# OCME 第6冊 微積分上：極限與微分 · v0.2

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![圓形等距共同署名，不分先後。](assets/signature-circle.svg)

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出版／營運單位：EVEMISS TECHNOLOGY CO., LTD.

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# 第1章 變化與局部觀察

## 1.1 先問輸入在哪裡

第四冊把函數當成有定義域的對應；第五冊讓我們把假設寫清楚。這裡先做一件小事：選定一個觀察點，分開記錄輸入的改變與輸出的改變。若 t 表示秒、s(t) 表示公尺，則 s(t₂)−s(t₁) 是位移，不能拿位置 s(t₂) 直接代替位移。

固定起點 a，令 h 是輸入增量。只有當 a 與 a+h 都在定義域，且 h≠0 時，才可取兩點的平均變化率：

> 平均變化率 = [f(a+h)−f(a)]/h。

圖上這是割線的斜率。若 h<0，第二點位於起點左側；分子、分母依同一順序相減。交換兩點時兩個差同時變號，商不變。單位是「輸出單位／輸入單位」，不是單純看圖線陡不陡。

![固定平方曲線上的點，一條割線取遠點，另一條割線取較近的點；兩條斜率不同。](assets/f01-secant-zoom.svg)

## 1.2 四個例題

### 例題1 固定起點再縮短步長

設 f(x)=x²，從 a=1 看向 x=2。割線斜率是 (4−1)/(2−1)=3。改看 x=5/4，斜率變成 (25/16−1)/(1/4)=9/4。

這不是換了一條函數，而是換了第二點。一般地，(1+h)²−1=2h+h²；只在 h≠0 時除以 h，得到 2+h。靠近時斜率似乎接近2，但極限的定義要到後面才用來保證這句話。

### 例題2 位移、時間差與單位

玩具車的位置 s(t)=t²+1 公尺，0≤t≤4。從 t=1 到 t=3，位置由2到10，位移是8公尺；時間差2秒，所以平均速度是4公尺／秒。它並不是整段每一刻都以4公尺／秒前進；只憑這個商不能斷定各時刻的速度。

### 例題3 兩個方向給不同訊息

以 f(x)=|x| 的 x=0 為起點，若 h>0，則 |h|/h=1；若 h<0，則 |h|/h=−1。兩側都能任意靠近，但割線斜率沒有合成同一個值。即使點與曲線連在一起，也不代表局部有唯一斜率。

### 例題4 近似不等於相等

比較 f(x)=x² 和直線 g(x)=2x−1。在 x=1，兩者同為1；在 x=1+h，兩者差為 (1+h)²−(1+2h)=h²。若 h=1/10，差為1/100；若把 |h| 再縮小一半，差變為1/400。把差明寫出來，比「放大看起來很像直線」更能說明近似的品質。

![平方曲線在 x=1 附近與直線相貼；離開觀察點後出現 h² 的垂直差。](assets/f02-local-line.svg)

## 1.3 練習

1. **B06-C01-Q01** 求 f(x)=3x−2 從 x=1 到 x=4 的平均變化率。
2. **B06-C01-Q02** s(t)=9−2t 公尺，t 以秒計。求 1 到3秒的位移與平均速度。
3. **B06-C01-Q03** 求 f(x)=x² 從 x=2 到 x=2.1 的平均變化率。
4. **B06-C01-Q04** 對 f(x)=x²+3，把從 a 到 a+h 的差商整理成不含分母 h 的式子，保留條件。
5. **B06-C01-Q05** f(x)=|x−1|。以 a=1 比較 h=1/2 與 h=−1/2 的差商。
6. **B06-C01-Q06** f(x)=√(x−1)。以 a=1 觀察時，哪些 h 可以用在差商？
7. **B06-C01-Q07** s(t)=t²−4t，求 t=1 到3 的平均速度，並說明為什麼不能說物體沒動。
8. **B06-C01-Q08** 在 x=1.02，以 g(x)=2x−1 近似 f(x)=x²，求 f(x)−g(x)。
9. **B06-C01-Q09** f(x)=x（x≤1），f(x)=2x−1（x>1）。求以1為起點的兩側差商。
10. **B06-C01-Q10** 三點 (0,0)、(1,1)、(2,4) 能否唯一決定所有 x 的函數值？給出反例。

## 1.4 完整解答

### Q01

f(1)=1、f(4)=10，所以變化率為 (10−1)/3=3。對一次函數，這也等於 x 的係數。

### Q02

s(1)=7、s(3)=3，所以位移為3−7=−4公尺；平均速度為 −4/2=−2公尺／秒。負號表示朝位置座標的負方向。

### Q03

輸入差為1/10，輸出差為441/100−4=41/100，所以商為41/10=4.1。

### Q04

分子為 (a+h)²+3−(a²+3)=h(2a+h)。當 h≠0，差商等於2a+h；簡式在 h=0 有值，但原差商仍未定義。

### Q05

f(1)=0，左右兩個第二點的值都為1/2。分別除以1/2與−1/2，得到1與−1。

### Q06

1+h 必須滿足 1+h≥1，所以 h≥0；差商又要求 h≠0。因此只可取 h>0，沒有左側差商。

### Q07

s(1)=s(3)=−3，平均速度為0。但是 s(2)=−4，位置曾經改變；終點與起點相同只說明位移為零。

### Q08

x=1+1/50，差等於 h²=(1/50)²=1/2500=0.0004。近似值較小。

### Q09

左側 h<0 時 f(1+h)=1+h，差商為1；右側 h>0 時 f(1+h)=1+2h，差商為2。兩個公式在起點接上，不保證斜率接上。

### Q10

取 f(x)=x²、g(x)=x²+x(x−1)(x−2)。三個指定輸入使加項為零；在 x=3，f(3)=9，g(3)=15。因此有限資料不決定整條規則。


# 第2章 數列與趨近

## 2.1 項的規則與有限觀察

數列是以自然數作輸入的函數。本冊的數列從 n=1 起，寫作 a₁、a₂、a₃、⋯。數列可以有明確通式，也可以給首項與遞迴規則。下標只取整數，散點之間不必有可供取值的曲線。

「趨近 L」不是某一項剛好等於 L，而是往後所有項都可以留在任意指定的誤差範圍內。有一個子列接近 L 不夠；別的子列可能一直走向另一個值。

![n/(n+1) 的前幾項是離散散點，值由下方接近水平線 y=1；圖沒有替無窮多項畫線。](assets/f03-sequence-tail.svg)

## 2.2 四個例題

### 例題1 用式子找趨勢

aₙ=n/(n+1) 的前四項是1/2、2/3、3/4、4/5。把它改寫成 1−1/(n+1)，就能看出差距由正的 1/(n+1) 決定。分母可以任意大，差距可任意小；不是靠「前四點排得漂亮」來猜1。

### 例題2 相同的前綴可以接不同尾巴

兩個數列的前五項都取0。從第六項起，第一個永遠取1，第二個永遠取−1。對小於1/2的誤差要求，前者從第六項起全部落在1附近，後者則全部落在−1附近。五個完全相同的觀察值不能保證相同的極限。

### 例題3 奇偶分開看

設 bₙ=(−1)^n+1/n。偶數項為1+1/n，隨偶下標變大而靠近1；奇數項為−1+1/n，靠近−1。若原數列能一直待在某個 L 的任意小鄰域，足夠晚的奇偶項都得待在那裡，兩種尾段就不會有不同的極限。因此 bₙ 不收斂。

### 例題4 由遞迴寫出誤差

a₁=1，aₙ₊₁=(aₙ+2)/2。注意 2−aₙ₊₁=(2−aₙ)/2，初始差距為1。每步將差距減半，歸納得 2−aₙ=(1/2)^(n−1)。因此 aₙ=2−(1/2)^(n−1)，單調增加且以2為上界。又 2^(n−1)≥n：n=1 成立，而乘2後 2n≥n+1。故差距至多1/n，可任意小，極限為2。

![兩條數列有相同的五項前綴，從第六項起分別固定在 1 和 −1；前綴不決定極限。](assets/f04-identical-prefix.svg)

## 2.3 有界、單調與上確界

「有界」是所有項被同一對上下界夾住；「單調不減」是 aₙ₊₁≥aₙ。兩者分開都不足以保證收斂，例如 (−1)^n 有界但擺動，n 單調增加但無上界。

本書使用實數完備性：非空且有上界的實數集合有上確界。若數列單調不減且有上界，取 S 為所有項的上確界。任取 ε>0，S−ε 不是上界，故可找到 a_N>S−ε；此後 S−ε<a_N≤aₙ≤S。這正是收斂到 S 所需的尾段。單調不增且有下界時，可對 −aₙ 用同樣理由。這個證明不是從「有界」直接跳到「收斂」。

## 2.4 練習

1. **B06-C02-Q01** 列出 aₙ=n²−n 的前四項。
2. **B06-C02-Q02** 保持 1、1/2、1/3、1/4 這四項，寫一個極限不為0的數列。
3. **B06-C02-Q03** 說明 aₙ=3−1/n 是否單調，並找一組上下界。
4. **B06-C02-Q04** a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ/3。求前四項與通式。
5. **B06-C02-Q05** 說明 (−1)^n 何以沒有極限，不要只列前幾項。
6. **B06-C02-Q06** 偶數下標取 aₙ=n，奇數下標取0。能否有有限極限？
7. **B06-C02-Q07** 判斷 aₙ=1/n³ 的單調性與有界性；候選極限是什麼？
8. **B06-C02-Q08** 有界數列是否一定收斂？給出符合有界但不收斂的規則。
9. **B06-C02-Q09** aₙ=1/(n+2)。它的首項是多少？把 n=0 代入所得的數是否為本冊約定的首項？
10. **B06-C02-Q10** a₁=4、aₙ₊₁=aₙ/2+1。寫出距2的差距、單調性與極限。

## 2.5 完整解答

### Q01

逐一代 n=1、2、3、4，得0、2、6、12。下標從1開始，不能在表首另加 a₀。

### Q02

令 1≤n≤4 時 aₙ=1/n，n≥5 時 aₙ=2。從第五項起與2的差為零，所以極限為2。

### Q03

n+1>n>0，故 1/(n+1)<1/n，減去它後 aₙ 單調增加。由 0<1/n≤1 得 2≤aₙ<3，下界2、上界3。

### Q04

依序乘2/3，得 1、2/3、4/9、8/27；從第一項到第 n 項乘了 n−1 次，所以 aₙ=(2/3)^(n−1)。

### Q05

任意晚仍有等於1的偶數項與等於−1的奇數項。若兩者同在某 L 的 1/2 鄰域，距離會小於1，與距離2矛盾。不存在這樣的共同尾段。

### Q06

偶數項任意大，故不能全落在任何有限 L 的固定半徑鄰域；奇數項又始終為0。沒有有限極限，也不是整個數列趨向正無窮。

### Q07

分母 n³ 嚴格增加，故 aₙ 嚴格減少，且 0<aₙ≤1。又 1/n³≤1/n，可把它壓到任意小正數以下，所以極限為0。

### Q08

取 aₙ=(−1)^n，−1≤aₙ≤1。奇偶項的固定距離2不隨下標消失，不能共同進入同一個足夠小的誤差帶。

### Q09

a₁=1/(1+2)=1/3。若形式上代 n=0 得1/2，但0不在這個數列的下標範圍，不能拿它當首項。

### Q10

aₙ₊₁−2=(aₙ−2)/2，且 a₁−2=2，因此 aₙ−2=2(1/2)^(n−1)。差距保持正值並逐步減半，故 aₙ 單調減少並收斂到2。


# 第3章 數列極限與尾界

## 3.1 把「最後都很近」寫成條件

數列 aₙ 收斂到有限實數 L，意指：

> 對每個 ε>0，都有正整數 N，使得對所有 n≥N，|aₙ−L|<ε。

讀的順序是先收到 ε，再挑 N，最後檢查整條尾段。N 可以依賴 ε，不能在看到某個 n 不合格時再把 N 改成比它更大。這個定義用嚴格小於，因此卡在誤差帶邊界的項不合格。求出一個可用的 N 就能證明收斂，不必每次追求最小值。

![誤差 1/n 第5項等於 1/5，仍在邊界；從第6項起才嚴格落在誤差帶內。](assets/f05-strict-tail.svg)

## 3.2 四個例題

### 例題1 用整數跨過嚴格門檻

aₙ=1/n，候選 L=0。要 1/n<ε，等價於 n>1/ε。可取 N=⌊1/ε⌋+1，因為它嚴格大於 1/ε；每個 n≥N 也都大於門檻。

例如 ε=1/50，n=50 恰好等於誤差，不能採用；N=51 可以。只寫「取 N 為 1/ε 四捨五入」不保證嚴格大於。

### 例題2 先整理誤差再解不等式

aₙ=(2n+1)/(n+3)。減去候選2得 −5/(n+3)，故誤差為 5/(n+3)。對任意 ε>0，取正整數 N>5/ε 即可，因為 n+3≥N+3>N>5/ε。

若 ε=1/10，精確門檻是 n+3>50，即 n>47，故最小可用 N=48。比較兩個選法：較保守的界也足以完成證明。

### 例題3 根式尾界

欲證明 1/√n→0，要求 1/√n<ε。n 和 ε 都為正，倒數與平方的方向可追蹤：等價於 √n>1/ε，再等價於 n>1/ε²。取 N=⌊1/ε²⌋+1；例如 ε=1/10 時可取101。

### 例題4 不用猜擺動方向

設 aₙ=(−1)^n/(n+2)。無論奇偶，|aₙ|=1/(n+2)≤1/n。給定 ε>0，先為上界 1/n 找 N；同一 N 使所有 n≥N 的 |aₙ|<ε。正負交替並不必然破壞收斂，這裡擺幅隨 n 消失。

## 3.3 唯一性、夾擠與無窮大

若 L、M 都是極限而 L≠M，令 ε=|L−M|/3。各自取到尾界 N_L、N_M，再取 N=max(N_L,N_M)。同一項 a_N 同時在兩個 ε 鄰域，三角不等式便給 |L−M|≤|L−a_N|+|a_N−M|<2|L−M|/3，矛盾。用最大值對齊尾界是關鍵；不能任選一項就假定兩個條件成立。

![假設 L=0、M=2，取 ε=2/3 後兩個誤差帶不相交；同一尾項不能同時留在兩帶。](assets/f06-unique-limit.svg)

若從某個下標起 bₙ≤aₙ≤cₙ，且 bₙ、cₙ 都收斂到 L，給定 ε 後取三個下標的最大值，便有 L−ε<bₙ≤aₙ≤cₙ<L+ε。這是夾擠，不必把中間式展開。相反地，aₙ→+∞ 是「每給高度 M，後續所有項最終大於 M」，不是收斂到一個實數。

## 3.4 練習

1. **B06-C03-Q01** 對 1/n、L=0、ε=1/4，找最小尾界 N。
2. **B06-C03-Q02** 對 1/n、L=0、ε=1/12，說明 N=12 為何不合格並修正。
3. **B06-C03-Q03** 求 (3n−2)/(n+1) 的極限。ε=1/4 時找最小 N。
4. **B06-C03-Q04** 對 1/n²，ε=1/100 時找最小 N。
5. **B06-C03-Q05** 用尾段條件證明 (−1)^n 沒有有限極限。
6. **B06-C03-Q06** 若 N 已是合格尾界，N+5 必合格嗎？N−1 呢？
7. **B06-C03-Q07** 用誤差上界證明 sin(n)/n→0。
8. **B06-C03-Q08** 前9項都是100，第10項起 aₙ=1+1/n。寫出極限與一個合格尾界公式。
9. **B06-C03-Q09** 依正無窮的定義證明 n²→+∞。
10. **B06-C03-Q10** 對同一 ε，uₙ 與 vₙ 分別從7、21起合格；同時控制兩項可取哪個 N？

## 3.5 完整解答

### Q01

1/n<1/4 等價於 n>4，故 N=5。n=4 只達到等號，不能讓尾段從4開始。

### Q02

n=12 時 1/n=ε，而定義要求小於。取 N=13，所有 n≥13 均有 1/n≤1/13<1/12。

### Q03

(3n−2)/(n+1)=3−5/(n+1)，所以 L=3。誤差 5/(n+1)<1/4 等價於 n+1>20，即 n≥20；N=20 且 n=19 在邊界。

### Q04

1/n²<1/100 等價於 n²>100。n 為正整數，故 n≥11，最小 N=11。用平方根把門檻從100降回10。

### Q05

令 ε=1/2。任何尾段都有1與−1；若兩者距同一 L 都小於1/2，則它們距離小於1，與距離2矛盾。

### Q06

n≥N+5 蘊含 n≥N，所以一定合格。N−1 若仍是正整數，不一定合格；例如 Q01 的 N=5 改成4便失敗。

### Q07

|sin(n)/n|≤1/n。取 N=⌊1/ε⌋+1，則 n≥N 時右側嚴格小於 ε，故原數列收斂到0，不需要 sin(n) 本身收斂。

### Q08

極限為1。取 N=max(10,⌊1/ε⌋+1)；這既排除前9項，又保證 |aₙ−1|=1/n<ε。

### Q09

任給實數 M。若 M<0，N=1 即可；若 M≥0，取 N=⌊√M⌋+1。所有 n≥N 均有 n²≥N²>M，這正是趨向正無窮的條件。

### Q10

取 N=max(7,21)=21。n≥21 兩個尾界都已生效。資料未說原來的尾界是最小值，所以不能斷言21是共同最小尾界。


# 第4章 函數極限

## 4.1 去掉中心，只問靠近

設 f 的定義域為 D，a 是 D 的聚點：任意小鄰域都有異於 a 的 D 中點。相對於 D 的有限極限定義為：

> 對每個 ε>0，都有 δ>0，使得 x∈D 且 0<|x−a|<δ 時，|f(x)−L|<ε。

這裡不用 f(a)，甚至不要求 a∈D。聚點條件很重要：若附近根本沒有合格的 x，僅檢查條件句會讓每個 L 看似都可用。定義 δ 時先知道 ε，並要控制鄰域內的全部合格 x，而非幾個選好的點。

左極限只考慮 a−δ<x<a，右極限只考慮 a<x<a+δ，各自要有可任意靠近的點。若兩側都能靠近，兩側同為 L 等價於整個去心極限為 L：一方向靠限制輸入；反方向對同一 ε 取兩個 δ 的較小者。

![孔洞不妨礙靠近：在 x=2 左右，原式和 x+2 一致，但原式在中心仍無值。](assets/f07-removable-hole.svg)

## 4.2 四個例題

### 例題1 原式無值，極限仍有值

f(x)=(x²−4)/(x−2)，定義域排除2。x≠2 時由因式分解得 f(x)=x+2。要證明極限是4，注意 |f(x)−4|=|x−2|，可取 δ=ε。

補成 f(2)=4 或補成 f(2)=100 都不改變去心鄰域的值；但兩種補法在連續性上會不同。

### 例題2 左右不同，不能用中心點救回來

定義 f(x)=1（x<0）、f(0)=7、f(x)=3（x>0）。靠左全為1，靠右全為3，兩個單側極限不同，所以雙側極限不存在。把7改成任何數，都不會改變兩側。

![在 x=0 左側高度1、右側高度3，而實心中心點高度7；點值與兩側分開。](assets/f08-one-sided-jump.svg)

### 例題3 把不易控制的因子先壓住

證明 x² 在 x→2 時趨近4。因 |x²−4|=|x−2||x+2|，先要求 |x−2|<1，則 1<x<3，於是 |x+2|<5。再取 δ=min(1,ε/5)，可得 |x²−4|<5δ≤ε。

這個選擇同時做兩件事：第一個上限管住另一因子，第二個把誤差壓到要求以下。

### 例題4 端點只剩可用的一側

f(x)=√x 的實數定義域是 [0,∞)。在 x→0 時，所有合格去心點在右邊。取 δ=ε²，0<x<δ 便給 √x<ε，所以相對定義域的極限為0，也就是右極限。沒有左側實數輸入；若題目採「兩側都可接近」的雙側術語，就應明寫右極限。

## 4.3 練習

1. **B06-C04-Q01** 以 ε–δ 證明 3x+2 在 x→1 時趨近5。
2. **B06-C04-Q02** 求 (x²−9)/(x−3) 在 x→3 的極限，並說明原式點值。
3. **B06-C04-Q03** 求 |x|/x 在 x=0 的左右極限。
4. **B06-C04-Q04** 把例題1的函數在 x=2 定成100；極限與點值各是多少？
5. **B06-C04-Q05** 對 x²、a=1、L=1，ε=0.03 時給出可用的 δ。
6. **B06-C04-Q06** 對 √x 在0的右極限，ε=0.05 時給可用的 δ。
7. **B06-C04-Q07** δ=0.1、a=2 時，x=2、2.05、2.1 哪些滿足 0<|x−a|<δ？
8. **B06-C04-Q08** 例題2改成 f(0)=2，是否有雙側極限？
9. **B06-C04-Q09** 說明 sin(1/x) 在 x→0⁺ 沒有極限，給兩組靠近0的輸入。
10. **B06-C04-Q10** D={0}∪[1,∞)。為什麼不能用 0<|x|<1 內沒有輸入，宣稱在0有任意極限？

## 4.4 完整解答

### Q01

|3x+2−5|=3|x−1|。令 δ=ε/3；對所有 0<|x−1|<δ，誤差小於 ε。

### Q02

x≠3 時原式等於 x+3，故誤差 |x+3−6|=|x−3|，極限為6。分母在3為零，原式未定義。

### Q03

x<0 時 |x|=−x，商是−1；x>0 時商是1。左右分別是−1與1，沒有共同極限。

### Q04

去心鄰域仍由 x+2 給值，極限是4；新定義的點值是100。代入中心和求極限不是同一操作。

### Q05

取 δ=0.01。|x−1|<δ≤1 時 |x+1|<3，所以 |x²−1|<3δ=0.03。

### Q06

取 δ=(0.05)²=1/400。0<x<δ 時 √x<√δ=0.05，所以右側條件成立。

### Q07

只有2.05。x=2 的距離0被排除；x=2.1 距離等於0.1，也因嚴格小於而排除。

### Q08

沒有。左側仍全部取1，右側仍全部取3；中心由7改為2不能改動單側極限。

### Q09

取 x_k=1/(π/2+2kπ) 和 y_k=1/(3π/2+2kπ)，k≥1。兩組皆正且趨近0，而函數值分別恆為1與−1。若右極限存在，兩組足夠晚的輸入都得落在同一 δ 內，使兩個值同在小誤差帶，矛盾。

### Q10

0不是 D 的聚點。沒有異於0且任意靠近0的定義域點，這個空條件無法區分候選值；本冊的極限定義不在孤立點使用。


# 第5章 極限的運算

## 5.1 規則有適用條件

假設 f、g 在同一個可靠近 a 的論域上，且各有有限極限 L、M。和的誤差至多是 |f−L|+|g−M|，各分配 ε/2 並取兩個 δ 的較小者，便得到 f+g→L+M。差與常數倍也由同一類估計得到。

乘積要先控制大小。因 f→L，足夠靠近時 |f|≤|L|+1。拆開 fg−LM=f(g−M)+M(f−L)，誤差至多是 (|L|+1)|g−M|+|M||f−L|。對兩個誤差各選足夠小的界，就能讓總和小於 ε；例如令兩誤差都小於 ε/(|L|+|M|+2)。這一步解釋了為什麼不能不加條件地把會變大的因子當固定數。

商還要求 M≠0。先令 |g−M|<|M|/2，則 |g|>|M|/2，不會有零分母。再用：

> |1/g−1/M|=|g−M|/(|g||M|)≤2|g−M|/|M|²。

於是 1/g→1/M，與乘積規則合起來得到 f/g→L/M。多項式可由常數、x 與有限次和、積組成，因此在任一點可直接代入；有理式直接代入則必須確認分母在該點非零。

同一組估計也適用於 x→+∞ 或 x→−∞，前提是共同論域在指定方向無界。把共同 δ 換成共同尾界。向右時取各門檻的最大值，向左時取各門檻的最小值，再於共同論域檢查所有合格 x。

![0/0 不是答案：同樣形式的商在中心附近可能接近1、接近0，或兩側發散。](assets/f09-zero-over-zero.svg)

## 5.2 四個例題

### 例題1 非零分母可直接使用商規則

求 (2x²+1)/(x−3) 在 x→1 的極限。分子由多項式規則趨近3，分母趨近−2；−2非零，因此可相除，極限為−3/2。

### 例題2 根式差先有理化

求 [√(4+h)−2]/h 在 h→0 的極限。h≠0 且 4+h≥0 時，把分子與分母同乘非零的 √(4+h)+2，分子變為 h。約去 h 後得 1/[√(4+h)+2]。

根式趨近2可由 |√(4+h)−2|=|h|/[√(4+h)+2]≤|h|/2 看出。簡式分母趨近4且非零，故極限是1/4；原差商在 h=0 仍未定義。

### 例題3 零比零必須再判斷

在 x≠0 的鄰域，x/x=1，x²/x=x，x/x²=1/x。前兩個極限分別是1和0；最後一個在右側任意大、左側任意負，無有限極限。三個原式直接代入都出現「0/0」，它只告訴我們商規則的分母條件不成立。

### 例題4 到無窮遠可換成小量

求 x→+∞ 時 (3x²−x+2)/(2x²+1) 的極限。x>0 時除分子分母以 x²，得 (3−1/x+2/x²)/(2+1/x²)。給定 ε>0，x>1/ε 使 0<1/x<ε；故新分子、分母趨近3、2。答案是3/2，而不是把 ∞ 當作可相除的實數。

![若分母趨近3，先把它限制在 1.5 與 4.5 之間，使取倒數不碰到零。](assets/f10-denominator-guard.svg)

## 5.3 夾擠也可用於函數

若同一去心鄰域內 g(x)≤f(x)≤h(x)，且上下界函數都趨近 L，取兩個誤差條件的共同 δ，就得到 L−ε<f(x)<L+ε。這裡不需要中間式本來就有極限。沒有共用論域、只在零星取樣點成立，或兩界趨向不同數時，都不能套這個結論。

## 5.4 練習

1. **B06-C05-Q01** 求 (x+1)(x²−1) 在 x→2 的極限。
2. **B06-C05-Q02** 求 (x−1)/(x²+4) 在 x→0 的極限。
3. **B06-C05-Q03** 求 (x²−1)/(x−1) 在 x→1 的極限，說明可約分的條件。
4. **B06-C05-Q04** 求 [√(1+h)−1]/h 在 h→0 的極限。
5. **B06-C05-Q05** 求 x/(x²+1) 在 x→+∞ 的極限。
6. **B06-C05-Q06** 求 (4x+3)/(2x−1) 在 x→−∞ 的極限。
7. **B06-C05-Q07** 用夾擠求 x sin(1/x) 在 x→0 的極限。
8. **B06-C05-Q08** x²/x² 的分子與分母都趨近0，為何商仍有極限？
9. **B06-C05-Q09** g(x)→−4 時，如何保證近處 |g(x)|>2？求 1/g(x) 的極限。
10. **B06-C05-Q10** 1/x−1/x 在 x→0 有極限嗎？可否直接用兩個有限極限的差規則？

## 5.5 完整解答

### Q01

兩因子都是多項式，代入2分別得3和3，乘積規則給極限9。

### Q02

分子趨近−1，分母趨近4且非零，故商趨近−1/4。

### Q03

只在 x≠1 時可約去 x−1，得到 x+1；因此極限為2。原式在1無定義，並未因約分改變。

### Q04

取 h≠0 且足夠近0，乘分子分母以 √(1+h)+1，得 1/[√(1+h)+1]。根式與1的差之絕對值不超過 |h|；分母趨近2非零，故極限1/2。

### Q05

在 x>0 除以 x²，得 (1/x)/(1+1/x²)。分子趨近0，分母趨近1，商趨近0。

### Q06

在 x<0 且遠離0時除以 x，得 (4+3/x)/(2−1/x)。由 |1/x| 可任意小，分子趨近4、分母趨近2，答案2。

### Q07

x≠0 時 |x sin(1/x)|≤|x|；下界 −|x|、上界 |x| 都趨近0，所以原式趨近0。不能先說 sin(1/x) 有極限。

### Q08

x≠0 時 x²≠0，商恆等於1，所以極限1。直接商規則不適用，不等於極限不存在。

### Q09

用 ε=2 得近處 |g(x)+4|<2，由反三角不等式 |g(x)|≥4−|g(x)+4|>2。因極限 −4 非零，倒數趨近−1/4。

### Q10

x≠0 時兩項相減恆為0，所以極限0。個別的 1/x 沒有有限雙側極限；這是先化簡原式，不是套有限極限的差規則。


# 第6章 連續與介值

## 6.1 連續把近處接回點值

f 在定義域內的 a 連續，意指對每個 ε>0，可找 δ>0，使 x∈D 且 |x−a|<δ 時 |f(x)−f(a)|<ε。因中心 x=a 的誤差本來就是0，在聚點可拆成三個檢查：點值存在、去心極限存在、二者相等。在端點按定義域一側判斷；孤立的定義域點相對連續，但不憑空取得去心極限。

多項式在全實數連續；有理式在分母不為零的點連續。這來自上一章的極限規則。接合兩段時，要在接縫核對兩側與點值，不能只因兩段各自的公式平滑便說整體連續。

## 6.2 四個例題

### 例題1 補洞的唯一連續點值

在 x≠2 定 f(x)=x+1，另令 f(2)=k。去心極限為3，故連續等價於 k=3。當 k=3 時三項條件都成立；k=4 時只是換了實心點的位置，極限仍不變。

### 例題2 接合兩條規則

左段 x≤1 取 x²，右段 x>1 取 2x+k。f(1)=1，左極限1，右極限2+k。因此只有 2+k=1，也就是 k=−1，才能接成連續函數。這個計算目前只比高度，沒有用斜率代替連續性的檢查。

### 例題3 不解方程也能保證有根

取 f(x)=x³+x−1。它在 [0,1] 連續，且 f(0)=−1、f(1)=1。介值定理保證存在 c∈(0,1) 使 f(c)=0。這是存在性，不是根的近似數值，也不是唯一性證明。

![連續的 x³+x−1 在兩端取異號，必穿過高度0；圖示不指定根的精確座標。](assets/f11-intermediate-root.svg)

### 例題4 兩端異號但中間跳過零

在 [−1,1] 上令 f(x)=−1（x<0）、f(x)=1（x≥0）。兩端異號，卻沒有任何點取0，因為它在0跳躍。這不是介值定理的反例，而是漏掉連續前提時的反例。

![階梯函數左右分別取 −1 和 1，跳過高度0；端點異號無法代替區間連續。](assets/f12-skip-zero.svg)

## 6.3 介值定理為什麼成立

若 f 在閉區間 [a,b] 連續，介於 f(a)、f(b) 的任一實數 k，都等於某個 f(c)，c∈[a,b]。k 若等於端點值，該端點就可作 c。若嚴格介於兩端，可設 f(a)<k<f(b)；反向時對 −f 使用同樣論證。

令 S 是 [a,b] 中滿足 f(x)≤k 的點。S 含 a 且有上界，故上確界 c 存在。a 的連續性及 f(a)<k 保證 a 右方有點在 S；b 的連續性及 f(b)>k 排除 b 的一整段左鄰域，故 a<c<b。

若 f(c)<k，連續性給 c 右方仍有點在 S，違反上界。若 f(c)>k，則 c 的小鄰域內都大於 k；S 沒有點超過 c，也不能在 c 下方任意靠近 c，違反最小上界。兩種情況都不可能，因此 f(c)=k。

## 6.4 練習

1. **B06-C06-Q01** 判斷 f(x)=x² 在2是否連續，寫出極限與點值。
2. **B06-C06-Q02** 把 (x²−16)/(x−4) 在 x=4 補成連續，應填什麼值？
3. **B06-C06-Q03** x≤0 取 x+2，x>0 取 3x+k。求在0連續的 k。
4. **B06-C06-Q04** x≠0 都取2，f(0)=5。在哪個點不連續？怎樣補正？
5. **B06-C06-Q05** f(x)=√(x−1) 在定義域的端點1是否連續？
6. **B06-C06-Q06** 用介值定理證明 x²−2 在 (1,2) 有零點。
7. **B06-C06-Q07** 閉區間兩端皆為正，能否據此斷定無根？給一個有根例和一個無根例。
8. **B06-C06-Q08** x³−x 在 [−2,2] 上可用介值定理保證有根。能否說恰有一根？
9. **B06-C06-Q09** f 在 [−1,2] 連續，f(−1)=3、f(2)=7。能保證取到5嗎？取到的位置有何範圍？
10. **B06-C06-Q10** 1/x 在 −1 與1異號，可否用介值定理推出零點？

## 6.5 完整解答

### Q01

多項式極限可直接代入，故 x→2 時 x²→4，且 f(2)=4。極限等於點值，連續。

### Q02

x≠4 時原式等於 x+4，故去心極限8。定 f(4)=8，才使極限和點值相等。

### Q03

左極限及點值皆為2，右極限是 k；因此且僅當 k=2 時連續。

### Q04

在0有極限2但點值5，所以不連續。其他點取足夠小鄰域不含0，函數恆為2。把 f(0) 改為2便修補。

### Q05

是。定義域 [1,∞)，f(1)=0。若 0≤x−1<ε²，則 √(x−1)<ε；這已檢查所有合格近處輸入。

### Q06

多項式在 [1,2] 連續，端點值 −1 與2，0嚴格介於其間。介值定理給 c∈(1,2) 使 c²−2=0。

### Q07

不能。在 [−1,1] 上，x² 兩端皆為1且在0有根；常數1兩端也皆為1卻無根。端點同號只讓「異號保證」不能直接使用。

### Q08

不能。x³−x=x(x−1)(x+1)，所以 −1、0、1 都是區間內的零點。介值定理只保證至少一個。

### Q09

5嚴格介於3與7，且函數整段連續，故至少有一個 c∈(−1,2) 取到5。資訊不足以指定 c 的唯一位置。

### Q10

不能，1/x 在0未定義，不是在 [−1,1] 上連續的函數。對所有合法 x≠0，1/x≠0，確實無根。


# 第7章 由平均變化到導數

## 7.1 差商的極限

在本冊，未特別加註的「在 a 可微」指 a 周圍有一個定義域的開區間，且下式的雙側極限是有限實數：

> f′(a)=lim（h→0）[f(a+h)−f(a)]/h，差商只用 h≠0。

若存在，這個值是導數。把每個可微點送到它的導數，就得到新函數 f′；其定義域不一定與 f 相同。切線在此是經過 (a,f(a))、斜率 f′(a) 的直線，方程 y=f(a)+f′(a)(x−a)。

可微必連續：在去心鄰域，f(a+h)−f(a)=h·差商。差商趨近有限值，乘上趨近0的 h 後，增量趨近0。反方向不成立，角點正好揭示兩個條件的差別。

![在平方曲線的 x=1 固定起點，割線斜率隨步長縮小而靠近切線斜率2。](assets/f13-secant-to-tangent.svg)

## 7.2 四個例題

### 例題1 從定義推出平方函數的導數

對 f(x)=x²，任取實數 a。h≠0 時差商為 [(a+h)²−a²]/h=2a+h。令 h→0，得 f′(a)=2a。特別在 a=1，斜率2，切線 y=1+2(x−1)=2x−1。

這裡取極限的是去心簡式，不是把 h=0 代入原差商。原式沒有 h=0 的值，導數仍可存在。

### 例題2 速度是位置的導數

令 s(t)=3t²−2t，單位公尺，0≤t≤5。以 t=2 為起點，差商為 [3(2+h)²−2(2+h)−(12−4)]/h=10+3h。h→0 時得瞬時速度10公尺／秒；t=2 是內點，左右小步長都合法。

### 例題3 絕對值的角點

f(x)=|x| 在0連續，因 |f(x)−0|=|x|。但差商 |h|/h 的左極限為−1，右極限為1。兩者不相等，故 f′(0) 不存在。圖上的兩段直線斜率不能取平均當作導數。

![絕對值在0的左斜率−1、右斜率1；連續的角點仍可能不可微。](assets/f14-corner-slopes.svg)

### 例題4 根式在內點與端點不同

對 √x 在 a=4，先用有理化把差商化為 1/[√(4+h)+2]，由第5章得導數1/4。若改在 a=0，定義域只給 h>0，右差商 √h/h=1/√h 隨 h→0⁺ 無上界，因此連有限的右導數也不存在。兩個位置不能用同一個內點公式代入。

## 7.3 練習

1. **B06-C07-Q01** 用差商求常數函數 f(x)=5 的導數。
2. **B06-C07-Q02** 求 f(x)=x² 在 a=2 的導數及切線方程。
3. **B06-C07-Q03** 用差商求 f(x)=3x−7 在任意 a 的導數。
4. **B06-C07-Q04** 用差商求 x³ 在 x=1 的導數。
5. **B06-C07-Q05** f(x)=|x−2| 在2是否可微？比較兩側。
6. **B06-C07-Q06** 左段 x<0 為 x²，右段 x≥0 為2x。判斷0的連續與可微。
7. **B06-C07-Q07** x≠0 時 f(x)=0，f(0)=1。能否在0可微？不用先算左右導數。
8. **B06-C07-Q08** s(t)=t²−3t 公尺，0≤t≤5，求 t=3 的瞬時速度。
9. **B06-C07-Q09** 求 √x 在0的右差商，說明是否有有限右導數。
10. **B06-C07-Q10** x² 在 a=1 取 h=0.01，算差商並與導數比較。

## 7.4 完整解答

### Q01

對任意 a 與 h≠0，分子為5−5=0，商恆為0，故導數0。

### Q02

由平方差商 2a+h 得 f′(2)=4，且 f(2)=4。切線 y=4+4(x−2)=4x−4。

### Q03

分子為 3(a+h)−7−(3a−7)=3h；h≠0 時差商恆3，所以任意 a 的導數都是3。

### Q04

(1+h)³−1=3h+3h²+h³。除以非零 h 得 3+3h+h²，h→0 時趨近3。

### Q05

以2為起點，差商為 |h|/h。左側−1、右側1，沒有相同有限極限，故不可微。

### Q06

兩側高度極限與點值皆為0，所以連續。左差商 h²/h=h→0；右差商 2h/h=2。斜率不接合，故不可微。

### Q07

去心極限0不等於點值1，故不連續。由「可微必連續」的逆否，不能在0可微。

### Q08

差商 [s(3+h)−s(3)]/h=3+h，因為分子為 3h+h²。令 h→0，得3公尺／秒。

### Q09

h>0 時右差商為1/√h。任給 M>0，0<h<1/M² 即使差商大於 M，故沒有有限右導數。

### Q10

差商為2+h=2.01，導數為2。相差0.01；小步長使數值接近，沒有把割線變成同一條切線。


# 第8章 微分規則

## 8.1 從差商而不是背口訣開始

若 f、g 都在 a 可微，和的差商就是兩個差商相加，故 (f+g)′(a)=f′(a)+g′(a)；常數倍同理。正整數冪可從差商取得。對整數 m≥2 且 x≠a，因式分解得 (x^m−a^m)/(x−a) 等於 m 個乘積項之和，每一項在 x→a 時趨近 a^(m−1)，故導數是 m a^(m−1)。m=1 直接由 x 的差商得1。零次多項式項直接寫成常數1，導數為0。若原式 x^0 沿用第一冊非零底數的約定，這個常數簡式及其導數都只用於原定義域 x≠0。

乘積的分子可插入並減去 f(a+h)g(a)：

> f(a+h)g(a+h)−f(a)g(a)=f(a+h)[g(a+h)−g(a)]+g(a)[f(a+h)−f(a)]。

除以 h≠0 並取極限，由可微必連續使 f(a+h)→f(a)，所以 (fg)′=f′g+fg′，各量在同一點取值。一般不是 f′g′。

若 g(a)≠0，可微又使 g 在 a 附近連續，故近處保持非零。倒數的差商為 −[g(a+h)−g(a)]/[h·g(a+h)g(a)]，極限是 −g′(a)/g(a)²。與乘積規則合併得：

> (f/g)′=(f′g−fg′)/g²，限在原商有定義且兩函數可微的點。

## 8.2 鏈鎖律不必除以可能為零的增量

令 F=f∘g，u=g(a)，Δg=g(a+h)−g(a)。假設 g 在 a 可微，f 在 u 可微；兩點附近的規則有合法論域。把外層差商記為 R(v)=[f(u+v)−f(u)]/v（v≠0），並定 R(0)=f′(u)。按導數定義，R 在0連續。

對小的 h≠0，F 的差商恆等於 R(Δg)·Δg/h。Δg≠0 時是代數約分；Δg=0 時兩邊同為0，沒有除以零。因 Δg→0、Δg/h→g′(a)，得到 F′(a)=f′(g(a))g′(a)。

![先求內層 x²+1 的局部變化，再乘外層 u³ 在 u=x²+1 的斜率。](assets/f15-chain-tree.svg)

## 8.3 四個例題

### 例題1 展開與乘積規則互核

f(x)=(x²+1)(x−2)。乘積規則給 2x(x−2)+(x²+1)=3x²−4x+1。也可先展開 x³−2x²+x−2 再逐項微分，所得相同。兩條路核對同一個導數，而不是改變函數。

### 例題2 商的分子次序

f(x)=(x²+1)/(x−1)，x≠1。分子導數2x，分母導數1，故 f′(x)=[2x(x−1)−(x²+1)]/(x−1)²=(x²−2x−1)/(x−1)²。在 x=0 值為−1；x=1 不在原定義域。

### 例題3 外層在內層的值上取斜率

f(x)=(x²+1)³。令 u=x²+1，則 d(u³)/du=3u²，du/dx=2x。因此 f′(x)=3(x²+1)²·2x=6x(x²+1)²。x=1 時得24。只寫 3(x²+1)² 會漏掉內層速度。

### 例題4 先化簡也要帶著孔洞

(x²−1)/(x−1) 在 x≠1 等於 x+1。每個 x≠1 都有不碰到1的小開區間，所以導數在這些點等於1。在 x=1 原函數沒有值，不能說原函數在1有導數；補成連續延拓才是另一個函數。

![原商的圖在 x=1 留孔；其他點局部等於直線，因此可微，孔洞本身不在論域。](assets/f16-differentiate-hole.svg)

## 8.4 練習

1. **B06-C08-Q01** 求 5x³−2x+4 的導數。
2. **B06-C08-Q02** 用乘積規則求 x(x²+1) 的導數，再展開核對。
3. **B06-C08-Q03** 求 (x+1)/(x+2) 的導數，保留定義域。
4. **B06-C08-Q04** 求 (2x−3)^5 的導數。
5. **B06-C08-Q05** 求 (x²−4)² 的導數。
6. **B06-C08-Q06** g(x) 恆為2，f 在2可微。求 f∘g 的導數，並說明內層增量為何不妨礙。
7. **B06-C08-Q07** 求 (x²−4)/(x−2) 的導數。能否給原函數在2的導數？
8. **B06-C08-Q08** 用倒數規則求 1/x² 的導數。
9. **B06-C08-Q09** 已知 f(a)=2、f′(a)=3、g(a)=−1、g′(a)=4，求 (fg)′(a)。
10. **B06-C08-Q10** f(x)=x²、g(x)=x+1，分別求 f∘g 與 g∘f 的導數。

## 8.5 完整解答

### Q01

逐項微分：5x³ 給15x²，−2x 給−2，常數4給0，所以結果是15x²−2。

### Q02

導數為 1·(x²+1)+x·2x=3x²+1。展開原式成 x³+x，逐項微分仍為3x²+1。

### Q03

(x+2)−(x+1)=1，故導數為 1/(x+2)²，僅在 x≠−2 有效。不能因分子簡單而忽略分母限制。

### Q04

外層斜率5(2x−3)^4，內層斜率2，相乘得10(2x−3)^4。

### Q05

由外平方、內層 x²−4，得 2(x²−4)·2x=4x(x²−4)。在 x=±2 結果為0，原函數在兩點有定義。

### Q06

F(x)=f(2) 恆為常數，故 F′=0。鏈鎖律也給 f′(2)·0=0；增量為0時整個複合差商已是0，不必除以 Δg。

### Q07

只在 x≠2 時等於 x+2，所以這些點導數1。原式在2未定義，沒有原函數的導數。

### Q08

令 g=x²；x≠0 時 −g′/g²=−2x/x^4=−2/x³。原點仍排除。

### Q09

f′(a)g(a)+f(a)g′(a)=3·(−1)+2·4=5。這是兩個加項，不是兩導數的乘積。

### Q10

(f∘g)(x)=(x+1)²，導數2(x+1)；(g∘f)(x)=x²+1，導數2x。合成順序不同，規則與斜率一般也不同。


# 第9章 常見函數的導數

## 9.1 先分清冪的論域

正整數冪的導數由第8章得到。負整數冪是倒數：例如 x⁻³=1/x³，只在 x≠0 有定義，導數為 −3/x⁴。一般實數次方在 x>0 可定義成 exp(r ln x)，所以不能不看底數就把同一公式搬到負半軸。奇次實根另有自己的實數定義。

## 9.2 指數的斜率從小增量而來

這裡用 E(x)=1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ 建立自然指數，k! 是1乘到 k 的乘積。對固定 x，從 k≥1 起，下一個絕對項等於本項乘 |x|/(k+1)。當 k+1≥2|x|，這個乘數不超過1/2，故尾段可由幾何級數控制，絕對值部分和單調有界。將正項、負項各自求和，原級數就有有限值。

為了取得 E(x+y)，將 E(x)E(y) 的項按兩個下標和分組。這一步合法：未收進三角部分和的項至少有一個下標大於截斷階數的一半，絕對和由一邊的絕對尾和乘另一邊的絕對全和控制，趨近零。和為 k 的組用二項式定理化成 (x+y)^k/k!，因此 E(x+y)=E(x)E(y)。

當 0<|h|≤1/2，由 k!≥1，從二次起的絕對尾和不超過 |h|²/(1−|h|)≤2|h|²。因此：

> |[E(h)−1]/h−1|≤2|h|，所以 E′(x)=E(x) lim（h→0）[E(h)−1]/h=E(x)。

E(0)=1、E(x)E(−x)=1，且 E(x)=E(x/2)²，故 E(x)>0。h>0 時級數給 E(h)>1，所以 E 嚴格增加。令 e=E(1)。對整數 m 及正整數 n，加法與倒數法則給 E(m/n)^n=E(m)=e^m。因 E(m/n)>0，所以它是 e^m 的正 n 次根。每個實數都能用有理數列逼近，連續性唯一決定延拓的值，本冊記為 e^x。

![自然指數通過 (0,1)，該點導數也為1，切線 y=1+x 只作局部近似。](assets/f17-exponential-tangent.svg)

## 9.3 對數與一般正底數

E(x) 在 x≥0 至少是1+x，向右無界；E(−x)=1/E(x)，故向左趨近0。嚴格增加、連續與介值定理保證 E 把 ℝ 一一對應到 (0,∞)。反函數是 ln。

固定 x>0，令 v=ln(x+t)−ln x，其中 |t| 夠小使 x+t>0。v→0：對任意 η>0，E(ln x−η)<x<E(ln x+η)，當 t 夠小，x+t 仍介於兩界，反推 |v|<η。又 t=x[E(v)−1]，而 t≠0 時 v≠0，故 v/t→1/x。這證明 (ln x)′=1/x，不必先假設反函數可微。

對 a>0，a^x=E(x ln a)，所以 (a^x)′=a^x ln a。對固定實數 r 與 x>0，x^r=E(r ln x)，故導數 r x^r/x=r x^(r−1)。

## 9.4 三角微分用弧度

在單位圓，對 0<h<π/2，內三角形、扇形、外三角形的面積依序為 (sin h)/2、h/2、(tan h)/2。由包含關係得 sin h≤h≤tan h，故 cos h≤sin h/h≤1；負 h 利用奇偶性得到同樣夾擠。這裡 h 是弧度，不是角度數。

![單位圓上的內三角形、扇形與切線外三角形，給出 sin h≤h≤tan h 的面積比較。](assets/f18-radian-squeeze.svg)

近0時 cos h>0，且 0≤1−cos h=sin²h/(1+cos h)≤h²，因此 cos h→1、(cos h−1)/h→0，而 sin h/h→1。展開 sin(x+h)=sin x cos h+cos x sin h；差商極限給 (sin x)′=cos x。同樣展開 cos(x+h)=cos x cos h−sin x sin h，得 (cos x)′=−sin x。再用商規則，(tan x)′=1/cos²x，限 cos x≠0。

## 9.5 四個例題

### 例題1 負整數冪與實數冪

對 x≠0，(1/x³)′=−3x²/x⁶=−3/x⁴。對 x>0，(x^(3/2))′=(3/2)x^(1/2)=(3/2)√x。兩個答案的論域來源不同，不能合併成不看 x 的口訣。

### 例題2 指數內層有自己的斜率

f(x)=e^(2x)，外層 E 的導數等於自己，內層2x導數2，故 f′(x)=2e^(2x)。x=0 時 E(0)=1，斜率2。

### 例題3 對數檢查真數

f(x)=ln(x²+1)。因 x²+1≥1，所有實數 x 都合法。用外層 1/u 與內層2x，得到 f′(x)=2x/(x²+1)。

### 例題4 三角合成須乘內層

f(x)=sin(3x)，內層3x以弧度解讀，導數是3。因此 f′(x)=3cos(3x)，在0的斜率為3，而非1。

## 9.6 練習

1. **B06-C09-Q01** 求 x⁵−3/x 的導數與論域。
2. **B06-C09-Q02** 在 x>0 用實數冪公式求 √x 的導數。
3. **B06-C09-Q03** 求 e^(−x) 的導數。
4. **B06-C09-Q04** 求 ln(3x−1) 的導數，先列合法 x。
5. **B06-C09-Q05** 求 2^x 的導數。
6. **B06-C09-Q06** 求 cos(2x) 的導數。
7. **B06-C09-Q07** 求 sin x·cos x 的導數。
8. **B06-C09-Q08** 求 tan x 在0的導數，說明為何可用商規則。
9. **B06-C09-Q09** 實立方根 f(x) 在全實數定義。它在0有有限導數嗎？
10. **B06-C09-Q10** 求 ln(x²) 的導數。是否能在全論域寫成2 ln x？

## 9.7 完整解答

### Q01

x≠0。x⁵ 給5x⁴，−3x⁻¹ 給3x⁻²，所以 f′(x)=5x⁴+3/x²。x=0 不補進來。

### Q02

對 x>0，√x=x^(1/2)，導數為 (1/2)x^(−1/2)=1/(2√x)。這個內點公式不能在0代入。

### Q03

E 的導數是 E，內層 −x 的導數 −1，故結果 −e^(−x)。

### Q04

3x−1>0 即 x>1/3。鏈鎖律給 3/(3x−1)，分母在合法論域上為正。

### Q05

2^x=E(x ln 2)。內層導數 ln 2，因此結果 2^x ln 2。

### Q06

外層餘弦導數 −sin，內層導數2，得 −2 sin(2x)。負號來自外層，不因合成而消失。

### Q07

用乘積規則得 cos x·cos x+sin x·(−sin x)=cos²x−sin²x。

### Q08

cos 0=1，近0不為零。由 (tan x)′=1/cos²x，得到 tan′(0)=1。

### Q09

令 r 為 h 的實立方根，則 h=r³。h≠0 時差商 r/h=1/r²；h→0 時 r→0，故差商向正無窮增大，沒有有限導數。

### Q10

真數 x²>0，所以 x≠0。導數為 2x/x²=2/x。正確對數改寫是2 ln|x|；負 x 時 ln x 在實數中無定義。


# 第10章 單調性與中值定理

## 10.1 閉區間讓極值可達

連續函數在有限閉區間 [a,b] 有最大值與最小值。理由可追到實數完備性：區間內任一數列，可反覆二分並保留有無窮多項落入的閉半段。巢狀區間長度趨近零，取左端點的上確界得到共同點；選取下標依序增大的項，便有收斂到該點的子列。共同點仍在 [a,b]。

若 f 無上界，可挑 f(xₙ)>n，取 xₙ 的收斂子列後，連續性卻要求函數值趨近有限點值，矛盾。故上確界 S 有限；再選 f(xₙ)>S−1/n，用同樣的子列與連續性，得到某點的值正好是 S。對 −f 使用此論證得到最小值。這解釋了為什麼只在開區間有界不夠保證取到極值。

## 10.2 由內點極值到中值定理

若 f 在內點 c 可微且 c 是局部最大點，則小增量的分子 f(c+h)−f(c)≤0。右差商非正，左差商非負；若兩者收斂到同一值，只能是0。局部最小同理。這是必要條件；導數為0不保證極值。

羅爾定理要求 f 在 [a,b] 連續、在 (a,b) 可微、a<b，且 f(a)=f(b)。若函數常數，任一內點斜率0；若不常數，至少有一個極值嚴格異於端點值，因而在內點取得。由上段得某 c∈(a,b) 使 f′(c)=0。

微分中值定理要求 a<b，f 在 [a,b] 連續且在 (a,b) 可微。端點可以取不同函數值。令 m=[f(b)−f(a)]/(b−a)，減去割線：g(x)=f(x)−f(a)−m(x−a)。g 連續、可微且兩端皆0，由羅爾定理得到 g′(c)=0，即 f′(c)=m。它不要求端點可微，也不保證 c 唯一。

![平方函數從1到3的端點割線斜率4，內點 c=2 的切線與它平行。](assets/f19-parallel-tangent.svg)

## 10.3 四個例題

### 例題1 找到與割線平行的切線

f(x)=x² 在 [1,3] 滿足中值定理。割線斜率 (9−1)/(3−1)=4，解 2c=4 得 c=2，確在開區間。割線 y=4x−3，切線 y=4x−4；平行不代表重合。

### 例題2 用導數符號判單調區間

f(x)=x³−3x，f′(x)=3(x−1)(x+1)。在 x<−1 或 x>1 為正，在 −1<x<1 為負。在 [−2,−1] 或 [1,2] 各取兩點，用中值定理得後值大於前值；在 [−1,1] 同理得嚴格減少。端點可以納入比較，因中值點在兩選點之間，不必讓端點斜率非零。

![由 f′(x)=3(x−1)(x+1) 的零點分出正、負、正三段；每段分開判單調。](assets/f20-derivative-sign.svg)

### 例題3 有平均斜率卻找不到中值點

f(x)=|x| 在 [−1,1] 連續，端點同值1，平均斜率0。兩側導數是−1和1，0點不可微，沒有 c 使 f′(c)=0。這不違反定理，因開區間可微的條件已經失敗。

### 例題4 不知道中值點也能估變化量

若 f 在 [2,2.2] 連續、內部可微，且 |f′(x)|≤3，則某內點 c 使 f(2.2)−f(2)=0.2 f′(c)。取絕對值得變化量不超過0.6。估界只要控制整段斜率，不必解出 c。

## 10.4 練習

1. **B06-C10-Q01** 對 x² 在 [0,4]，求平均斜率與中值點。
2. **B06-C10-Q02** 對 x³ 在 [−1,1]，找所有符合中值定理等式的 c。
3. **B06-C10-Q03** 對 x²−4x 在 [0,4]，用羅爾定理並找 c。
4. **B06-C10-Q04** 若 f 在一個開區間上可微且 f′ 恆為0，證明 f 為常數。
5. **B06-C10-Q05** x³ 在0的導數是0。是否仍可嚴格遞增？給出理由。
6. **B06-C10-Q06** x<0 取 x，x>0 取 x−10。導數都為正，能否說在整個定義域嚴格增加？
7. **B06-C10-Q07** 在 0<x<1 取 f(x)=x，且 f(0)=f(1)=0。羅爾定理的哪個條件失敗？
8. **B06-C10-Q08** f 在長度3的閉區間連續、內部可微，|f′|≤0.4。兩端值的差之絕對值至多多少？
9. **B06-C10-Q09** f 在開區間可微且 f′≥0，可推出不減嗎？可推出嚴格增加嗎？
10. **B06-C10-Q10** f(x)=2x−x² 在 [0,2]。判斷單調區間，並找端點割線的中值點。

## 10.5 完整解答

### Q01

平均斜率 (16−0)/4=4。函數連續且可微，解 f′(c)=2c=4 得 c=2，在 (0,4)。

### Q02

平均斜率 [1−(−1)]/2=1。解 3c²=1 得 c=±1/√3，兩個都在 (−1,1)。定理只保證存在，這題有兩個。

### Q03

多項式符合連續與可微，兩端均為0。由羅爾定理有 f′(c)=0，解 2c−4=0 得 c=2。

### Q04

任取區間內 x<y，限制到 [x,y] 滿足中值定理。f(y)−f(x)=(y−x)f′(c)=0，故任兩點值相同。

### Q05

可以。任 a<b，b³−a³=(b−a)(b²+ab+a²)。後因子等於 (b+a/2)²+3a²/4，除 a=b=0 外皆正；a<b 排除該情形，故差為正。

### Q06

不能。取 −1<1，f(−1)=−1 但 f(1)=−9。兩點間跨過缺失的0，不能在整段 [−1,1] 使用中值定理。

### Q07

f 在1不連續：左極限1，點值0。雖端點同高、內部導數皆為1，閉區間連續失敗，所以無法推出某處斜率0。

### Q08

中值定理給端點差等於3乘某內點導數。取絕對值，至多3·0.4=1.2。

### Q09

任 x<y，中值定理給 f(y)−f(x)=(y−x)f′(c)≥0，所以不減。常數函數也滿足 f′≥0，嚴格增加不能保證。

### Q10

f′(x)=2−2x，故在 [0,1] 嚴格增加、[1,2] 嚴格減少。兩端 f=0，平均斜率0；f′(c)=0 得 c=1。


# 第11章 極值與近似

## 11.1 最大最小要比較候選值

局部極大是在定義域某小鄰域內不小於附近值；絕對最大則要與整個指定集合比較。連續函數在閉區間必達最大最小。找候選時，列兩端、內部導數為零的點，以及內部有值但不可微的點；若候選有限，代回原函數比較值。導數為零只給候選，不負責決定是最大還是最小。

![在 x³−3x 的閉區間上，端點與兩個內部駐點都是候選；相同極值可在不同位置取得。](assets/f21-extrema-candidates.svg)

## 11.2 局部線性式與誤差

若 f 在 a 可微，令 L(a+h)=f(a)+f′(a)h。誤差 R(h)=f(a+h)−L(a+h) 滿足 R(h)/h→0，這是把差商減去 f′(a) 後直接得到。這只保證相對於 |h| 的誤差變小，不代表每個步長都已達指定精度。

設 J 是以 a 與 a+h 為端點的閉區間。若 f′ 在包含 J 的開區間可微，且在 J 上有 |f″|≤M，就可估計誤差。h=0 時 R(0)=0。h≠0 時，對 J 內任一 t≠a，在 a 與 t 之間對 f′ 用中值定理，得 |f′(t)−f′(a)|≤M|t−a|。t=a 時同一不等式兩側皆為0。

在 J 上對 f−L 用中值定理，得 R(h)=h[f′(c)−f′(a)]，其中 c 介於 a 與 a+h。由 |c−a|≤|h| 得 |R(h)|≤M|h|²。這是兩次中值定理給出的保守上界。

## 11.3 四個例題

### 例題1 極值可能同時在端點與內點取得

在 [−2,2] 取 f(x)=x³−3x。f′=3(x²−1)，內點候選 −1、1，加兩端 −2、2。依序代入 −2、−1、1、2，函數值是 −2、2、−2、2。因此最大值2在 −1 與2 取得，最小值−2在 −2 與1 取得。

### 例題2 不可微的點不能漏掉

f(x)=|x−1| 在 [0,3] 連續。兩側導數為−1、1，不會為零；x=1 不可微，仍是內點候選。比較 f(0)=1、f(1)=0、f(3)=2，得最小值0在1，最大值2在3。

### 例題3 根式的線性近似有方向與界

以 a=1 近似 √(1+h)，線性式是1+h/2。令 r=√(1+h)，h≥−1，利用 r−1=h/(r+1) 得：

> r−(1+h/2)=−h²/[2(r+1)²]。

所以線性式不小於真值，且在 |h|≤1/2 時誤差大小至多 h²/2。h=0.04 時 √1.04 約為1.02，誤差不超過0.0008；可寫 1.0192≤√1.04≤1.02。

![在 h=0 兩式相貼，切線 1+h/2 位於根式上方；直線與曲線的差可以用 h² 控制。](assets/f22-root-linear-error.svg)

### 例題4 多項式可直接展開查殘差

x³ 在 a=2 的線性式是8+12h。展開 (2+h)³ 得 8+12h+6h²+h³，故殘差 h²(6+h)。若 |h|≤0.1，誤差大小≤6.1h²≤0.061。取 h=0.1 時真值9.261、線性值9.2，兩者相差0.061，與公式一致。

## 11.4 練習

1. **B06-C11-Q01** 求 (x−2)² 在 [0,3] 的最大最小值及位置。
2. **B06-C11-Q02** 求 x²+1 在 [−1,2] 的最大最小值及位置。
3. **B06-C11-Q03** f(x)=x 在 (0,1) 有界，是否取得最大或最小值？
4. **B06-C11-Q04** x³ 在0的導數為0，0是局部極值點嗎？
5. **B06-C11-Q05** 求 |x| 在 [−2,1] 的絕對最大與最小值。
6. **B06-C11-Q06** 用 ln 在1的線性式近似 ln 1.03，利用 |f″| 給誤差上界。
7. **B06-C11-Q07** 用第9章指數級數的尾界估 e^0.02。寫出線性值與誤差界。
8. **B06-C11-Q08** 對 x²，二階導數法給的誤差上界是什麼？實際殘差是多少？
9. **B06-C11-Q09** f(x)=2x⁴−x²。先求 f′ 再求 f″，並求 f″(1)。
10. **B06-C11-Q10** 在 c 左側的某鄰域 f′>0，右側 f′<0，且 f 在 c 連續。能推出何種極值？

## 11.5 完整解答

### Q01

f′=2(x−2)，候選0、2、3。函數值4、0、1，所以最大4在0，最小0在2。

### Q02

f′=2x，候選 −1、0、2，函數值2、1、5。最小1在0，最大5在2。

### Q03

都沒有。任 x∈(0,1)，x/2 更小而 (1+x)/2 更大，仍在論域。0、1 是界而不是取得的值。

### Q04

不是。在0附近，負輸入的立方小於0，正輸入的立方大於0；0兩邊都有比它高與低的值。駐點不等於極值點。

### Q05

候選 −2、0、1，包含不可微的0。值為2、0、1，所以最大2在−2，最小0在0。

### Q06

f(1)=0、f′(1)=1，線性值0.03。在 [1,1.03]，|f″(x)|=1/x²≤1，故 |R|≤1·(0.03)²=0.0009。

### Q07

E(0)=1、E′(0)=1，所以線性值1.02。|h|=0.02≤1/2，第9章的級數尾界給 |R|≤2(0.02)²=0.0008。

### Q08

f″=2，保守上界2h²。實際展開 (a+h)²−(a²+2ah)=h²，說明上界可用但不必等於真誤差。

### Q09

f′=8x³−2x；再微分得 f″=24x²−2，所以 f″(1)=22。二階導數是對 f′ 再取導數，不是把 f′ 平方。

### Q10

任取左側近點 x<c，在 [x,c] 用中值定理，得 f(c)>f(x)；右側近點 y>c 在 [c,y] 得 f(y)<f(c)。所以 c 是嚴格局部極大點。未比較更遠處，不能宣稱絕對最大。


# 第12章 微分綜合與錯誤診斷

## 12.1 把解題鏈寫完整

先定論域與目標，再問要算的是點值、極限、瞬時斜率、區間極值，還是帶誤差的近似。若要引用定理，逐條檢查它的前提。解完方程後，把候選放回原論域及原函數核對：整理簡式可以變容易，不能悄悄把排除的點加回去。

![原式在中心無值，先求去心規則，再另定延拓點值；只有延拓後才能問中心導數。](assets/f23-extension-workflow.svg)

## 12.2 四個例題

### 例題1 從去心極限到延拓導數

f(x)=(x²−9)/(x−3)，原論域 x≠3。去心處 f(x)=x+3，極限為6，原 f 沒有 f(3) 或 f′(3)。另定 F(3)=6 並保持其他點，則整個 F(x)=x+3。中心差商 [F(3+h)−6]/h=1（h≠0），故 F′(3)=1。說清是哪個函數，才能分辨「原式」與「補洞」。

### 例題2 面積最佳化保留物理條件

20公尺的圍欄圍出長方形。取相鄰邊 x、y，2x+2y=20，所以 y=10−x，實際長方形要求 0<x<10。面積 A=x(10−x)，單位平方公尺，A′=10−2x。

x<5 時 A′>0，x>5 時 A′<0，所以 x=5 在合法區間達最大；亦可驗算 A=25−(x−5)²≤25。答案是 5公尺乘5公尺、最大25平方公尺，兩端退化成零面積不算合法長方形。

![周長限制把兩個邊長化成一個輸入，面積在 x=5 達25；開端點對應退化形狀。](assets/f24-fence-area.svg)

### 例題3 位移不等於路程

s(t)=t³−6t²+9t 公尺，0≤t≤4 秒。v(t)=3(t−1)(t−3)，在 (0,1) 正、(1,3) 負、(3,4) 正。以轉向時刻分段，用單調性算各段路程。

s(0)、s(1)、s(3)、s(4) 依序為0、4、0、4。位移 s(4)−s(0)=4公尺，路程 |4−0|+|0−4|+|4−0|=12公尺。把中途正負位移抵消會低估路程。

### 例題4 近似先看分母，再給誤差

以 x=2 近似 1/(2+h)，線性值為 1/2−h/4。|h|≤1/10 時分母 2+h≥19/10 非零。共同分母整理給：

> 1/(2+h)−(1/2−h/4)=h²/[4(2+h)]。

因此線性值不大於真值，誤差至多 (1/100)/(4·19/10)=1/760。近似公式、適用步長與誤差界缺一項，都不足以作精度判斷。

## 12.3 常見錯誤的回查順序

若極限答案由「0/0」直接跳出，回到分母條件；若導數來自除以 h 或內層增量，核對原式是否排除零；若使用中值定理，先畫出要用的完整區間，再查連續和可微；若得到駐點，回到端點、不可微點和函數值比較。圖表的工作是幫你找到要檢查的位置，理由仍要寫出來。

## 12.4 練習

1. **B06-C12-Q01** (x²−1)/(x−1) 在1若補成2與補成3，分別判斷連續和可微。
2. **B06-C12-Q02** P(x)=x(8−x)，0<x<8。用導數找最大值，並用配方核對。
3. **B06-C12-Q03** s(t)=t²−4t，0≤t≤4。找轉向時刻、總位移及總路程。
4. **B06-C12-Q04** 在 [0,2] 求 t³−3t 的最大最小，展示候選比較。
5. **B06-C12-Q05** f(x)=|x|。h≠0 時 [f(h)−f(−h)]/(2h)=0。可否推出 f′(0)=0？
6. **B06-C12-Q06** 證明 ln x+x 在其整個實數定義域嚴格增加。
7. **B06-C12-Q07** 求 x/(x−1) 的導數；是否在整個定義域嚴格減少？
8. **B06-C12-Q08** f(x)=e^(x²)。求導數，並判斷 x=0 是否為絕對最小點。
9. **B06-C12-Q09** 用 √x 在4的線性式近似 √4.04，並用有理化給誤差界。
10. **B06-C12-Q10** 對 f(x)=1/x 在 [1,2]，檢查中值定理前提並求 c。

## 12.5 完整解答

### Q01

去心簡式 x+1，極限2。補2後全式等於 x+1，所以連續且導數1。補3時點值3不等於極限2，故不連續，也不可能可微。

### Q02

P′=8−2x，在 (0,4) 正、(4,8) 負；x=4 合法且最大。P=16−(x−4)²，所以最大16，等號只有 x=4。

### Q03

v=2t−4，t=2 左負右正，於2轉向。位置 s(0)=0、s(2)=−4、s(4)=0，位移0，路程 |−4−0|+|0−(−4)|=8。

### Q04

導數 3(t²−1)，開區間只留下 t=1。比較 t=0、1、2 的值0、−2、2，得最小−2在1、最大2在2。

### Q05

不能。對稱差商同時移動兩個取值點，會把相同高度相減。定義中的差商固定 f(0)，左極限−1、右極限1，不可微。

### Q06

論域為 (0,∞)，f′(x)=1/x+1>0。任兩個合法 x<y 之間的閉區間仍完全在論域內，故中值定理給 f(y)>f(x)。

### Q07

f′=[(x−1)−x]/(x−1)²=−1/(x−1)²，x≠1。各連通區間內嚴格減少；跨缺點不保證，例如 f(0)=0、f(2)=2，後值反而更大。

### Q08

鏈鎖律給 2x e^(x²)。因 x²≥0、自然指數嚴格增加，f(x)≥e⁰=1，且僅 x=0 等號。因此0是絕對最小點；不是只因導數為零而下結論。

### Q09

取 h=0.04，線性值2+h/4=2.01。令 r=√(4+h)，殘差 r−2−h/4=−h²/[4(r+2)²]。r≥2，故誤差大小≤(0.04)²/64=0.000025。

### Q10

[1,2] 不含零，1/x 整段連續、內部可微。平均斜率 (1/2−1)/(2−1)=−1/2。解 −1/c²=−1/2，因 c∈(1,2) 取 c=√2，確在內部。

## 12.6 本冊回看

極限把靠近寫成可檢查的條件，導數把割線變化的極限寫成局部斜率，中值定理則把一整段變化與某個內點斜率連起來。下一冊才由累積與面積進入積分；本冊留下的定義域、連續與估界習慣會繼續用到。