# OCME 第3冊 幾何、測量與空間 · v0.2

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![圓形等距共同署名，不分先後。](assets/signature-circle.svg)

本作採非排序共同署名。排列位置不代表先後、地位、貢獻比例或工作分工；未列名不表示不存在，也不表示未曾參與。

出版／營運單位：EVEMISS TECHNOLOGY CO., LTD.

最終權利與授權聲明另行確認，不由署名排版或出版單位名稱代為決定。

# 第1章 點、線、面與角

一張圖能幫我們看見關係，但「看起來垂直」與「題目已給垂直」不是同一件事。本冊在通常的歐氏平面與空間中討論幾何；先把對象、角度和已知條件分清楚，再開始計算。

讀完本章，你應能區分點、線段、射線與直線，讀出角的頂點，並在有明示條件時運用角度關係。先備是第一冊的加減、分數與單位；若180−65能算出115，就可以開始。

## 1.1 名稱與記號包含哪些資訊

點表示位置，不把圖上的墨點大小算入長度。線段AB有端點A、B；直線AB向兩端無限延伸；射線AB從A出發，沿B的方向延伸。使用直線AB或射線AB時，A、B須相異，才能指定方向。兩個相異點決定一條直線，不能只給一個點便唯一指定直線。

平面是向各方向延伸的平坦幾何對象，不是紙張的有限外框。圖中的框只是畫圖範圍。A、B、C共線是一項條件；若還要使用AB＋BC＝AC，必須知道B在線段AC上，也就是位於A與C之間。

∠ABC的頂點是中間的B，兩邊是射線BA、BC。本冊一般的角度題使用0°至180°的非反身角；直角是90°，平角是180°，完整一周是360°。若討論大於180°的優角，會另行明說。

![線段有兩個端點，射線有一個端點，直線向兩端延伸；角的頂點由兩條射線的共同起點決定。](assets/f01-geometric-objects.svg)

## 1.2 鄰角與對頂角要先確認直線

### 例題1 共線條件決定補角

A、O、C依此順序共線，射線OB在直線AC的一側，且∠AOB＝65°。求∠BOC。

1. 因O在A、C之間，OA與OC是相反射線，∠AOC是180°。
2. OB把這個平角分成兩個不重疊的角，因此65°＋∠BOC＝180°。
3. 同減65°，得到∠BOC＝115°。
4. 反查65°＋115°＝180°，且兩角都在0°至180°之間，符合配置。

不是任意兩個靠在一起的角都互補；本題真正使用的是相反射線與不重疊分割。

### 例題2 相交直線的對頂角

直線AB與CD相交於O，A、O、B及C、O、D各依序共線，∠AOC＝48°。求∠BOD與∠AOD。

1. OC與OD相反，故∠AOC＋∠AOD＝180°，所以∠AOD＝132°。
2. OA與OB相反，故∠AOD＋∠BOD＝180°。
3. 代入132°，得到∠BOD＝48°。
4. 兩組鄰角的和都是180°；因此本配置的對頂角相等，不必依賴圖畫得多對稱。

![兩條直線相交後，對頂角共享同一個補角；平行線被截線所截時，對應角關係需要平行條件。](assets/f02-angle-relations.svg)

## 1.3 平行條件不能由外觀補上

### 例題3 平行線的內角

兩條平行直線被一條截線所截。某個內角為112°，求它的內錯角，以及同側的另一個內角。

1. 在歐氏平面中，平行線的內錯角相等，所以內錯角是112°。
2. 同側內角互補，所以112°＋另一角＝180°。
3. 另一角為68°；驗算112°＋68°＝180°。
4. 若拿掉平行條件，這兩個結論都不能直接沿用。先確認角在兩交點中的位置，也不能把任意一個角都叫作內錯角。

本書使用的平行線角度關係是歐氏幾何的基本性質，不把它延伸到球面或其他幾何模型。

### 例題4 兩個直角仍要看射線位置

在同一平面內，已知∠AOB＝90°、∠BOC＝90°，能否斷定O一定在A、C之間？又能否斷定A、O、C共線？

1. 不能先把90°＋90°當成∠AOC，因為題目沒有說兩個角不重疊。
2. 讓OA與OC同向、OB與它們垂直，兩個已知角都為90°，但∠AOC＝0°。
3. A與C可取同一射線上不同的點；此時A、O、C仍共線，卻不是O在A、C之間的平角配置。
4. 因為在平面內與OB垂直的射線只有兩個相反方向，這兩個直角其實仍能推出三點共線；不能推出的是「OA、OC必為相反射線」或「O必在A、C之間」。

這個例題要分清結論的強弱：共線不等於依指定順序共線。若再給兩角分居OB兩側，才得到相反射線及平角。

![兩個90度角可重疊也可相鄰；兩種配置都共線，但只有相鄰配置把共同頂點夾在兩端之間。](assets/f03-angle-configuration.svg)

## 1.4 常見錯誤與本章回顧

讀圖先列出直線、共線順序、平行及直角等條件，再寫角度關係。對頂角相等來自兩個角有同一補角；平行線關係要有平行前提。角度相加還需要不重疊且恰好覆蓋目標角，不是看到共同頂點就能相加。

## 1.5 練習

1. **B03-C01-Q01**　線段AB、射線AB、直線AB各有幾個端點？射線AB與射線BA是否一定相同？
2. **B03-C01-Q02**　A、O、C依序共線，OB分割平角，∠AOB＝37°。求∠BOC。
3. **B03-C01-Q03**　兩個不重疊的角合成一直角，其中一角28°，另一角多少度？
4. **B03-C01-Q04**　兩條相交直線的一角為73°。它的對頂角及鄰接補角各是多少度？
5. **B03-C01-Q05**　一周被三個不重疊角完整分割，其中兩角為90°、125°，第三角是多少度？
6. **B03-C01-Q06**　平行線被截線所截，一個角為58°，它的同位角是多少度？
7. **B03-C01-Q07**　圖上兩線像是垂直，但未給角度、直角符號或其他可證條件。能直接用90°計算嗎？
8. **B03-C01-Q08**　兩射線形成的優角為198°，另一個較小的角是多少度？
9. **B03-C01-Q09**　∠AOB＝60°、∠BOC＝60°，是否必有∠AOC＝120°？說明還缺什麼配置條件。
10. **B03-C01-Q10**　已知α＋β＝180°且β＋γ＝180°，不依賴對稱外觀，說明為什麼α＝γ。

## 1.6 完整解答

### Q01

線段有兩個端點，射線有一個，直線沒有端點。A、B相異時，射線AB起點為A、射線BA起點為B，兩者不是同一個點集；例如從A向背離B的方向延伸的點可在射線BA上，卻不在射線AB上。

### Q02

相反射線構成180°，所以∠BOC＝180°−37°＝143°。37°＋143°＝180°，與平角分割相符。

### Q03

兩角和為90°，另一角＝90°−28°＝62°。回加28°＋62°＝90°，成立。

### Q04

對頂角為73°。鄰接補角＝180°−73°＝107°，反查73°＋107°＝180°。

### Q05

完整一周為360°，第三角＝360°−90°−125°＝145°。三角總和90°＋125°＋145°＝360°；這裡的「三個角」不是指三角形的三內角。

### Q06

平行條件成立時，同位角相等，所以是58°。若沒有平行，不能只靠位置相似得到同樣的度數。

### Q07

不能。圖形外觀不是已知條件；要有垂直的明示標記、文字，或由其他條件推得垂直，才可使用90°。這不是說圖一定不垂直，而是目前證據不夠。

### Q08

兩個角合成一周，所以較小角＝360°−198°＝162°。162°在0°至180°之間，且198°＋162°＝360°。

### Q09

不一定。若OA與OC同向、都與OB夾60°，則兩個已知角重疊，∠AOC＝0°。若兩角在OB兩側、不重疊且合成所問的非反身角，才可相加得到120°。

### Q10

兩個等式右側相同，得到α＋β＝β＋γ。兩側同減β，便得α＝γ；使用的是相等的運算性質，不是圖形的對稱外觀。

## 1.7 延伸閱讀方向

後面的三角形內角和會把平行線角度關係串成一般推理。現在先練習把「共線」「位於兩點之間」「射線相反」寫成不同的條件。


# 第2章 長度、周長與測量

一道題的數字可能是定義好的精確長度，也可能是用尺讀到的近似值。兩者都可以計算，但答案代表的精確程度不同。本章從第一冊的單位換算與小數運算出發，分清距離、路程、周長及測量誤差。

讀完後應能先統一單位再相加，沿真正的邊界求周長，並指出測量結果的合理範圍。先試算1公尺＝100公分、1公分＝10毫米；若單位不同，先不要直接把數字相加。

## 2.1 長度與單位要一起保存

兩點間的距離非負；只有兩點重合時距離為0。線段AB與BA的長度相同，但這不表示有方向的位移也相同。本冊的周長是封閉圖形邊界的總長，不把內部輔助線算進去。

### 例題1 同一長度的不同寫法

一條帶子長2公尺35公分，另一條長0.8公尺。首尾接起且沒有重疊，總長多少公分？

1. 2公尺35公分＝200公分＋35公分＝235公分。
2. 0.8公尺＝80公分，不能把0.8直接與235相加。
3. 首尾無重疊接合，長度相加為235＋80＝315公分。
4. 反向換算315公分＝3.15公尺；2.35＋0.8＝3.15，兩種單位計算一致。

![同一段長度用公尺、公分與毫米表示，數字隨單位改變，實際長度不變。](assets/f04-length-units.svg)

### 例題2 長方形的周長

長方形長7.5公分、寬4公分，求周長。

1. 長方形的對邊等長，四邊依序為7.5、4、7.5、4公分。
2. 沿外框加總：7.5＋4＋7.5＋4＝23公分。
3. 也可寫成2 × (7.5＋4)＝23公分；這是加法整理，不是另外一個無理由公式。
4. 7.5 × 4＝30平方公分算的是面積，不是周長。兩種量的單位也不同。

## 2.2 三條邊能否接成三角形

任取三個不共線的點，從一點繞經另一點再到第三點，比直接走兩端間的線段更長。因此非退化三角形中，任意兩邊的和都大於第三邊。等號只容許三點排在一直線上的退化配置，不算本書的三角形。

### 例題3 有三個正數還不夠

長4、5、10公分的三根直桿，能否接成一個三角形？

1. 先看最長邊10公分，其餘兩邊和為4＋5＝9公分。
2. 9＜10，兩根短桿即使拉直也跨不過長邊兩端的距離。
3. 所以無法構成三角形。另兩個不等式雖成立，也不能彌補這一個失敗。
4. 檢查正邊長時，只需先比最長邊與其餘兩邊和；若這一條嚴格成立，另兩條自然成立。

![三角形的兩短邊和要嚴格大於最長邊；相等只會拉成一條直線，較小則接不上。](assets/f05-triangle-inequality.svg)

## 2.3 測量值不是沒有誤差的定義

### 例題4 量到小數一位代表什麼

尺讀長度12.4公分，採「最接近0.1公分、正數恰在中點時向上進位」的規則。原長度可能落在哪個範圍？

1. 12.4前後兩個進位中點為12.35與12.45公分。
2. 12.35進位為12.4，所以包含左端；12.45進位為12.5，所以不含右端。
3. 原長度L滿足12.35公分≤L＜12.45公分。
4. 這是本題四捨五入規則帶來的範圍，不含尺具校正、讀尺角度或其他額外誤差。不能據此聲稱儀器真的精確到這個範圍。

若長方形兩邊分別讀為12.4與8.2公分，兩者都採同一規則，則實際邊長和在20.50至20.70公分之間，左含右不含；周長在41.00至41.40公分之間。直接用顯示值算得41.2公分是近似周長，不是唯一的真實值。

![四捨五入到0.1公分時，12.35包含在12.4的讀值範圍，12.45不包含；數線以不同端點標記。](assets/f06-measurement-window.svg)

## 2.4 常見錯誤與本章回顧

量的名稱、數值與單位要同時保留。周長要沿題目所求區域的完整邊界計算；圖內的分割線不是邊界。沒有孔洞的簡單圖形只需計外框；若求有孔洞區域的邊界總長，孔洞的內邊界也要計入。測量題先看讀值規則，不把多按幾位計算器當成增加測量精度。

## 2.5 練習

1. **B03-C02-Q01**　3.6公尺等於多少公分？
2. **B03-C02-Q02**　2500毫米等於多少公尺？
3. **B03-C02-Q03**　三段不重疊首尾相接的繩子長2.3、1.75、0.95公尺，總長多少？
4. **B03-C02-Q04**　長方形長8公分、寬3公分，求周長。
5. **B03-C02-Q05**　邊長6公分的正方形，周長多少？
6. **B03-C02-Q06**　3、4、7公分能成為非退化三角形的三邊嗎？
7. **B03-C02-Q07**　A、B、C依序共線，AB＝3公分、BC＝5公分，求AC。若未給共線順序，還能直接得到同樣答案嗎？
8. **B03-C02-Q08**　從A經B走到C，路程AB＋BC是否一定等於兩點距離AC？
9. **B03-C02-Q09**　以例題4的進位規則讀得10.0公分，原長度的範圍為何？
10. **B03-C02-Q10**　長方形周長30公分、長9公分，求寬，並用四邊總和驗算。

## 2.6 完整解答

### Q01

1公尺為100公分，所以3.6 × 100＝360公分。反向360 ÷ 100＝3.6公尺，數值與單位對回。

### Q02

1公尺為1000毫米，2500 ÷ 1000＝2.5公尺。單位變大時數值變小，不是再乘1000。

### Q03

三段同用公尺，總長＝2.3＋1.75＋0.95＝4.05＋0.95＝5.00公尺。無重疊的條件讓三段長度可以直接加總。

### Q04

周長＝8＋3＋8＋3＝22公分，也等於2 × (8＋3)。不能寫24平方公分；那是面積。

### Q05

四邊各6公分，周長＝4 × 6＝24公分。這裡乘4是數四條邊，不是把長度單位平方。

### Q06

不能。3＋4＝7只達到等號，三根線段拉成直線，沒有正面積的三角形。非退化條件要求3＋4＞7，並未成立。

### Q07

B在A、C之間，所以AC＝AB＋BC＝8公分。若沒有順序，可能是A在B、C之間，此時AC＝BC−BA＝2公分；因此不能省掉位置條件。

### Q08

不一定。一般有AC≤AB＋BC；若A、B、C不共線，嚴格小於。只有B在線段AC上時才相等。距離是直接連接的線段長，路程則取決於行走路線。

### Q09

前後中點是9.95與10.05公分。9.95進位到10.0，10.05進位到10.1，所以9.95公分≤L＜10.05公分。端點是否包含取決於題目明定的進位規則。

### Q10

周長的一半是長加寬：30 ÷ 2＝15公分。寬＝15−9＝6公分，為正數。四邊相加9＋6＋9＋6＝30公分，符合原條件。

## 2.7 延伸閱讀方向

面積和體積的單位分別帶平方與立方。後面換算面積時，1公尺＝100公分將變成1平方公尺＝10,000平方公分，而不是100平方公分。


# 第3章 三角形與全等

三條線段不一定圍成三角形，兩張相像的圖也不一定能完全重合。本章用邊、角及頂點對應來判斷同一形狀與同一大小，並把已知條件寫進推理。

先備是三角形嚴格不等式、平行線角度及180°的平角。讀完後應能求基本內角，按對應順序使用全等判定，並說明為什麼只有角相同還不夠。

## 3.1 三內角和的平行線理由

本書的三角形由三個不共線的點及三條邊組成，三邊均為正長度；不把三點共線的退化配置算進來。

過三角形頂點A畫一條與BC平行的直線。由內錯角關係，B、C兩個內角可分別對到A處平角兩端的角；它們和原來的∠A恰分割同一平角。因此∠A＋∠B＋∠C＝180°。理由適用於所有這樣的三角形，不只某個量到接近180°的圖。

![過頂點畫底邊的平行線，兩個內錯角與頂角一起拼成平角，說明三角形內角和。](assets/f07-triangle-angle-sum.svg)

### 例題1 求第三個內角

三角形兩內角為55°、65°，求第三角。

1. 非退化歐氏三角形的三內角和是180°，所以第三角＋55°＋65°＝180°。
2. 先算55°＋65°＝120°，第三角＝180°−120°＝60°。
3. 60°為正且小於180°；三角相加55°＋65°＋60°＝180°，符合條件。

## 3.2 全等一定包含對應次序

兩圖形可經平移、旋轉及必要的鏡射完全重合時，稱為全等。寫△ABC≅△DEF，就指定A對D、B對E、C對F；因此AB對DE、BC對EF、CA對FD，相應角也相等。

在非退化三角形中，SSS是三組對應邊相等，SAS是兩組邊及它們的夾角相等，ASA是兩角及夾邊相等。AAS可先用內角和求出第三角，再化成ASA。這些是全等的充分判定；邊與角必須依同一組頂點對應，不能各選方便的一組。

### 例題2 三邊判定與頂點對應

AB＝3、BC＝4、CA＝5公分，DE＝3、EF＝4、FD＝5公分。按這些對應判斷兩三角形。

1. 3＋4＞5，兩組正邊長都能構成非退化三角形。
2. AB＝DE、BC＝EF、CA＝FD，三組對應邊全部相等。
3. 由SSS，△ABC≅△DEF；因此∠B＝∠E，並非隨意挑一個字母相等。
4. 把第二組轉動或翻面不影響判定，因為全等容許這些保長度的移動。

![兩個三角形以相同邊長標記建立頂點對應；翻轉或移動不改變全等，但對應字母必須跟著保留。](assets/f08-congruent-matching.svg)

### 例題3 夾角是哪一個角

AB＝PQ＝6公分，AC＝PR＝4公分，∠BAC＝∠QPR＝50°。能否判定全等？

1. AB與AC的共同端點是A，兩邊的夾角是∠BAC。
2. PQ與PR的共同端點是P，夾角是∠QPR；兩個給定角正好對應。
3. 由SAS，△ABC≅△PQR，因此BC＝QR，∠B＝∠Q、∠C＝∠R。
4. 若把50°改給∠ABC與∠PQR，就不再是這兩條已知邊的夾角，不能直接套SAS。兩邊加非夾角不是一般的全等判定。

## 3.3 相同角度不能決定大小

### 例題4 AAA為什麼不能保證全等

一個正三角形邊長1公分，另一個邊長2公分。兩者的三個角都為60°，是否全等？

1. 正三角形三邊相等，以SSS交換任意兩個頂點可得對應角相等，所以三角相等。
2. 三內角和180°，每個角便是180° ÷ 3＝60°；兩個大小的正三角形都如此。
3. 若兩者全等，對應邊必相等；但1公分≠2公分，所以不全等。
4. 這個反例同時保留所有AAA條件，卻使全等結論失敗，足以否定「AAA保證全等」。下一章會用相似描述這種同形不同大小。

![邊長1與2的正三角形有相同角度但大小不同；等角不是全等，比例和對應仍須分清楚。](assets/f09-equal-angles-not-size.svg)

## 3.4 常見錯誤與本章回顧

先確認三角形非退化，再列對應邊角。SSS、SAS、ASA與AAS各需要完整的一組條件；「都像等腰」「有兩條邊一樣」或「角度都相同」都不能代替全等判定。證明某對應角相等後，才能把它用在後面的角度計算。

## 3.5 練習

1. **B03-C03-Q01**　5、7、13公分能成為三角形的三邊嗎？
2. **B03-C03-Q02**　三角形兩角為48°、72°，第三角多少度？
3. **B03-C03-Q03**　正三角形每個內角是多少度？說明不只靠圖的理由。
4. **B03-C03-Q04**　等腰三角形的兩腰相等，頂角40°，兩底角各是多少度？
5. **B03-C03-Q05**　AB＝DE、BC＝EF、CA＝FD且兩三角形非退化。可寫哪一組全等？C對應哪個頂點？
6. **B03-C03-Q06**　兩三角形兩邊各為5、7公分，這兩邊的夾角都60°，足以判定全等嗎？
7. **B03-C03-Q07**　兩角各為50°、70°，這兩角間的邊都4公分。另一個角多少度，能否判定全等？
8. **B03-C03-Q08**　用邊長3與6公分的正三角形，反駁AAA保證全等。
9. **B03-C03-Q09**　AB＝AC，說明△ABC與△ACB的SSS對應如何推出兩底角相等。
10. **B03-C03-Q10**　兩邊長7、4公分，第三邊長x公分，非退化三角形要求x在哪個範圍？

## 3.6 完整解答

### Q01

不能。5＋7＝12＜13，違反最長邊小於其餘兩邊和的必要條件。三邊都是正數仍不夠。

### Q02

第三角＝180°−48°−72°＝60°。三角總和48°＋72°＋60°＝180°，且都為正角。

### Q03

三邊相等，交換頂點後可由SSS得到三角相等。三內角和為180°，所以每角60°；不是由畫得像60°決定。

### Q04

兩腰相等，SSS交換兩個底點可知兩底角相等。扣去頂角後剩180°−40°＝140°，每個底角＝140° ÷ 2＝70°。反查40°＋70°＋70°＝180°。

### Q05

由SSS可寫△ABC≅△DEF，依序A對D、B對E、C對F。若重排頂點，兩側必須同步重排，不能改成錯誤的邊角對應。

### Q06

足夠。兩組對應邊相等，且60°是這兩邊的夾角，正是SAS。不能把同樣的結論擴展成任意一個非夾角也足夠。

### Q07

第三角＝180°−50°−70°＝60°。原來兩角及其夾邊相等，已符合ASA，所以全等；求第三角是核對，不是補一條缺失的邊長。

### Q08

兩個正三角形的三角都60°，AAA條件完全符合。若全等，對應邊應相等，但3≠6，所以不全等。它們只是在下一章意義下相似。

### Q09

比較△ABC與△ACB：AB對AC、AC對AB，兩者由已知相等；BC對CB是同一條邊。SSS給出B對C，所以∠ABC＝∠ACB。這個理由不需要先假設高線、角平分線或圖形對稱。

### Q10

7＜4＋x給出x＞3；x＜7＋4給出x＜11。另有4＜7＋x，在x＞3時自動成立。因此3公分＜x＜11公分。端點3或11只會退化，均不包含。

## 3.7 延伸閱讀方向

可用紙片或透明描圖疊合來理解全等，但疊圖精度不是定理證明。把每次用到的對應保留下來，下一章才不會在比例式中把不同位置的邊湊在一起。


# 第4章 相似與比例尺

照片放大後，長度變了，角度與形狀可以保留。相似描述的是統一比例的縮放，不是每個方向各拉各的。本章以正倍率處理對應長度、周長、面積及地圖比例尺。

先備是第一冊的比例、平方與單位，及第三章的三角形對應。讀完後應能寫出倍率的方向，區分長度倍率k與面積倍率k²；未讀代數者可先跟著具體數值例題。

## 4.1 所有對應長度用同一倍率

本冊說兩圖形相似，是指一個圖形經統一正倍率縮放，再配合平移、旋轉或鏡射，可以和另一圖形重合。方向可翻轉，倍率取k＞0；對應角相等，對應長度都乘k。倍率1就是全等的情況。

非退化三角形可用AA、三邊成比例，或兩邊成比例且夾角相等來判定相似。後兩種判定可先把一個三角形統一縮放到已知邊長，再用前章SSS或SAS判定全等。AA則使用三角形等角定形的相似性質；不把它誤寫成等角定大小。

### 例題1 倍率要有方向

△ABC三邊依對應順序為4、6、8公分，放大為原來的3/2倍，求新三邊。

1. 倍率是「新長度 ÷ 原長度」＝3/2，為正。
2. 新邊長依序為4 × 3/2＝6、6 × 3/2＝9、8 × 3/2＝12公分。
3. 反查6/4＝9/6＝12/8＝3/2，使用的是同一倍率。
4. 原三邊4＋6＞8，新三邊6＋9＞12，也保留非退化。若只把其中一邊放大，不會自動相似。

![同一正倍率把對應邊4、6、8變成6、9、12；示意圖著重對應，不從像素讀取長度。](assets/f10-similar-triangles.svg)

## 4.2 比例尺先統一單位

### 例題2 從平面圖換回實際長度

比例尺1:500表示圖上長度與實際長度使用同一單位時的比。圖上一段長3.6公分，實際多長？

1. 1公分對應500公分，不是500公尺。
2. 實際長度＝3.6 × 500＝1800公分。
3. 1800公分＝18公尺。
4. 反查18公尺＝1800公分，圖上3.6 ÷ 實際1800＝1/500，方向正確。

![1比500的圖上1公分對應實際500公分；標示單位後再轉為5公尺，避免倍率與單位混算。](assets/f11-scale-units.svg)

## 4.3 面積不是再乘一次長度倍率就結束

矩形的兩邊都乘k，面積便由ab變成(ka)(kb)＝k²ab。三角形的底與垂直高也都乘k，所以面積同樣乘k²。對可分割成有限個三角形的多邊形，逐塊相加也得到相同結論；任意曲線區域則還涉及面積的逼近性質。

### 例題3 由面積比找長度比

兩個相似三角形，大者面積是小者的9倍。大者一邊對應小者4公分，求大者這條邊。

1. 由小到大的正倍率k滿足k²＝9。
2. 正倍率只取k＝3，不取−3。
3. 對應邊長＝4 × 3＝12公分。
4. 若錯把邊長也乘9，面積會變成81倍，與題意不符。

![邊長乘3的正方形可排成九個原方塊，對照長度倍率3與面積倍率9。](assets/f12-length-area-scale.svg)

### 例題4 三角形中點連線

在非退化△ABC中，D為AB中點、E為AC中點。證明DE＝BC/2且DE平行BC。

1. 中點給出AD/AB＝AE/AC＝1/2，且D、E分別在從A出發的兩條邊上。
2. ∠DAE與∠BAC是同一個角，兩邊成比例且夾角相同，所以△ADE與△ABC相似。
3. 對應D對B、E對C，得到DE/BC＝1/2，所以DE＝BC/2。
4. 相似另給∠ADE＝∠ABC；因AD與AB共線，這是一對同位角相等，由平行線的逆判定得DE平行BC。

這裡不是先看圖判定平行再證明相似；中點與共同夾角先提供相似條件，平行是後得的結論。

## 4.4 常見錯誤與本章回顧

比例式先固定新舊方向，再一一核對對應邊。相同面積不保證相似；相似也不保證全等。長度、周長、面積的倍率依序為k、k、k²；立體體積的k³留待第9章處理。

## 4.5 練習

1. **B03-C04-Q01**　三邊3、4、5公分的三角形放大2倍，新三邊為何？
2. **B03-C04-Q02**　相似圖形的一組對應邊由6變9公分，原來8公分的對應邊變多長？
3. **B03-C04-Q03**　比例尺1:200，圖上5公分代表實際幾公尺？
4. **B03-C04-Q04**　實際30公尺畫成3公分，比例尺為何？
5. **B03-C04-Q05**　統一放大3倍，周長與多邊形面積各變成幾倍？
6. **B03-C04-Q06**　兩相似多邊形面積比為16:25，依同一方向的對應邊比是多少？
7. **B03-C04-Q07**　2×8與4×4的兩個長方形面積都16，是否必相似？
8. **B03-C04-Q08**　三邊3、4、5與6、8、11的兩三角形是否相似？
9. **B03-C04-Q09**　三角形一邊14公分，另兩邊中點的連線長多少？
10. **B03-C04-Q10**　比例尺1:1000的平面圖中，一塊區域面積0.002平方公尺，實際面積是多少平方公尺？假定圖形為統一比例的精確模型。

## 4.6 完整解答

### Q01

每條對應邊同乘2，得到6、8、10公分。三個比6/3、8/4、10/5都等於2，不可只改其中兩邊。

### Q02

新比舊的倍率為9/6＝3/2，另一邊＝8 × 3/2＝12公分。反向12 ÷ (3/2)＝8，對回原長度。

### Q03

實際長度＝5 × 200＝1000公分＝10公尺。比例尺中的兩個數必須先用相同單位比較。

### Q04

30公尺＝3000公分，圖上比實際＝3:3000＝1:1000。若先拿3除30而忽略單位，就會少掉100倍。

### Q05

每條邊乘3，周長加總也乘3。底與高都乘3，面積乘3²＝9。面積的單位是平方長度，因此不能只乘3。

### Q06

正長度比的平方是16/25，取正平方根得到4/5，所以對應邊比4:5。不取−4:5，因為本書倍率是正數。

### Q07

不相似。第一個長方形長邊比短邊為8/2＝4，第二個為4/4＝1，形狀比例不同。面積相同只是一個數值條件，不能取代全部對應長度的比例。

### Q08

不相似。按長短排序後，6/3＝2、8/4＝2，但11/5≠2，沒有同一倍率。兩組邊長本身均能構成三角形；失敗的是相似條件，而不是圖形不存在。

### Q09

中點連線的倍率是1/2，所以長14 × 1/2＝7公分。理由是兩邊中點與共同夾角建立的小三角形與原三角形相似。

### Q10

由圖到實際，長度倍率1000，面積倍率1000²＝1,000,000。實際面積＝0.002 × 1,000,000＝2000平方公尺。已經以平方公尺表示，不再重複換一次公分單位。

## 4.7 延伸閱讀方向

相似能把難量的距離轉為可量的對應長度，但實際測量仍帶誤差。下一章先把面積公式的分割理由補齊，再利用倍率檢查公式是否合理。


# 第5章 面積的分割與拼合

周長量邊界有多長，面積量區域占了多少平面。把一張紙切成數塊再移動，外框可能改變，但只要沒有重疊或遺漏，總面積保持不變。本章用這個加法性推導常見公式。

先備是長方形、三角形及長度單位。讀完應能辨認底與垂直高、用分割核對公式，並以平方單位寫答案。本章區域均採通常的平面面積，不把線段本身當成有正面積的長條。

## 5.1 單位正方形與長方形

面積以單位正方形為基準，長方形邊長為a、b時面積是ab。整數邊長可逐格計數；有分數邊長時，可先把單位格細分再計數。對一般實數邊長，公式沿用面積對細分逼近的相容性，不宣稱能用有限個像素精確數完。

### 例題1 分數邊長仍有平方單位

長方形長4.5公分、寬3公分，求面積。

1. 可把4.5公分看作9個半公分，3公分看作6個半公分。
2. 小正方形每邊0.5公分，面積0.5 × 0.5＝0.25平方公分，共9 × 6＝54格。
3. 總面積＝54 × 0.25＝13.5平方公分，也等於4.5 × 3。
4. 邊長單位各出現一次，公分乘公分才是平方公分；不是13.5公分。

![長方形按小單位格細分；格子的邊長與面積要分別計算，不能只數格而忽略單位。](assets/f13-area-unit-grid.svg)

## 5.2 平行四邊形與三角形的高

平行四邊形是兩組對邊各自平行的四邊形。平行四邊形可以分割、平移拼成同底同高的長方形，總面積不變，所以面積＝底 × 垂直高。常見的「沿高剪移一個端部三角形」圖法，須有合適的垂足位置；斜移量超過一個底長時不能直接照搬一次剪移。一般情況先把所選底邊放成水平，每隔一個底長畫垂直分割線，再把各直條中的部分水平移動整數個底長，移入同一個底長寬的長方形。原圖在每個水平高度的截段都恰長一個底長，所以移入後恰好覆蓋長方形，各塊內部不重疊也不遺漏。高是兩平行底邊所在直線的距離，不是斜邊長。

### 例題2 兩個三角形拼成平行四邊形

三角形底8公分，對應垂直高5公分，求面積。

1. 取一個全等副本，旋轉180°後沿適當邊拼合，可得到底8公分、高5公分的平行四邊形。
2. 拼成的面積＝8 × 5＝40平方公分。
3. 兩個全等三角形面積相同且內部不重疊，所以每個面積＝40 ÷ 2＝20平方公分。
4. 反查2 × 20＝40。鈍角三角形的高足可能在底邊延長線上，公式仍使用到該直線的垂直距離，不改成斜邊長。

![同底同高的平行四邊形由兩個全等三角形組成；高的直角標記說明垂直距離。](assets/f14-triangle-parallelogram-area.svg)

### 例題3 梯形公式來自兩份拼合

梯形兩條平行底邊長4、10公分，兩底所在直線的距離為3公分，求面積。

1. 取一個全等梯形副本，轉動後與原形拼成平行四邊形。
2. 拼成的底長為4＋10＝14公分，高仍為3公分。
3. 兩份總面積＝14 × 3＝42平方公分。
4. 原梯形面積＝42 ÷ 2＝21平方公分，也就是(上底＋下底) × 高 ÷ 2。

## 5.3 面積相減與邊界改變是兩回事

### 例題4 切去一個角落

10公分乘8公分的長方形，在右上角切去4公分乘3公分的長方形。求剩餘面積與周長。

1. 原面積＝10 × 8＝80平方公分，切去面積＝4 × 3＝12平方公分。
2. 切口完全位於原形內，剩餘面積＝80−12＝68平方公分。
3. 原外邊界少掉上方4公分與右側3公分，卻多出凹口內的水平4公分與垂直3公分。
4. 少掉與新增的總長相同，所以周長仍為2 × (10＋8)＝36公分。
5. 面積變小不代表周長一定變小；本題也不能把切去小長方形的周長14公分整個加到原周長上。

![角落切去矩形後成為L形，面積扣掉12平方公分；新凹口取代原來同長的兩段邊界。](assets/f15-composite-area-boundary.svg)

## 5.4 常見錯誤與本章回顧

分割時確認各塊內部不重疊、合起來恰為原區域；相減時確認被減區域確實在其中。公式中的高一定垂直於所選底邊。每次計算也分清自己在加面積還是在沿邊界加長度。

## 5.5 練習

1. **B03-C05-Q01**　長7公分、寬2.5公分的長方形，面積多少？
2. **B03-C05-Q02**　平行四邊形底6公分、垂直高4公分、斜邊5公分，面積多少？
3. **B03-C05-Q03**　三角形底9公分、高6公分，面積多少？
4. **B03-C05-Q04**　梯形平行底邊5、11公分，高4公分，面積多少？
5. **B03-C05-Q05**　正方形邊長1.2公尺，面積多少平方公尺？
6. **B03-C05-Q06**　2平方公尺等於多少平方公分？
7. **B03-C05-Q07**　2×8與4×4的長方形面積相同，周長也相同嗎？
8. **B03-C05-Q08**　鈍角三角形底10公分，頂點到底邊所在直線的垂直距離3公分，高足在邊的延長線上，面積多少？
9. **B03-C05-Q09**　長12、寬9公分的外框內挖去一個8×5公分的矩形孔，求剩餘面積，不求周長。
10. **B03-C05-Q10**　長方形寬5公分、長由8增加為10公分。用分割說明新增面積，再核對總面積。

## 5.6 完整解答

### Q01

面積＝7 × 2.5＝17.5平方公分。把2.5拆為2＋0.5，也得14＋3.5＝17.5，兩種分割一致。

### Q02

面積＝底 × 垂直高＝6 × 4＝24平方公分。斜邊5公分不是高，不能用6 × 5；斜邊與底的夾角不為直角。

### Q03

兩個全等三角形合成面積9 × 6＝54的平行四邊形，所以原面積＝54 ÷ 2＝27平方公分。

### Q04

兩份梯形拼成底5＋11＝16公分、高4公分的平行四邊形。原面積＝16 × 4 ÷ 2＝32平方公分。

### Q05

兩邊長同為1.2公尺，面積＝1.2²＝1.44平方公尺。計算1.2 × 1.2的結果不是2.4；後者是兩條邊的長度和。

### Q06

1公尺＝100公分，所以1平方公尺＝100 × 100＝10,000平方公分。2平方公尺＝20,000平方公分，面積換算要平方長度倍率。

### Q07

第一個周長＝2 × (2＋8)＝20，第二個＝2 × (4＋4)＝16，並不相同。相同的16平方單位面積不能唯一決定邊界長。

### Q08

面積＝10 × 3 ÷ 2＝15平方公分。高是到直線的垂直距離，高足在延長線上不使公式失效；若改用頂點到底邊端點的斜距，才會用錯量。

### Q09

外框面積＝12 × 9＝108，孔面積＝8 × 5＝40平方公分。孔在外框內，所以剩餘108−40＝68平方公分。孔的位置會影響某些邊界描述，但不改本題已知的面積差。

### Q10

新增區域是一條長10−8＝2公分、寬5公分的矩形，面積2 × 5＝10平方公分。原面積8 × 5＝40，加上新增10得到50，正好等於10 × 5。這是分配律(8＋2) × 5＝8 × 5＋2 × 5的面積解釋。

## 5.7 延伸閱讀方向

下一章把面積分割用在一般定理的證明。數一個3、4、5邊長圖的面積可以做驗算，但只有保留任意正邊長與直角條件，才是在證明所有直角三角形的關係。


# 第6章 畢氏定理

在直角三角形中，兩直角邊平方和等於斜邊平方。這句話同時包含形狀條件、邊的角色及平方運算；拿掉直角，不能照用公式。本章先證明一般關係，再處理求長與逆判定。

先備是面積的分割拼合、三角形內角和及平方根。讀完應能指出斜邊、寫出一般重排理由，並在求根時保留正長度。

## 6.1 四個三角形重排的證明

設直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊為c，三者均為正數。斜邊對著90°，不是依圖放在上方、右側或看起來最斜來命名。

### 例題1 不只驗算3、4、5

用四個全等直角三角形拼在邊長a＋b的大正方形四角，證明a²＋b²＝c²。

1. 每個角落放一個三角形，兩條直角邊沿大正方形的相鄰邊；每條外邊恰由a、b兩段組成。
2. 中央剩餘四邊形的四邊都是三角形斜邊，長度均為c。
3. 原三角形兩銳角和為90°。中央每個角等於180°減去這兩銳角之和，所以也是90°。
4. 因此中央確為邊長c的正方形，而不是只憑外觀叫它正方形。
5. 大面積＝(a＋b)²；四個三角形合計4 × ab/2＝2ab，中央面積c²。拼合沒有重疊或遺漏，故(a＋b)²＝2ab＋c²。
6. 展開左邊得到a²＋2ab＋b²＝2ab＋c²；兩側同減2ab，得a²＋b²＝c²。
7. a、b是任意正直角邊，推理沒有把它們固定成3、4，所以是一般證明。3²＋4²＝5²只是其中一個數值核對。

![四個直角三角形占據大正方形四角，中央四邊等於斜邊且四角為直角；本圖取3、4、5作一般重排的數值示例。](assets/f16-pythagorean-rearrangement.svg)

## 6.2 求長時保留邊的角色

### 例題2 已知兩直角邊

直角三角形兩直角邊為5、12公分，求斜邊c。

1. 已知直角，所以c²＝5²＋12²＝25＋144＝169。
2. 斜邊為正長度，取c＝√169＝13公分，不取−13。
3. 回查5²＋12²＝13²，且13大於5與12，符合斜邊角色。

![例題2的5、12、13直角三角形，三邊正方形面積分別是25、144、169；不以正方形的像素數當證明。](assets/f17-pythagorean-square-areas.svg)

### 例題3 已知斜邊和一條直角邊

斜邊17公分，一條直角邊8公分，求另一條直角邊b。

1. 正確關係是8²＋b²＝17²，不能把17放在兩直角邊的那一側再相加。
2. 同減64，得到b²＝289−64＝225。
3. 保留b＞0，得到b＝15公分。
4. 回查64＋225＝289，且8＋15＞17，數值與非退化三角形條件相符。

## 6.3 逆命題要另給理由

### 例題4 從三邊判斷直角

非退化三角形三邊7、24、25公分，能否判定為直角三角形？

1. 25是最長邊，先算7²＋24²＝49＋576＝625＝25²。
2. 另作一個兩直角邊為7、24的直角三角形。由已證的定理，它的斜邊長是正的√625＝25。
3. 新作的直角三角形與原三角形三邊相等，依SSS全等。
4. 對應7、24兩邊的夾角因此也是90°，原三角形為直角三角形。

這個例題示範了逆命題的一般證明方法。設原三角形是任意邊長為a、b、c的非退化三角形，且a²＋b²＝c²。另作兩直角邊為a、b的直角三角形，由已證的正向定理，其斜邊平方為a²＋b²＝c²；因邊長為正，斜邊恰為c。新作圖與原三角形遂由SSS全等，原圖中a、b兩邊的夾角也為90°。這個理由對所有符合前提的正邊長成立，不是因為原命題成立就直接把箭頭倒過來。

![先作已知兩直角邊的直角三角形，再以三邊相等對回原三角形，建立逆判定的理由。](assets/f18-pythagorean-converse.svg)

## 6.4 常見錯誤與本章回顧

求長之前標出直角和斜邊；判定直角之前以最長邊作平方比較。平方根只取正長度。√(a²＋b²)通常不等於a＋b；把根號分別拆掉會多出未被允許的運算。

## 6.5 練習

1. **B03-C06-Q01**　直角邊6、8公分，求斜邊。
2. **B03-C06-Q02**　斜邊13公分、一條直角邊5公分，求另一邊。
3. **B03-C06-Q03**　三邊8、15、17公分，是否為直角三角形？
4. **B03-C06-Q04**　三邊4、5、6公分，是否為直角三角形？
5. **B03-C06-Q05**　純幾何模型中，垂直牆與水平地面成直角，長10公尺的線段上端在牆上、下端距牆6公尺，求上端離地高度。
6. **B03-C06-Q06**　長方形邊長9、12公分，求對角線。
7. **B03-C06-Q07**　正方形邊長3公分，求對角線，保留精確根式。
8. **B03-C06-Q08**　用a＝3、b＝4說明√(a²＋b²)不總等於a＋b。
9. **B03-C06-Q09**　三邊13、14、15公分，能用畢氏逆命題判定它為直角嗎？
10. **B03-C06-Q10**　在例題1的重排中取a＝2、b＝3。分別算大正方形、四個三角形及中央正方形面積，再求c。

## 6.6 完整解答

### Q01

斜邊平方＝6²＋8²＝36＋64＝100。取正長度√100＝10公分；反查100＝10²。

### Q02

另一邊平方＝13²−5²＝169−25＝144，取正根得12公分。回查5²＋12²＝25＋144＝169。

### Q03

17最長，8²＋15²＝64＋225＝289＝17²。三邊均正且8＋15＞17，依已說明的逆命題，對17邊的角為直角。

### Q04

6最長，但4²＋5²＝16＋25＝41，不等於6²＝36，所以不是直角三角形。4＋5＞6表示它仍可成為三角形，不能把「非直角」寫成「不存在」。

### Q05

模型中的高度與6公尺底邊互相垂直，10公尺是斜邊。高度平方＝100−36＝64，取正根為8公尺。6²＋8²＝10²；這只是幾何模型，不是對真實梯具或施工安全的建議。

### Q06

長方形角為90°，對角線構成直角三角形。對角線平方＝9²＋12²＝81＋144＝225，所以長15公分。對角線不是兩邊長相加的21公分。

### Q07

對角線平方＝3²＋3²＝18，所以長√18＝3√2公分。驗算(3√2)²＝9 × 2＝18，且長度為正。

### Q08

左側＝√(9＋16)＝√25＝5，右側＝3＋4＝7，兩者不等。這個符合a、b為正的反例，已足以否定對所有a、b都成立的說法。

### Q09

15最長，13²＋14²＝169＋196＝365，而15²＝225，並不相等。因此不能判定為直角；由直角三角形必滿足的正向定理，也知它不是直角三角形。

### Q10

大面積＝(2＋3)²＝25；每個三角形面積2 × 3 ÷ 2＝3，四個合計12。中央面積＝25−12＝13，故c²＝13，正斜邊c＝√13。也等於2²＋3²＝13，兩條計算鏈一致。

## 6.7 延伸閱讀方向

畢氏定理後來可用來定義坐標距離，但本章的重排證明沒有先把距離公式當前提。遇到新的逆命題，也要像本章一樣另找可用的推理，而不是直接倒轉一句話。


# 第7章 圓、弧與圓形區域

「一個圓」有時被口語地用來指邊界，有時指整片區域。本章會分開說明：圓周是到圓心距離恰為r的點，圓盤則包含到圓心距離不超過r的全部點。半徑一律取r＞0。

先備是比例、面積、平方及畢氏定理。讀完應能求圓周、圓盤、扇形與圓環的量，辨認弧長和封閉邊界周長的差異，並保留π的精確形式。

## 7.1 π、圓周與面積

直徑d＝2r。所有圓彼此相似，圓周長與直徑的比是同一常數π，因此C＝πd＝2πr。π是精確常數，3.14只是近似值，不把π直接定義成3.14或22/7。

圓盤面積為πr²，可用內接正多邊形的逼近理解：把多邊形從圓心分成三角形，總面積是「多邊形周長 × 邊心距 ÷ 2」。邊數增加時，周長趨近圓周2πr，邊心距趨近r，面積趨近πr²。這裡使用面積與周長的極限性質；任何有限張三角形圖都還不是曲邊圓盤的完全相等分割。

![圓周是邊界、圓盤是區域；半徑連圓心與圓周，直徑通過圓心且長為兩倍半徑。](assets/f19-circle-radius-region.svg)

### 例題1 精確式與近似值分開

圓半徑5公分，求周長與面積；若另外指定π≈3.14，再給近似數值。

1. 周長C＝2π × 5＝10π公分，面積A＝π × 5²＝25π平方公分。
2. 這兩個含π的式子是精確答案，單位不同。
3. 使用題目指定的近似，C≈10 × 3.14＝31.4公分，A≈25 × 3.14＝78.5平方公分。
4. 近似代入沒有把10π變成「精確等於31.4」；符號≈要保留。

## 7.2 扇形是整圓的固定比例

對0°＜θ＜360°的圓心角，其扇形占整圓的比例是θ/360°。同一圓的弧長與扇形面積依此比例分配；這不表示弧線變成了直線。

### 例題2 60度扇形的三種量

半徑6公分、圓心角60°，求弧長、面積及扇形周長。

1. 比例為60/360＝1/6。
2. 整圓周長12π公分，所以弧長＝12π ÷ 6＝2π公分。
3. 整圓盤面積36π平方公分，所以扇形面積＝36π ÷ 6＝6π平方公分。
4. 扇形邊界還包括兩條半徑，周長＝2π＋6＋6＝12＋2π公分。

![扇形弧長只沿曲邊量，扇形周長還要加兩條半徑；圓心角決定其占整圓的比例。](assets/f20-sector-arc-boundary.svg)

### 例題3 圓環面積與兩條邊界

同心圓的外半徑5公分、內半徑3公分，求圓環面積及邊界總長。

1. 內圓盤完全在外圓盤內，面積可相減：π × 5²−π × 3²＝16π平方公分。
2. 圓環的邊界有外圓周與孔洞的內圓周，總長＝2π × 5＋2π × 3＝16π公分。
3. 兩個數值碰巧都是16π，但一個是平方公分、一個是公分，不能當成同一種量。
4. 面積不是π(5−3)²＝4π；那是半徑2公分的另一個圓盤。

![圓環的面積扣除內圓盤，但邊界總長必須把內、外兩條圓周都加上。](assets/f21-annulus-chord.svg)

## 7.3 弦長連接直角三角形

### 例題4 圓心到弦的垂直距離

圓半徑5公分，M在線段AB上，OM垂直弦AB且OM＝3公分，O為圓心。求AB。

1. OA＝OB＝5公分，OM＝3公分，△OMA、△OMB都是直角三角形。
2. 由畢氏定理，AM²＝5²−3²＝16，BM²也等於16。
3. AM、BM皆取正根，所以均為4公分。
4. M在A、B之間，AB＝AM＋MB＝8公分。半徑5與距離3不能直接相加當成弦長。

## 7.4 常見錯誤與本章回顧

先分清半徑與直徑、邊界與區域、弧長與扇形周長。圓環面積相減，孔洞邊界長卻要加回。根式與π能保留時先保留，只有題目要求近似時再依指定精度處理。

## 7.5 練習

1. **B03-C07-Q01**　直徑14公分，求半徑、周長與面積。
2. **B03-C07-Q02**　半徑3公分，求周長與面積，保留π。
3. **B03-C07-Q03**　半徑4公分、圓心角90°，求弧長、面積及扇形周長。
4. **B03-C07-Q04**　半徑6公分的半圓盤，面積與完整邊界周長各是多少？
5. **B03-C07-Q05**　外半徑6、內半徑2公分的圓環，求面積及邊界總長。
6. **B03-C07-Q06**　半徑放大2倍，圓周長與圓盤面積各變成幾倍？
7. **B03-C07-Q07**　周長20π公分的圓，半徑與面積各是多少？
8. **B03-C07-Q08**　半徑6公分的圓中，一段弧長3π公分，求其對應的非優圓心角與扇形面積。
9. **B03-C07-Q09**　半徑10公分，圓心到弦的垂直距離6公分，垂足在弦上，求弦長。
10. **B03-C07-Q10**　半徑2公分，指定π≈3.14時求周長與面積近似值，並說明兩者單位。

## 7.6 完整解答

### Q01

半徑＝14 ÷ 2＝7公分。周長＝πd＝14π公分，面積＝πr²＝49π平方公分。面積不能把直徑14直接當半徑平方。

### Q02

周長＝2π × 3＝6π公分；面積＝π × 3²＝9π平方公分。這些是精確式，不必先換成小數。

### Q03

比例90/360＝1/4。弧長＝(1/4) × 8π＝2π公分；面積＝(1/4) × 16π＝4π平方公分；周長還加兩半徑，為8＋2π公分。

### Q04

面積是整圓盤的一半，為36π/2＝18π平方公分。邊界包括半圓弧12π/2＝6π公分及直徑12公分，所以周長12＋6π公分。

### Q05

面積＝π(6²−2²)＝32π平方公分；邊界總長＝2π × 6＋2π × 2＝16π公分。面積與周長使用不同的加減關係。

### Q06

C＝2πr，r乘2使C乘2；A＝πr²，r乘2使A乘2²＝4。這也符合相似圖形的長度與面積倍率。

### Q07

2πr＝20π，同除正且非零的2π，得r＝10公分。面積＝π × 10²＝100π平方公分。回查2π × 10＝20π。

### Q08

整圓周長12π，弧占比＝3π/(12π)＝1/4，圓心角＝360° × 1/4＝90°。扇形面積＝36π × 1/4＝9π平方公分。

### Q09

半弦長的平方＝10²−6²＝100−36＝64，正半弦長8公分。左右兩個直角三角形給出相同半弦長，所以整弦16公分。回查6²＋8²＝10²。

### Q10

周長C＝4π公分≈12.56公分；面積A＝4π平方公分≈12.56平方公分。兩個近似數字相同，但量與單位不同，不能據此把周長等同面積。

## 7.7 延伸閱讀方向

弧度會把圓心角與弧長的比例寫得更簡潔，留待函數與三角冊展開。這裡先保留角度制的360°，不要把尚未換算的度數直接塞進弧度公式。


# 第8章 對稱、等距與縮放

把紙片平移、轉動或翻面，形狀和大小不變；把影像只朝一個方向拉長，通常就不同了。本章追蹤變換保留哪些量，也用簡單坐標記錄同一點變到哪裡。

先備是全等、相似與長度平方。這裡只需約定：兩條互相垂直的數線相交於原點O，x向右為正，y向上為正，點(x,y)依序記水平與垂直位置；圖軸使用同樣的長度單位。

## 8.1 平移把所有點移動同一段

等距變換保留任意兩點間的距離，因此也保留由它決定的角度與全等關係。平移、旋轉、鏡射都是平面的等距變換；鏡射雖可能翻轉繞行方向，仍可用於全等。

### 例題1 平移後的對應線段

P＝(1,2)、Q＝(4,2)，全部點向右3、向下1個單位平移，求P′、Q′及線段長。

1. 水平位置同加3，垂直位置同減1，所以P′＝(4,1)、Q′＝(7,1)。
2. 原線段水平，長4−1＝3；新線段也水平，長7−4＝3。
3. 一般地，兩點同加同一位移，其坐標差不變；長度由這些差決定，因此不只這一條水平線段保長。
4. 反向向左3、向上1可把每個點還原，沒有任意丟失或合併點。

![同一位移箭頭作用於三角形全部頂點，平移前後對應邊長與形狀相同。](assets/f22-translation.svg)

## 8.2 鏡射與旋轉保留距離

### 例題2 關於y軸鏡射

A＝(1,1)、B＝(3,1)、C＝(2,3)，求關於y軸鏡射的三頂點。

1. 到y軸的水平距離不變，但左右互換，規則是(x,y)變為(−x,y)。
2. 得A′＝(−1,1)、B′＝(−3,1)、C′＝(−2,3)。
3. 原AB長2，鏡像A′B′也長2；對任意兩點，水平差只改正負，垂直差不變，距離平方因此不變。
4. 再鏡射一次，−(−x)＝x，回到原來的點；繞行方向反轉不等於長度改變。

### 例題3 逆時針轉90度

以原點為中心逆時針旋轉90°，P＝(2,1)、Q＝(4,1)變到哪裡？

1. 在x向右、y向上的坐標約定中，規則為(x,y)變為(−y,x)。
2. 所以P′＝(−1,2)、Q′＝(−1,4)。
3. 原P、Q相距2，變後是垂直線段，長4−2＝2。
4. 原OP²＝2²＋1²＝5，變後OP′²＝(−1)²＋2²＝5；一般坐標差的平方和也只交換兩項，因此任意兩點距離保持。

![關於y軸的鏡射改變水平坐標正負；逆時針90度旋轉把(x,y)變為(−y,x)，兩者均保長度。](assets/f23-reflection-rotation.svg)

## 8.3 統一倍率與單向拉伸不同

### 例題4 同一三角形的兩種放大

原三角形A＝(1,1)、B＝(3,1)、C＝(1,2)。比較「以原點為中心全部坐標乘2」與「只有x乘2」。

1. 原AB＝2、AC＝1，兩邊互相垂直，所以面積2 × 1 ÷ 2＝1平方單位。
2. 全部坐標乘2得A′＝(2,2)、B′＝(6,2)、C′＝(2,4)。兩直角邊變4與2，面積4，長度統一乘2、面積乘4。
3. 只有x乘2得A″＝(2,1)、B″＝(6,1)、C″＝(2,2)。兩直角邊變4與1，面積2。
4. 後者的水平邊倍率2、垂直邊倍率1，沒有同一倍率，不能把這個對應當成相似縮放。本例兩三角形的邊長比也不同，確實不相似。

![同時放大兩軸與只拉伸水平軸作比較；直角邊的倍率、面積倍率分別標示，不把單向拉伸叫作統一縮放。](assets/f24-uniform-nonuniform-scale.svg)

## 8.4 常見錯誤與本章回顧

坐標變換前先說原點、軸方向、轉向及倍率。平移不表示只移一個點；鏡射不是把兩個坐標都改負；旋轉90°也不是只交換坐標而不管正負。縮放保形，只有倍率1時才保全部長度。

## 8.5 練習

1. **B03-C08-Q01**　點(−2,3)向右5、向下4平移後在哪裡？
2. **B03-C08-Q02**　點(−2,3)關於x軸的鏡像為何？
3. **B03-C08-Q03**　同一點關於y軸的鏡像為何？
4. **B03-C08-Q04**　(4,−1)繞原點逆時針轉90°後在哪裡？
5. **B03-C08-Q05**　(2,−3)繞原點轉180°後在哪裡？
6. **B03-C08-Q06**　以原點為中心正倍率3縮放，(2,−1)變到哪裡？
7. **B03-C08-Q07**　關於同一直線連做兩次鏡射，結果為何？用y軸規則說明。
8. **B03-C08-Q08**　寬2、高3的長方形只水平放大2倍，得到寬4、高3的長方形。兩者是否相似？
9. **B03-C08-Q09**　一個多邊形經平移、旋轉或鏡射，周長與面積是否改變？說明理由。
10. **B03-C08-Q10**　正方形有幾條鏡射對稱軸？圓又有幾條？

## 8.6 完整解答

### Q01

水平−2＋5＝3，垂直3−4＝−1，所以新點(3,−1)。反向減5、加4得到(−2,3)，與原來的點一致。

### Q02

關於x軸，水平位置不變、垂直位置改正負，故(−2,3)變為(−2,−3)。原點到兩點的距離平方都為4＋9＝13。

### Q03

關於y軸，只改水平坐標正負，得到(2,3)。不能改成(2,−3)；後者是繞原點轉180°的結果。

### Q04

套用(x,y)變為(−y,x)，得到(1,4)。原距離平方4²＋(−1)²＝17，新距離平方1²＋4²也為17。

### Q05

轉180°把兩坐標都改正負，所以得到(−2,3)。也可連做兩次逆時針90°：(2,−3)先變(3,2)，再變(−2,3)。

### Q06

每個坐標同乘3，得到(6,−3)。到原點的距離乘3，距離平方由5變45，正好乘9；不是等距變換。

### Q07

第一次(x,y)變(−x,y)，第二次變(−(−x),y)＝(x,y)，所有點都還原。這個結論要求兩次使用同一條鏡線。

### Q08

不相似。原長邊比短邊為3/2，新長邊比短邊為4/3，兩比不同；即使允許旋轉對應，也不能找到統一倍率。只比較四個直角相同並不夠。

### Q09

周長不變，因每條對應邊長都不變。面積也不變，可把多邊形分成三角形，等距變換將各塊全等地移到新位置，保留每塊面積與不重疊關係，再加總即可。繞行方向可反轉，但通常的非負面積不因此變負。

### Q10

正方形有4條：兩條對角線及兩組對邊中點的連線。圓的任一直徑所在直線都可作鏡線，故有無限多條；不把正方形的任意過中心直線也誤算成對稱軸。

## 8.7 延伸閱讀方向

坐標可把幾何變換寫成簡單規則，但坐標系本身是約定，不是圖形一定朝向某個方向。以後學線性代數時，會再把這些規則整理成矩陣與線性映射。


# 第9章 立體與展開圖

把盒子展開會看見面，把盒子裝滿則是在量體積。表面積與體積描述不同的量；同一張透視圖也不能直接拿來量真實邊長。本章用直角柱體、圓柱及正確的展開圖連接平面與空間。

先備是面積、圓周與畢氏定理。讀完應能計算常見柱體的表面積與體積，分清底面與側面，以及檢查展開圖會不會重疊。尺寸均指理想幾何內部模型，不另外計材料厚度。

## 9.1 柱體把固定底面沿高度延伸

柱體體積為底面積B乘垂直高h，即V＝Bh。長方體可從單位立方體排列理解，分數尺度可細分；一般柱體則使用等截面分層與體積的逼近性質。對直柱，側面積是底面周長乘高；斜柱的側面形狀不同，不能直接沿用這個側面公式。

### 例題1 長方體的六個面

長方體三邊2、3、4公分，求體積及封閉外表面積。

1. 以2×3的矩形作底，B＝6平方公分，高4公分，體積＝6 × 4＝24立方公分。
2. 六面分成三組相等的對面，面積依序為2×3＝6、2×4＝8、3×4＝12平方公分，各有兩片。
3. 總表面積＝2 × (6＋8＋12)＝52平方公分。
4. 若改取3×4作底，高2，體積12 × 2仍是24，與底面的選擇一致。

![長方體三條互相垂直的邊對應體積三因子；三組對面分別標明面積，透視線不供量尺讀值。](assets/f25-cuboid-measures.svg)

### 例題2 正方體展開成六個正方形

正方體邊長3公分，求表面積與體積，並說明有效展開圖需要什麼。

1. 六個面各有3²＝9平方公分，總面積6 × 9＝54平方公分。
2. 體積＝3³＝27立方公分，不是表面積再乘6。
3. 有效展開圖要讓六個面折回不同的六個位置，沿邊相接，不重疊、不缺面；僅有六個相同正方形不保證可以折成正方體。
4. 圖示採一排四格、第二格上下一格的十字形展開；每面標號可追蹤折回後的相鄰與相對關係。

![一排四格且第二格上下各一格，是正方體的一種展開圖；六面各有不同標號以追蹤折疊。](assets/f26-cube-net.svg)

## 9.2 底面不是矩形時

### 例題3 直三角柱

直三角柱底面是直角邊3、4公分的三角形，柱高10公分，求體積與封閉表面積。

1. 底面斜邊＝√(3²＋4²)＝5公分，底面積＝3 × 4 ÷ 2＝6平方公分。
2. 體積＝6 × 10＝60立方公分。
3. 三個側面是3×10、4×10、5×10的矩形，總面積＝(3＋4＋5) × 10＝120平方公分。
4. 再加上兩底面2 × 6＝12，表面積＝132平方公分。只加側面會漏掉兩個三角形。

### 例題4 圓柱的側面展開

直圓柱半徑2公分、高5公分，求體積及封閉表面積。

1. 底面積＝π × 2²＝4π平方公分，體積＝4π × 5＝20π立方公分。
2. 沿一條母線把側面展開成矩形，一邊是高5，另一邊是底面圓周2π × 2＝4π公分。
3. 側面積＝4π × 5＝20π平方公分。
4. 加兩底面8π，表面積＝28π平方公分。側面矩形的寬是圓周，不是直徑4公分。

![圓柱側面展開的矩形寬為圓周2πr，高為h；兩個圓盤底面另外計入，不能漏面。](assets/f27-cylinder-unfolding.svg)

## 9.3 常見錯誤與本章回顧

表面積的單位是平方，體積是立方。開口盒要依實際保留的面計面積；柱體公式不能直接套到錐體，因為錐體各高度的截面不同。若空間所有長度統一乘k＞0，面積乘k²、體積乘k³，單向拉伸不能冒充統一相似。

## 9.4 練習

1. **B03-C09-Q01**　正方體邊長4公分，求表面積與體積。
2. **B03-C09-Q02**　長方體邊長5、4、3公分，求表面積與體積。
3. **B03-C09-Q03**　1立方公尺等於多少立方公分？
4. **B03-C09-Q04**　封閉直圓柱半徑3、高4公分，求體積與表面積。
5. **B03-C09-Q05**　直圓柱半徑5、高6公分，側面展開矩形的寬與面積是多少？
6. **B03-C09-Q06**　無上蓋長方體盒長8、寬5、高4公分，求保留五面的面積，不計厚度。
7. **B03-C09-Q07**　兩相似立體的對應長度比為1:2，表面積比與體積比各是多少？
8. **B03-C09-Q08**　六個單位正方形排成完整2×3矩形，不剪開額外邊、不重疊地折，能作正方體展開圖嗎？
9. **B03-C09-Q09**　直三角柱底面直角邊6、8公分，柱高5公分，求體積與封閉表面積。
10. **B03-C09-Q10**　圓柱直徑8、高10公分，有人算體積π × 8² × 10＝640π。指出錯誤並改正。

## 9.5 完整解答

### Q01

每個面16平方公分，六面表面積＝6 × 16＝96平方公分。體積＝4 × 4 × 4＝64立方公分。兩個量不能互換單位。

### Q02

三組面積為5×4＝20、5×3＝15、4×3＝12，各有兩面，所以表面積2 × (20＋15＋12)＝94平方公分。體積＝5 × 4 × 3＝60立方公分。

### Q03

每條邊1公尺＝100公分，立方體三個方向都換算，所以1立方公尺＝100³＝1,000,000立方公分。不是只乘100或10,000。

### Q04

底面積9π，體積＝9π × 4＝36π立方公分。側面積＝2π × 3 × 4＝24π，兩底面18π，所以表面積42π平方公分。

### Q05

展開寬是底面圓周2π × 5＝10π公分，高6公分。側面積＝10π × 6＝60π平方公分；寬不是半徑5或直徑10。

### Q06

底面8×5＝40，兩長側面共2 × 8 × 4＝64，兩短側面共2 × 5 × 4＝40平方公分。總計144平方公分；上蓋40沒有保留，所以不能算入。

### Q07

對應面各有長度的平方倍率，表面積比1²:2²＝1:4；體積比1³:2³＝1:8。需要所有方向同一倍率，而不是只把高度加倍。

### Q08

不能。2×3矩形內有四個小正方形共用的內部格點；不切斷額外邊地折疊，四個不同面仍要共用該點。正方體任一頂點只會有三個面相會；若讓其中面重疊又違反題意。因此六格的數量正確，接合方式仍不合。

### Q09

底面斜邊＝√(6²＋8²)＝10，底面積＝6 × 8 ÷ 2＝24平方公分。體積＝24 × 5＝120立方公分。側面積＝(6＋8＋10) × 5＝120，加兩底48，表面積＝168平方公分。

### Q10

8公分是直徑，半徑應為8 ÷ 2＝4公分。體積＝π × 4² × 10＝160π立方公分。原錯式把半徑放大2倍，面積及體積因此錯乘4；640π ÷ 4＝160π。

## 9.6 延伸閱讀方向

錐體、球體與不規則區域需要另外的分割或極限推理；不可把柱體的固定截面想法直接搬過去。後續微積分冊會提供更一般的面積與體積工具，本章先把基本柱體與展開圖讀準。


# 第10章 幾何解題與證明

解題時畫輔助線，是為了建立可使用的關係，不是為了把希望的結論畫成真的。這一章把前面的全等、相似、面積與畢氏定理串起來，練習從已知走到目標，再檢查是否暗中補了條件。

先備是前9章的定義與基本性質。每題先寫已知與所求；新增點或線時，要說明它怎樣定義。計算得到一個數值後，仍要核對它是否是原題的長度、角度或面積。

## 10.1 中點連線未必先天垂直

### 例題1 等腰三角形的高

△ABC中AB＝AC＝5公分、BC＝6公分，D是BC中點，求AD並說明它為何是高。

1. D是中點，所以BD＝DC＝3公分；AD是兩小三角形的共同邊。
2. 比較△ABD與△ACD，AB＝AC、BD＝CD、AD＝AD，由SSS全等。
3. 對應角∠ADB＝∠ADC；B、D、C依序共線，這兩角又互補，所以每角90°。
4. 因此AD確實垂直BC，現在才可在△ABD使用畢氏定理。
5. AD²＝5²−3²＝16，取正長度AD＝4公分。
6. 回查3²＋4²＝5²，兩底段相等，整個原三角形的條件也一致。若沒有AB＝AC，過中點的線段通常不是高。

![先以兩小三角形SSS全等證明中線垂直底邊，再把其中一半當直角三角形求高。](assets/f28-auxiliary-midpoint-proof.svg)

## 10.2 對角線分面積需要理由

### 例題2 平行四邊形的對角線

非退化平行四邊形ABCD，底9公分、對應高4公分，對角線AC將它分成△ABC與△CDA。證明兩者面積相等並求面積。

1. AB平行CD，截線AC給∠BAC＝∠DCA。
2. BC平行AD，截線AC給∠BCA＝∠DAC。
3. AC是共同邊，兩角及其夾邊對應相等，由ASA，△ABC≅△CDA。
4. 全等三角形面積相等，且兩者無重疊地合成原平行四邊形。
5. 原面積＝9 × 4＝36平方公分，每個三角形面積＝36 ÷ 2＝18平方公分。

本題沒有假設AC是高、角平分線或兩條對角線互相垂直；這些並不是一般平行四邊形都具備的條件。

### 例題3 外角和遠端內角

在△ABC中把BC延長至D，B、C、D依序共線。已知∠A＝50°、∠B＝65°，求外角∠ACD，並說明一般規律。

1. 三內角和給出∠C＝180°−50°−65°＝65°。
2. CB、CD相反，外角∠ACD＝180°−∠C＝115°。
3. 若把三內角記為α、β、γ，一般地α＋β＋γ＝180°，所以180°−γ＝α＋β。
4. 因此外角等於兩個不相鄰內角之和；本例50°＋65°＝115°，與前一條計算鏈相同。

![三角形的一條邊延長後，外角與相鄰內角互補；平行四邊形對角線的兩側則以對應角和共邊建立全等。](assets/f29-diagonal-exterior-angle.svg)

## 10.3 一般命題與反例的檢查方式

### 例題4 相同周長與相同面積

「周長相同，面積必相同」與「面積相同，周長必相同」都對嗎？

1. 長方形3×4與2×5的周長都為14，但面積分別12、10平方單位，否定第一句。
2. 長方形2×6與3×4的面積都12，周長分別16、14單位，否定第二句。
3. 兩組反例的邊長都為正，都是合法長方形，並且確實滿足各自要反駁句子的前提。
4. 一個有效反例就能否定「對所有」的說法；反過來，列幾個符合例子不能證明一般命題。

![同周長不同面積與同面積不同周長分成兩組矩形對照；每組先檢查前提，再比較所聲稱的結論。](assets/f30-perimeter-area-counterexamples.svg)

## 10.4 常見錯誤與本章回顧

常見的跳步是：看見中點就當作高、看見兩角像一樣就宣稱相似、看見平方關係就忘記直角前提，或把一組代入當成一般證明。每一步旁邊保留理由，能幫我們找到究竟哪一項條件被省掉了。

若答案不合，先查單位、頂點對應、退化情形與輔助線定義，再查算術。不把多畫一個直角符號當成證明，也不因一張非比例圖的視覺印象推翻已給定的精確條件。

現在已有讀圖、計算、輔助線與基本證明的共同語言。函數與三角冊會把角、坐標與變化再連起來；集合、邏輯與證明冊則會更仔細處理命題方向、量詞與反例。本冊的標準推導能重建，就比只記一串公式更接近真正熟悉。

## 10.5 練習

1. **B03-C10-Q01**　等腰三角形兩腰13、底10公分，連頂點與底邊中點，求這條線段長；先說明為何垂直。
2. **B03-C10-Q02**　平行四邊形底8、高5公分，任一對角線分成的兩三角形面積各是多少？
3. **B03-C10-Q03**　三角形兩角35°、80°，求第三角及第三角相鄰的外角。
4. **B03-C10-Q04**　三角形底12、高7公分，從頂點連到底邊中點，證明兩小三角形面積相等並求面積。不能先假設這條中線是高。
5. **B03-C10-Q05**　四邊等長的四邊形是否必為正方形？給出符合前提的反例。
6. **B03-C10-Q06**　只知四邊形一組對邊平行，是否必為平行四邊形？可用底長不同的梯形說明。
7. **B03-C10-Q07**　標示「不按比例」的圖沒有高的數值，能否用圖中像素長度的比例算出精確面積？
8. **B03-C10-Q08**　三邊5、7、12的資料能否直接當本書的三角形套面積公式？
9. **B03-C10-Q09**　只知AB＝3、BC＝4、DE＝6、EF＝8，兩三角形非退化但未給相似。兩組邊長比相同是否已足以判定相似？
10. **B03-C10-Q10**　對任意正長度a、b的長方形，說明對角線為何把它分成兩個等面積三角形，並求對角線長。區分一般理由與某個數值驗算。

## 10.6 完整解答

### Q01

中點分底為5、5，兩小三角形有兩腰13相等、兩半底5相等與共同中線，由SSS全等。中點處兩角既相等又互補，所以各90°。此後才用畢氏定理：高的平方＝13²−5²＝169−25＝144，正高12公分。回查5²＋12²＝13²。

### Q02

平行四邊形對角線兩側由兩組平行線的對應角與共同邊可得全等，因此面積相等。總面積＝8 × 5＝40，每個20平方公分；不需知道對角線長度。

### Q03

第三角＝180°−35°−80°＝65°。其相鄰外角＝180°−65°＝115°，也等於兩個遠端內角35°＋80°。兩條推理鏈使用同一組明示條件。

### Q04

中點把底分成6與6。兩小三角形的頂點相同，底邊又在同一直線上，所以到該直線的垂直高都為7。各面積＝6 × 7 ÷ 2＝21平方公分，合計42，等於12 × 7 ÷ 2。中線可以是斜的，不影響兩塊共用同一個高。

### Q05

不一定。把兩個邊長1的正三角形沿一邊接在相反兩側，外框四邊均長1，內角為60°、120°、60°、120°，沒有四個直角。因此四邊等長不保證正方形；還缺合適的直角條件。

### Q06

不一定。例如A＝(0,0)、B＝(8,0)、C＝(6,3)、D＝(2,3)，AB與CD都水平，底長8與4不同。從下到上，AD向右移2，BC卻向左移2，所以這兩邊不平行。它符合一組對邊平行，卻不是兩組對邊都平行的平行四邊形。

### Q07

不能。「不按比例」已排除用圖片距離當真實比例；有限像素也不提供未給的精確長度。可以加輔助線尋找可推得的高，或指出條件不足，但不能自行把視覺估值升成精確條件。

### Q08

不能。5＋7＝12，資料只能拉成退化的直線配置，違反三點不共線的定義。若另定義退化圖形面積為0，那是延伸慣例，不能冒充題目給了一個本書意義的非退化三角形。

### Q09

不足。可取AC＝5、DF＝9，得到三邊3、4、5及6、8、9的合法三角形。前兩比都2，但第三比9/5不等於2，所以不相似。若還給這兩已知邊的夾角相等，才可用SAS型相似判定。

### Q10

對角線兩側的三角形，有長方形對邊各為a與b相等，且對角線為共邊，由SSS全等。它們無重疊地合成面積ab的長方形，所以各為ab/2。每個又含一個直角，對角線平方為a²＋b²，正長度為√(a²＋b²)。這些理由對任意a、b＞0成立；取a＝3、b＝4驗得面積6與對角線5，只是一般結果的一個例子。