x²＝3x × 2x，9x＝3x × 3。
2. 反向使用分配律，得到6x²＋9x＝3x(2x＋3)。
3. 展開回查：3x × 2x＋3x × 3＝6x²＋9x，對每個實數x成立。

這裡沒有把等式兩邊除以x，因此x＝0也包含在恆等式的範圍中。提出因式與做一個可能除以0的約分，是不同的操作。

![取x等於2作非負長度示意：公因式3x是6，另一邊2x加3是7，面積42分成24與18。一般因式分解依分配律，不依這一張圖。](assets/f13-common-factor.svg)

## 7.2 平方差來自交叉項抵消

### 例題2 分解x²−9

1. 9＝3²，所以原式是x²−3²。
2. 展開(x−3)(x＋3)，得到x²＋3x−3x−9。
3. 中間兩項抵消，結果正是x²−9。
4. 因此x²−9＝(x−3)(x＋3)，對所有實數x成立。

一般形式是a²−b²＝(a−b)(a＋b)。若原式是平方和a²＋b²，不能把同一個減號公式直接搬過來。

## 7.3 由係數尋找兩個整數

### 例題3 分解x²＋5x＋6

1. 展開(x＋r)(x＋s)，會得到x²＋(r＋s)x＋rs。
2. 要符合原式，須同時有r＋s＝5及rs＝6。
3. r＝2、s＝3同時符合這兩條；只符合乘積而不符合和，還不夠。
4. 因此候選分解是(x＋2)(x＋3)。
5. 展開檢查為x²＋3x＋2x＋6＝x²＋5x＋6，確認恆等。

![因子配對同時核對和與乘積：2與3的和5、積6符合；1與6雖然積6，和7卻不符合。](assets/f14-factor-pairs.svg)

整數配對是這類例子的方便方法，不是全部二次式都能成功。例如x²−2的實根牽涉√2，不會因為找不到整數配對就變成沒有實根；下一章再處理一般二次方程。

## 7.4 分解式子與求解方程不同

x(x−2)本身是一個乘積式子。只有在方程x(x−2)＝0中，才能進一步使用實數的零乘積性質：乘積為0時，至少一個因子為0。

理由是：若第一個因子不為0，就能合法除以它，迫使第二個因子為0；若第一個因子已為0，就在另一個分支。不能直接除以未知數x，把第一種可能性丟掉。

若乘積等於6，則不可以要求其中一個因子等於0。零乘積性質的右邊必須真的是0。

## 7.5 本章回顧

先找共同因式，再看平方差或適合的二次配對；最後一律展開回查。若用分解來解方程，先把方程整理成乘積等於0，再保留每個可能的零因子。

## 7.6 練習

1. **B02-C07-Q01**　分解4x＋8。
2. **B02-C07-Q02**　分解5x²−10x，並說明x＝0是否仍在恆等式範圍內。
3. **B02-C07-Q03**　分解x²−16。
4. **B02-C07-Q04**　分解9x²−1。
5. **B02-C07-Q05**　分解x²−7x＋12。
6. **B02-C07-Q06**　分解x²−x−6。
7. **B02-C07-Q07**　解x(x−2)＝0，說明直接約掉x會漏掉什麼。
8. **B02-C07-Q08**　檢查x²＋4＝(x−2)(x＋2)是否恆等，並用x＝0提供反例。

## 7.7 完整解答

### Q01

4x＝4 × x，8＝4 × 2，所以4x＋8＝4(x＋2)。展開右邊為4x＋8，回查相符。

### Q02

兩項都有5x，分解為5x(x−2)。展開得到5x²−10x，沒有做除以x的操作，因此x＝0仍在恆等式的範圍內。

### Q03

16＝4²，使用平方差得到(x−4)(x＋4)。展開為x²＋4x−4x−16＝x²−16。

### Q04

9x²＝(3x)²，1＝1²，因此分解為(3x−1)(3x＋1)。展開中間的正負3x抵消，剩9x²−1。

### Q05

需要兩個數的和為−7、積為12。−3與−4符合，所以分解為(x−3)(x−4)。展開x²−4x−3x＋12＝x²−7x＋12。

### Q06

需要兩個數的和為−1、積為−6。−3與2符合，所以分解為(x−3)(x＋2)。展開x²＋2x−3x−6＝x²−x−6。

### Q07

按零乘積性質，x＝0或x−2＝0，因此全部解是0與2。兩者代回原乘積都為0；反過來，每個解必須使至少一個因子為0，所以沒有其他解。直接約掉x會預先排除x＝0，漏掉這個有效解。

### Q08

右邊展開是x²−4，不是x²＋4。給定x＝0，左邊4、右邊−4，不相等，所以不是恆等式。不能把平方差的公式用來改寫平方和。


# 第8章 二次方程

一次方程整理後只剩一個非零的一次項，二次方程則有非零的二次項。它可能有兩個不同實根、一個實根，也可能沒有實根；不能沿用「方程一定只有一個答案」的習慣。

本章在實數範圍求解ax²＋bx＋c＝0，先要求a≠0。√u在u≥0時表示非負的主平方根；√9是3，而方程z²＝9的實數解是3與−3，兩個問題不要混在一起。

## 8.1 配方是在兩邊補上同一個量

(x−h)²＝x²−2hx＋h²由分配律得到。看到x²−6x，可以想到h＝3，但必須補上9，才真的是一個平方。

### 例題1 解x²−6x＋5＝0

1. 兩邊同減5，得到x²−6x＝−5。
2. 兩邊同加9，得到x²−6x＋9＝4。
3. 左邊是(x−3)²，所以方程同解於(x−3)²＝4。
4. 令u＝x−3。因u²−4＝(u−2)(u＋2)，零乘積性質給出u＝2或u＝−2。
5. 所以x＝3＋2＝5，或x＝3−2＝1。
6. 回代1得到1−6＋5＝0，回代5得到25−30＋5＝0，兩者都符合原式。

所有改寫都可逆，而u²＝4的兩個分支已完整列出，因此全部實根是1與5。不能只取主平方根2而丟掉u＝−2。

![完成平方的正長度示意取x等於2：x²加兩塊3x再補9，拼成邊長x加3的正方形，面積25。一般配方恆等式依分配律，不由數值圖單獨證明。](assets/f15-completing-square.svg)

圖展示正數x與正數3的拼合，不把本例中的−3畫成負的實際長度。負號版本及任意實數的配方，仍使用前面已述的代數恆等式。

## 8.2 一般公式的條件不能省略

從ax²＋bx＋c＝0出發，先保留a≠0，逐步完成配方：

1. 兩邊同乘非零的4a，得到4a²x²＋4abx＋4ac＝0。即使a是負數，這裡仍是等式；乘回倒數就能反向還原。
2. 兩邊同減4ac，得到4a²x²＋4abx＝−4ac。
3. 兩邊同加b²，得到4a²x²＋4abx＋b²＝b²−4ac。
4. 依分配律，左邊恰為(2ax＋b)²。因此方程同解於：

> (2ax＋b)²＝b²−4ac。

右邊記為D，稱為判別式。若D≥0，令s＝√D，則s≥0且s²＝D。再令u＝2ax＋b，平方方程u²＝D等價於(u−s)(u＋s)＝0。由零乘積性質，u＝s或u＝−s；反向把這兩個值平方，也都回到u²＝D，所以兩個分支已完整列出。也就是2ax＋b＝±√D。由2a≠0再同除2a，得到：

> x＝(−b±√D)/(2a)。

±表示兩個分支，不是任意挑一個。D＞0時兩根不同；D＝0時兩個寫法得到同一個數，只算一個不同實根，通常稱為二重根；D＜0時實數平方不可能等於負數，所以沒有實根。這裡的「沒有」只限實數範圍。

### 例題2 解2x²＋3x−2＝0

1. a＝2、b＝3、c＝−2，先確認a≠0。
2. D＝3²−4 × 2 × (−2)＝9＋16＝25。
3. 代入公式，x＝(−3±5)/4。
4. 加號分支是2/4＝1/2；減號分支是−8/4＝−2。
5. 回代1/2：2 × (1/4)＋3/2−2＝0；回代−2：8−6−2＝0。
6. D＞0且公式由可逆配方得到，全部實根是1/2與−2。

## 8.3 負判別式不是計算器故障

### 例題3 解x²＋2x＋5＝0

1. 兩邊同減5再同加1，得到x²＋2x＋1＝−4。
2. 左邊是(x＋1)²，所以要有某個實數的平方等於−4。
3. 實數平方皆非負，這個要求不可能，所以沒有實根。
4. 也可檢查D＝2²−4 × 1 × 5＝−16＜0，結論一致。

![三條二次曲線的有限取樣示意：x²減1有兩個實零點，x²有一個，x²加1沒有實零點；根數由代數與平方非負性判斷，不由取樣窮盡實數。](assets/f16-quadratic-roots.svg)

## 8.4 本章回顧

先確認二次係數不為0，再選擇因式分解、配方或公式。平方根的主值與解平方方程的正負分支不同；算出候選根後仍要回代原式，但全部解的完整性來自合法變形與完整分支。

## 8.5 練習

1. **B02-C08-Q01**　求x²＝9的全部實根。
2. **B02-C08-Q02**　解(x−2)²＝0，計算不同實根的個數。
3. **B02-C08-Q03**　解x²−5x＋6＝0。
4. **B02-C08-Q04**　解x²＋4x＋4＝0。
5. **B02-C08-Q05**　用配方解x²−2x−1＝0，以根式保留精確答案。
6. **B02-C08-Q06**　判斷x²＋1＝0的實數解。
7. **B02-C08-Q07**　解3x²−12x＝0，注意可能的零根。
8. **B02-C08-Q08**　用配方解x²−4x＋1＝0。

## 8.6 完整解答

### Q01

x²−9＝(x−3)(x＋3)，乘積等於0，所以x＝3或x＝−3。兩者平方均為9；零乘積性質排除了其他可能。√9的主值為3，不等於方程只剩3這一個根。

### Q02

實數平方等於0時，底數只能為0，因此x−2＝0，x＝2。這是一個不同的實根；重複因子不產生兩個不同的數。

### Q03

x²−5x＋6＝(x−2)(x−3)，所以全部實根是2與3。回代分別得到4−10＋6＝0與9−15＋6＝0。

### Q04

x²＋4x＋4＝(x＋2)²，因此x＋2＝0，唯一不同的實根是−2。回代4−8＋4＝0。

### Q05

移常數並同加1，得到(x−1)²＝2，所以x−1＝√2或−√2。全部實根是1＋√2與1−√2。回代可用(x−1)²−2＝0檢查；兩個分支都使平方為2，沒有把根式改成近似小數。

### Q06

原式要求x²＝−1，實數平方非負，所以沒有實根。不能寫成x＝√(−1)後仍宣稱它是本章的實數答案。

### Q07

提出3x，得3x(x−4)＝0。3≠0，因此x＝0或x＝4。回代都為0；若先約掉x，就會漏掉0。

### Q08

同加3並配方，得到(x−2)²＝3，所以x＝2＋√3或2−√3。兩個數代入(x−2)²−3都為0；完整的正負分支給出全部實根。


# 第9章 分式與根式的資格

有時候，整理後的式子看起來更簡單，卻不再提醒我們原來哪些值不能代入。資格不是可有可無的附註；少了一個非零或非負條件，就可能多收進原式沒有意義的值。

本章仍在實數範圍討論。分母必須非零，主平方根的被開方數必須非負；平方後得到的候選值，要連同保留的條件一起檢查。

## 9.1 約分之後保留原分母的排除點

### 例題1 整理(x²−1)/(x−1)

1. 原分母x−1必須非零，所以先記下x≠1。
2. 分子分解為(x−1)(x＋1)。
3. 在x≠1的範圍內，才能約去非零因式x−1，得到x＋1。
4. 結論是原式在x≠1時等於x＋1，而不是把原式的範圍改成全部實數。
5. 例如x＝3時，原式8/2＝4，簡式也為4；x＝1時原式是0/0，沒有通常除法意義，不能因簡式給出2就補回這個點。

![原分式在x不等於1時與直線y等於x加1相同，但在座標(1,2)保留空點；圖只畫有限視窗，不把排除點重新補入。](assets/f17-domain-hole.svg)

約掉的是共同因式，不是任意把加項刪掉。例如(x＋1)/x不能把分子裡的一個x和分母約去後變成1＋1；分子不是x乘上一個已寫出的完整因子。

## 9.2 清分母的可逆性取決於保留條件

### 例題2 解(x＋1)/(x−2)＝3

1. 原式要求x≠2。
2. 在這個範圍內，x−2非零，所以兩邊同乘x−2是可逆操作。
3. 得到x＋1＝3(x−2)＝3x−6。
4. 兩邊同減x，再同加6，得7＝2x，因此x＝7/2。
5. 7/2≠2，符合原分母條件。
6. 回代原式，(9/2)/(3/2)＝3，成立，所以唯一解是7/2。

這裡是等式，不要求x−2為正，只要求非零。若原問題是不等式，乘除符號未定的量還要分正負情況，不能把本例的做法直接照搬。

## 9.3 平方的方向與主根的非負性

由u＝v可以推出u²＝v²，反向卻不一定成立，例如1與−1平方相同。若已知u、v都非負，才可以由平方相等反推兩者相等。

### 例題3 解√(x＋2)＝x

1. 被開方數要求x＋2≥0；左邊是非負主根，因此等號成立還必須有x≥0。合併後保留x≥0。
2. 平方得到x＋2＝x²，整理為x²−x−2＝0。
3. 分解為(x−2)(x＋1)＝0，若暫不看保留條件，會得到候選值2與−1。
4. 2符合x≥0，原式√4＝2也成立。
5. −1不符合x≥0；直接回代更得到√1＝1，而右邊是−1，不相等。
6. 所以原方程唯一解是2。每個原解必須在候選根中，而2已通過原式檢查，全部解也就完整列出。

![根式方程的兩個平方後候選值分開檢查：2符合條件且回代相等；負1使左邊1、右邊負1，不是原方程的解。](assets/f18-extraneous-root.svg)

在保留的x≥0條件下，平方可以反向還原；若把條件丟掉，只剩平方方程，就會多出−1。不能因為「計算有照做」就省略最後的資格。

## 9.4 平方根與絕對值

√(x²)對所有實數x都有意義，因為x²≥0；它的值是|x|，不是總等於x。若x≥0，x本身非負且平方為x²，所以主根是x。若x＜0，則−x＞0且(−x)²＝x²，所以主根是−x。兩種情形合起來，正好是|x|的定義。

同樣，√(ab)＝√a × √b在實數範圍使用時要有a、b都非負。不能只因ab為正，就把兩個負數各自放進實數平方根。

## 9.5 本章回顧

先寫原式的允許範圍，再變形，最後帶著同一份條件回查。簡化式有更多可代入值，不表示原式也有；平方式有更多根，不表示原方程也有。每一次可能增加或遺失解的操作，都要說明方向。

## 9.6 練習

1. **B02-C09-Q01**　寫出4/(x＋3)在實數中的允許條件。
2. **B02-C09-Q02**　整理(x²−4)/(x−2)，保留原範圍。
3. **B02-C09-Q03**　(x−1)/(x−1)可以寫成1，是否因此在x＝1也有意義？
4. **B02-C09-Q04**　解2/(x−1)＝1並回代。
5. **B02-C09-Q05**　判斷(x＋2)/(x−1)＝1的實數解。
6. **B02-C09-Q06**　解√(x＋1)＝2。
7. **B02-C09-Q07**　解√(x＋4)＝x−2，保留主根非負的要求。
8. **B02-C09-Q08**　給定x＝−3，比較√(x²)與x，並說明一般正確形式。

## 9.7 完整解答

### Q01

分母x＋3不能為0，所以允許全部實數但排除x＝−3。不是只要求分子4非零。

### Q02

原式先要求x≠2。分子分解為(x−2)(x＋2)，在保留的範圍內約去x−2，得到x＋2。結論必須一起寫成「x＋2，且x≠2」。

### Q03

不能。原式在x＝1時分子、分母都是0，不定義。對x≠1，非零數除以自身才等於1；簡式1的定義範圍較大，不會自動改寫原式的範圍。

### Q04

先保留x≠1。同乘非零的x−1，得2＝x−1，所以x＝3；它不等於1，且回代2/(3−1)＝1。因此唯一解是3。

### Q05

原式要求x≠1。在此範圍同乘x−1，得x＋2＝x−1，再同減x得到2＝−1，矛盾。因此沒有實數解；被排除的x＝1也不能作為補充解。

### Q06

原式要求x≥−1，右邊2非負。平方得x＋1＝4，所以候選x＝3。它符合範圍，回代√4＝2成立。任何原解都必須滿足平方後的一次式，所以唯一解是3。

### Q07

1. 原被開方數要求x≥−4，主根等於x−2又要求x≥2，合併保留x≥2。
2. 平方得x＋4＝(x−2)²＝x²−4x＋4。
3. 整理為x²−5x＝x(x−5)＝0，暫得候選0與5。
4. 0不符合x≥2；回代也會要求2＝−2，不成立。
5. 5符合範圍，√9＝3，右邊5−2＝3，所以唯一解是5。

### Q08

在x＝−3時，√(x²)＝√9＝3，而x＝−3，兩者不同。一般正確形式是√(x²)＝|x|。x≥0時它是x，x＜0時它是−x；兩種情況都使結果非負且平方為x²。


# 第10章 文字題與解的驗算

文字題最容易出錯的地方，往往在計算之前：未知數沒有單位、漏了一個條件，或算出一個實數後就忘了題目只允許整件。這一章把前面的代數方法接回題意。

解題依序做五件事：定義量與範圍、列出關係、合法求候選值、檢查資格、回到原題驗算。下面的收費與票價都是明示假設的合成數學模型，不是在提供真實商業收費資訊。

## 10.1 固定量與隨數量變動的部分

### 例題1 合成里程收費模型

模型規定基本費30元，每公里12元，按實際連續里程計算，沒有進位、折扣或其他費用。總金額114元，求里程。

1. 設x為里程，單位公里，x≥0。
2. 變動費是(12元/公里) × x公里，總額關係為30＋12x＝114。
3. 同減30，得12x＝84；同除非零常數12，得x＝7。
4. 7≥0，符合里程條件。
5. 回到原題，30元＋12元/公里 × 7公里＝114元，所以答案是7公里。

唯一實數解通過題意範圍，才成為模型的唯一合格解。若真實收費另有進位，必須改模型，不能把本題公式直接當成現實規則。

![合成模型的費用分成固定30元與7公里乘12元的84元，兩部分合計114元；里程7來自方程，不從圖猜測真實收費。](assets/f19-cost-model.svg)

## 10.2 兩種票要使用兩個條件

### 例題2 成人票與兒童票

假設成人票每張80元，兒童票每張50元，合計12張、總款750元，無其他費用。求兩種張數。

1. 設a為成人票張數、c為兒童票張數，兩者皆為非負整數。
2. 張數條件是a＋c＝12，金額條件是80a＋50c＝750。
3. 由第一條得c＝12−a，代入第二條：80a＋50(12−a)＝750。
4. 展開合併，得30a＋600＝750，所以30a＝150，a＝5。
5. c＝12−5＝7，兩者皆為非負整數。
6. 回查5＋7＝12，80 × 5＋50 × 7＝400＋350＝750，兩個條件都成立。

因此成人票5張、兒童票7張。實數方程組已唯一決定這一組，且資格檢查通過，不需要靠逐張亂猜。

## 10.3 幾何模型會排除代數上的候選值

### 例題3 長方形的寬與長

長方形的長比寬多3公尺，面積40平方公尺，求寬與長。這裡長方形要求兩邊長都為正。

1. 設寬w公尺，w＞0；長為w＋3公尺，也為正。
2. 面積關係是w(w＋3)＝40。
3. 展開移到一邊：w²＋3w−40＝0。
4. 分解為(w＋8)(w−5)＝0，代數候選是w＝−8或w＝5。
5. −8不是正的實際寬度，排除；5符合條件，長為8。
6. 回查長比寬多8−5＝3公尺，面積5 × 8＝40平方公尺，兩個條件都吻合。

![長方形只畫合格候選寬5公尺、長8公尺，面積40平方公尺；負8的代數候選不當成負的實際邊長。](assets/f20-rectangle-model.svg)

全部實數候選已由零乘積性質列完，之後用原題的正長度條件篩選，因此既沒有把負長度收進答案，也沒有只找到一組就停止檢查。

## 10.4 本冊回顧與自我診斷

列式之前問角色與範圍；變形時問使用哪條規則、是否可逆；得到數值後問是否符合原分母、根式、整數或單位條件。回代能檢查一個候選值，完整的合法推導才能支持沒有漏掉其他解。

若答案不符，先定位錯誤層：是讀錯題意、列錯關係、算術失誤、非法操作，還是忘了篩選資格？把錯因記清楚，比只把最後數字改對更有幫助。

## 10.5 練習

1. **B02-C10-Q01**　一個實數的3倍減4等於17，求這個數並回查。
2. **B02-C10-Q02**　假設每本筆記本25元，沒有折扣或其他費用，恰好用100元買整本，求本數。
3. **B02-C10-Q03**　合成模型為固定費20元加每單位距離8元，距離d≥0且連續計費，總額84元，求d。
4. **B02-C10-Q04**　兩個實數的和為20，較大數減較小數為4，求兩數。
5. **B02-C10-Q05**　假設成人票100元、兒童票60元，合計10張、總款760元，求兩種非負整數張數。
6. **B02-C10-Q06**　長方形長比寬多2公尺，面積24平方公尺，求正的寬與長。
7. **B02-C10-Q07**　某份草稿解√(x＋5)＝x−1，平方後得到候選4與−1。請補齊條件與回代，給出全部實數解。
8. **B02-C10-Q08**　假設物品每件2元，不拆售、無其他費用，要求總額恰為5元。實數方程2n＝5有解，是否代表存在合格整件數？

## 10.6 完整解答

### Q01

設此數為x，列3x−4＝17。同加4得3x＝21，同除3得x＝7。回查3 × 7−4＝17，且步驟可逆，所以唯一解是7。

### Q02

設本數n為非負整數，25n＝100得n＝4。4是合格整數，且25 × 4＝100，故可買4本；單位是本，不是把金額100當成件數。

### Q03

列20＋8d＝84，同減20得8d＝64，同除8得d＝8。它符合d≥0，回查20＋64＝84。d的單位沿用題目指定的距離單位，不自行改成時間或金額。

### Q04

設較大數x、較小數y，x＋y＝20且x−y＝4。相加得2x＝24，所以x＝12、y＝8。回查和20、差4，而且12＞8符合角色。

### Q05

設成人票a張、兒童票c張，列a＋c＝10與100a＋60c＝760。代入c＝10−a，得40a＋600＝760，所以a＝4、c＝6。兩者為非負整數，張數10、票款400＋360＝760，全部條件成立。

### Q06

設寬w＞0，長w＋2。面積給出w²＋2w−24＝0，分解為(w＋6)(w−4)＝0。候選−6不合正長度；w＝4時長6，面積24且長寬差2，所以寬4公尺、長6公尺。

### Q07

1. 被開方數要求x≥−5，主根等於x−1又要求x≥1，合併保留x≥1。
2. 平方得到x＋5＝(x−1)²，整理為x²−3x−4＝(x−4)(x＋1)＝0，候選4與−1已列完。
3. −1不符合x≥1；回代也會得到2＝−2，不成立。
4. 4符合範圍，√9＝3，右邊4−1＝3，所以唯一解是4。

### Q08

實數方程唯一候選n＝5/2＝2.5，但它不是整數，因此原整件模型沒有合格解。2件付4元、3件付6元都不是恰好5元；不能自行四捨五入，因為那會改變原題的「恰好」條件。