# OCME 第9冊 多變數微積分與最佳化入門 · v0.2

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# 第1章 多變數函數與等高線

## 1.1 同一個函數的三種圖

二變數實函數 f:D→ℝ 把一對輸入 (x,y) 送到一個實數。D 是定義域；畫圖前要先找它，例如分母不能為零、實數平方根的被開方量必須非負。公式相同但定義域不同，能取到的值和後來的極值也可能不同。

曲面是三維中的 (x,y,f(x,y))，其中 (x,y)∈D。固定 y=b 時，只對滿足 (x,b)∈D 的 x 取 f(x,b)，它的圖是曲面在 y=b 平面中的截線。這個定義域可能只含幾段，甚至為空。固定輸出 c 則得到輸入平面中的等高集合 f(x,y)=c。等高集合可能是曲線、單點、整片區域或空集合。比較等高線距離時，也要核對相鄰的高度差。

![左圖用截線看曲面的高度，右圖用同心圓記錄 f(x,y)=x²+y² 的等高集合。](assets/f01-contour-and-slice.svg)

## 1.2 四個例題

### 例題1 先找定義域，再取值

f(x,y)=√(4−x²−y²) 要求 4−x²−y²≥0，所以 D 是半徑 2 的閉圓盤。原點取值 2，(1,1) 取值 √2，邊界取值 0。由 0≤x²+y²≤4，且沿 x 軸可達每個半徑，值域是從 0 到 2 的閉區間。

![實數平方根要求 x²+y²≤4；外圍圓周也在定義域，且整圈高度為零。](assets/f02-disk-domain.svg)

### 例題2 由高度反推半徑

f(x,y)=x²+y²。高度 c=4 要求 x²+y²=4，半徑 2；c=0 只剩原點；c<0 沒有點，因平方和非負。這三種等高集合來自同一曲面。

### 例題3 固定座標不固定高度

z=x²−y²。在 y=1 的切片上是 z=x²−1，頂點高度 −1；在 x=1 的切片上是 z=1−y²，頂點高度 1。同一曲面沿兩個方向，一邊向上開口、一邊向下。

### 例題4 限制定義域會截掉等高線

令 f(x,y)=x+y，只在 x≥0、y≥0 且 x+y≤2 的三角形上定義。高度 1 的點是 (t,1−t) 且 0≤t≤1；若忽略定義域，就會把它誤畫成整條直線。

## 1.3 練習

1. **B09-C01-Q01** 求 f(x,y)=1/(x−y) 的定義域，並算 f(3,1)。
2. **B09-C01-Q02** 寫出 f(x,y)=2x−y 在 y=2 的截線。
3. **B09-C01-Q03** 求 x²+4y²=4 的四個軸截點。
4. **B09-C01-Q04** 若 f(x,y)=3，描述 c=3 與 c=0 的等高集合。
5. **B09-C01-Q05** 求 g(x,y)=√(x+y−1) 的定義域及 g(2,3)。
6. **B09-C01-Q06** f(x,y)=xy 的零等高集合是什麼？
7. **B09-C01-Q07** f(x,y)=xy 的高度 2 是否包含 (1,2) 與 (−1,2)？
8. **B09-C01-Q08** 在 0≤x≤1、0≤y≤2 上找 2x+y 的值域。
9. **B09-C01-Q09** 把 x²+y²=9 放回曲面 z=x²+y²，截線在什麼平面？
10. **B09-C01-Q10** f=x²+y² 與 g=2(x²+y²) 的等高圖有何關係？

## 1.4 完整解答

### Q01

分母 x−y 不能為 0，排除直線 x=y。點 (3,1) 合法，代入得 1/(3−1)=1/2。

### Q02

以 2 固定 y，留下 z=2x−2。它在平面 y=2 內，並不要求 z=2。

### Q03

令 y=0 得 x=±2，截點為 (−2,0)、(2,0)。令 x=0 得 y=±1，截點為 (0,−1)、(0,1)。因此橢圓較寬的一軸沿 x。

### Q04

每個合法輸入都輸出 3，所以 c=3 的集合是整個定義域；c=0 的集合是空的。

### Q05

被開方量要非負，故 x+y≥1。代入點 (2,3)，根號內是 4，所以 g(2,3)=2。

### Q06

乘積為零若且唯若至少一個因子為零，故集合是 x 軸與 y 軸的聯集，兩支在原點相交。

### Q07

第一點乘積 1·2=2，在等高集合；第二點乘積 −1·2=−2，不在其中。

### Q08

各項非負且 2x+y≤2+2=4。沿 (t,2t) 讓 0≤t≤1，輸出 4t 走遍整段，因此值域是從 0 到 4 的閉區間。

### Q09

等高圓每點皆有輸出 9，所以其三維對應是平面 z=9 中的半徑 3 圓，而不是 y=9 的切片。

### Q10

g 的高度 c 對應 f 的高度 c/2，因 2f=c 等價於 f=c/2。圓形幾何家族相同，但同一個圓的標高加倍，不能只看間距就說兩者同樣陡。


# 第2章 偏導與可微

## 2.1 偏導看一條線，可微看所有小位移

設 p=(a,b) 是定義域內點。偏導 fₓ(a,b) 是固定 y=b 後，沿 x 的一維差商極限；fᵧ 同理。兩者只用到兩條座標線。

f 在 p 可微，指存在一個線性函數 L，使 f(p+(h,k))=f(p)+L(h,k)+r(h,k)，且 r(h,k)/√(h²+k²)→0。沿 (h,0) 與 (0,k) 代入可知 L 必為 fₓ(p)h+fᵧ(p)k，所以偏導給候選係數，不能單憑兩個數就宣布可微。可微也推出連續：線性項與餘項都隨位移趨零。

常用充分條件是兩偏導在 p 的鄰域存在且在 p 連續。位移夠小時，從 (a,b) 到 (a,b+k) 再到 (a+h,b+k) 的兩段都留在該鄰域。對長度非零的段用一維中值定理，兩段增量分別是 k 乘中間點的 fᵧ、h 乘中間點的 fₓ，長度為零的段則無增量。非零段的中間點趨近 p，且 |h|、|k| 各不大於 √(h²+k²)。因此扣除 fₓ(p)h+fᵧ(p)k 後，餘項除以位移長度的絕對值，至多是相應偏導差的絕對值之和，會趨零。這個條件是充分條件。

![兩個座標切片提供切平面的兩個斜率；可微要求這個平面同時近似所有方向。](assets/f03-partials-versus-plane.svg)

## 2.2 四個例題

### 例題1 算出線性項與剩下的量

f=x²+xy+y²。在 (1,2)，f=7、fₓ=2x+y=4、fᵧ=x+2y=5。展開 f(1+h,2+k)−7=4h+5k+h²+hk+k²。因 |hk|≤(h²+k²)/2，餘項絕對值至多 3(h²+k²)/2，除以位移長度會趨零。切平面是 z=7+4(x−1)+5(y−2)。

![在 (1,2) 附近，線性預測高度為 7+4h+5k；圖示比較 k=0 時的切線與實際切片。](assets/f04-tangent-plane-error.svg)

### 例題2 偏導都有卻不可微

原點以外令 f=xy/√(x²+y²)，原點定為 0。兩條軸上都為 0，所以偏導都是 0。取 (h,k)=(t,t)，t≠0 時 f=|t|/√2；除以位移長度 √2|t| 得 1/2，不趨零，故候選 L=0 不合。另一方面 |f|≤√(x²+y²)/2，原點確實連續。

### 例題3 偏導只動一個輸入

f(x,y)=eˣy²。求 fₓ 時 y² 固定，得 eˣy²；求 fᵧ 時 eˣ 固定，得 2yeˣ。在 (0,3) 值為 9、6。兩偏導在整平面連續，故該點可微。

### 例題4 用增量核對切平面

f=xy，在 (2,3) 加位移 (h,k)，實增量為 3h+2k+hk，線性部分為 3h+2k。用 (h,k)=(1/10,−1/10) 時預測 1/10、實增量 9/100。實增量減線性預測等於 −1/100，正是 hk。

## 2.3 練習

1. **B09-C02-Q01** 求 x³y+2y² 的兩個偏導。
2. **B09-C02-Q02** 在 (1,0) 求 eˣ cos y 的 fᵧ。
3. **B09-C02-Q03** 求 f=x²+y² 在 (1,−1) 的切平面。
4. **B09-C02-Q04** f(x,y)=x²+3y，從原點移到 (1/10,1/5)，比較線性與實增量。
5. **B09-C02-Q05** 在 x+y>0 上，求 ln(x+y) 的兩偏導。
6. **B09-C02-Q06** f(x,y)=|x|+y 在原點可微嗎？
7. **B09-C02-Q07** f=x²+xy+y² 在 (1,2) 沿 h=k=t 的線性餘項為何？
8. **B09-C02-Q08** 若一個函數可微，為什麼偏導唯一決定線性項？
9. **B09-C02-Q09** 在例題2取點 (t,−t)，計算餘項比上位移長度。
10. **B09-C02-Q10** 說明 f=4x−2y+1 的餘項為何。

## 2.4 完整解答

### Q01

對 x 求導時 y 固定，得 3x²y；對 y 求導時 x³ 固定，得 x³+4y。

### Q02

fᵧ=−eˣ sin y；代 y=0，sin 0=0，所以為 0。

### Q03

高度 2，偏導 (2,−2)。所以 z=2+2(x−1)−2(y+1)=2x−2y−2。

### Q04

原點偏導 (0,3)，線性增量 3/5。實增量是 1/100+3/5=61/100，差 1/100 來自 x²。

### Q05

內部 x+y 對 x 或 y 的偏導都是 1，外層 ln 的導數是 1/(x+y)，故兩者皆為 1/(x+y)。正值前提不能省。

### Q06

沿 x 軸的差商 |h|/h，h>0 得 1、h<0 得 −1，偏導不存在。可微會推出偏導存在，故不可微。

### Q07

以例題1的餘項 h²+hk+k² 代 h=k=t 得 3t²。其比上 √2|t| 得 3|t|/√2，確實趨零。

### Q08

任意線性 L 有 L(h,k)=hL(1,0)+kL(0,1)。可微式沿兩軸除以非零 h 或 k 並取極限，恰得兩偏導就是 L 的兩個係數。

### Q09

兩偏導為 0，餘項就是 f。分子是 −|t|/√2，分母 √2|t|，對任何 t≠0 比值 −1/2，仍違反可微條件。

### Q10

直接相減得 f(p+(h,k))−f(p)=4h−2k，恰是線性項，所以任一 p 的餘項都等於 0。


# 第3章 方向導數與梯度

## 3.1 把變化率投到指定方向

設 p 為定義域內點，u 為單位向量。方向導數是 t→0 時 (f(p+tu)−f(p))/t 的極限。位移長度為 |t|，所以這是按單位方向量得的一階變化率。若用一般速度 v，不正規化時算到的是沿 p+tv 的時間變化率。

若 f 在 p 可微，將位移 tu 代入線性近似，得到 Dᵤf(p)=∇f(p)·u，其中 ∇f=(fₓ,fᵧ) 為梯度。內積的絕對值至多為 ∇f 的長度；梯度非零時，沿 ∇f/‖∇f‖ 最陡上升，反方向最陡下降。梯度為零時，每個方向的一階變化都為零，不能從這點判斷極值。

若 f 在 p 可微，且可微曲線 γ 滿足 γ(0)=p 並留在同一等高集合，沿 γ 的高度不變。曲線位移是 tγ′(0) 加上比 |t| 更小的量，所以位移長度至多為常數乘 |t|。把它代入 f 的可微式，除以非零 t 再取極限，餘項趨零，得 ∇f(p)·γ′(0)=0。當梯度與切向量均非零，兩者垂直。

![圓的切向箭頭沿同一高度，徑向梯度箭頭與它成直角。](assets/f05-gradient-and-contours.svg)

## 3.2 四個例題

### 例題1 先把方向變成單位向量

f=x²+y²，在 p=(1,2)，∇f=(2,4)。方向 v=(3,4) 長 5，所以 u=(3/5,4/5)。Dᵤf=2·3/5+4·4/5=22/5；若直接乘 v 則是時間變化率 22。

![在 p=(1,2)，梯度 (2,4) 沿 u=(3/5,4/5) 的內積是 22/5；不把 u 的長度再算一次。](assets/f06-directional-dot.svg)

### 例題2 找最陡上升與下降

f=3x−4y，梯度恆為 (3,−4)，長度 5。上升最快沿 (3/5,−4/5)，變化率 5；反方向得 −5。若只問最大變化率，不應答向量。

### 例題3 等高切向可用內積檢查

p=(1,2) 在 x²+y²=5 上。半徑方向為 (1,2)，候選切向 v=(−2,1) 與其垂直。用 u=v/√5，梯度點乘得 (−4+4)/√5=0。這只說一階變化為零，不是沿直線移動永遠等高。

### 例題4 方向導數全有也不夠

令 f=x³y/(x⁶+y²) 於非原點，f(0,0)=0。沿 (ta,tb)，若 b≠0，差商化成 t a³b/(t⁴a⁶+b²)，趨 0；b=0 時恆為 0。因此每個單位方向導數都是 0。但沿 (t,t³)，t≠0 時 f=1/2，原點不連續，更不可能可微。

## 3.3 練習

1. **B09-C03-Q01** 求 f=xy+y² 的梯度。
2. **B09-C03-Q02** 上題在 (2,1) 沿 (1,0) 的方向導數？
3. **B09-C03-Q03** f=2x+y，沿 (1,1) 的單位方向，方向導數多少？
4. **B09-C03-Q04** ∇f(p)=(0,−7)，最大方向導數及方向？
5. **B09-C03-Q05** 梯度 (2,3) 對方向 v=(3,−2) 的方向導數？
6. **B09-C03-Q06** 若 f 在原點可微且梯度為零，原點一定極值嗎？
7. **B09-C03-Q07** f=x²+y²，在 (1,0) 沿 (0,1) 移動 t，實增量為何？
8. **B09-C03-Q08** ∇f(p)=(3,4)，沿速度 v=(0,2) 的時間變化率與單位方向變化率？
9. **B09-C03-Q09** 沿曲線 γ(t)=(cos t,sin t)，f=x²+y²，於 t=0 驗梯度與切向正交。
10. **B09-C03-Q10** 若輸入方向向量 v=0，能用 v/‖v‖ 取方向嗎？

## 3.4 完整解答

### Q01

偏導分別為 y 與 x+2y，所以 ∇f=(y,x+2y)。

### Q02

代入梯度為 (1,4)，與 (1,0) 內積是 1，即該點的 x 偏導。

### Q03

向量長 √2，先除以 √2；(2,1)·(1,1)/√2=3/√2。

### Q04

梯度長 7，沿 (0,−1) 得 7；雖然 y 偏導為負，向下走才最快增加。

### Q05

v 長 √13，梯度點乘 v 為 2·3−3·2=0，因此除以長度後仍為 0。

### Q06

不一定。f=x²−y² 的梯度在原點為零，沿 x 軸為正，沿 y 軸為負，任意小鄰域都有比 0 大及小的值。

### Q07

該方向導數是 0；但 f(1,t)−f(1,0)=t²。沿切線的變化只是比一階更小，並非完全為 0。

### Q08

時間率 (3,4)·(0,2)=8；單位方向 (0,1) 給 4。兩者相差速度大小 2。

### Q09

γ(0)=(1,0)、γ′(0)=(0,1)，∇f=(2,0)。內積 0，與 f(γ(t)) 恆為 1 一致。

### Q10

不能，分母為 0，零向量沒有方向；常值路徑 p+tv=p 的時間導數是 0，和單位方向導數不是同一件事。


# 第4章 全微分與鏈式法則

## 4.1 先對尺寸，再讓微分相乘

對 F:ℝⁿ→ℝᵐ，若 F(p+h)=F(p)+Ah+r(h)，且 ‖r(h)‖/‖h‖→0，就稱 F 在 p 可微，DF(p)=A。矩陣 A 的第 i 列是第 i 個輸出的偏導，第 j 欄描述第 j 個輸入的變化；尺寸是 m×n。這個矩陣稱 Jacobian 矩陣。單一輸出時它是一列，梯度通常寫成欄，兩者互為轉置。

設 G 把輸入映到 F 的定義域，G 在 p 可微，F 在 G(p) 可微。令 k=G(p+h)−G(p)。內層可微式給 k=DG(p)h 加上比 ‖h‖ 更小的量，故 h 夠小時有 ‖k‖≤C‖h‖。對非零 k，外層餘項除以 ‖h‖，可寫成它除以 ‖k‖ 後再乘 ‖k‖/‖h‖，前者趨零、後者有界。若 k=0，外層餘項本來就是零。因此 D(F∘G)(p)=DF(G(p))DG(p)，先作用內層，再作用外層，並各自在指定點取值。

對 f 的小增量，df=∇f(p)·h 是線性預測，Δf=f(p+h)−f(p) 是實際改變。兩者在有限位移時不必相等；近似誤差要用模型或界估計。

![輸入位移先經內層微分，再經外層微分；兩個矩陣的中間尺寸相等。](assets/f07-jacobian-composition.svg)

## 4.2 四個例題

### 例題1 沿曲線算兩個輸出的速率

令 F(x,y)=(x²+y,xy)，γ(t)=(t,2t)。DF=[2x,1;y,x]；在 γ(1)=(1,2) 成 [2,1;2,1]。乘 (1,2)ᵀ 得 (4,4)ᵀ。直接把 F∘γ 寫成 (t²+2t,2t²) 再微分，在 1 也得同值。

![沿 γ(t)=(t,2t) 到 t=1，將 γ′(1)=(1,2) 乘進 DF(1,2)，得到速度 (4,4)。](assets/f08-jacobian-along-path.svg)

### 例題2 兩條路徑都會影響輸出

令 u=x+y、v=x−y，w=u²+3v。對 x 改變，u 與 v 都以速率 1 改變，wₓ=2u+3；對 y 改變，u 速率 1、v 速率 −1，wᵧ=2u−3。在 (2,1) 的 u=3，得到 (9,3)。

### 例題3 量測誤差要保留單位

面積 A(L,W)=LW，L=10 cm、W=4 cm，誤差 h=1/10 cm、k=−1/5 cm。dA=4h+10k=−8/5 cm²，實增量再加 hk=−1/50 cm²，得 −81/50 cm²。小誤差盒若只知道 |h|≤1/10、|k|≤1/5，就有 |dA|≤12/5 cm²、|hk|≤1/50 cm²。

### 例題4 中間空間可有不同維度

G(t)=(t,t²,t³)，F(x,y,z)=(x+y,z−y)。DF 是 2×3 的 [1,1,0;0,−1,1]，DG(2)=(1,4,12)ᵀ 是 3×1，結果 (5,8)ᵀ。反乘的尺寸不合，且不代表同一個複合。

## 4.3 練習

1. **B09-C04-Q01** 寫 F(x,y)=(x+y²,3xy) 的 Jacobian。
2. **B09-C04-Q02** 上題在 (1,2) 的微分作用於 (1,−1) 會得到什麼？
3. **B09-C04-Q03** 令 z=xy、x=t²、y=1+t，求 t=1 的 dz/dt。
4. **B09-C04-Q04** w=eᵘ、u=x−2y，求兩個偏導。
5. **B09-C04-Q05** G:ℝ²→ℝ³、F:ℝ³→ℝ⁴，兩者在鏈式法則所需點可微時，D(F∘G) 的尺寸為何？
6. **B09-C04-Q06** 對 f=x²+y，在 (3,1) 取 h=−1/10、k=1/5，求 df。
7. **B09-C04-Q07** 若 f(x,y)=x²+y²，且 γ(t)=(t,t)，求 (f∘γ)′(2)。
8. **B09-C04-Q08** 只知 DG(p)=0，能保證複合在 p 可微且微分為零嗎？
9. **B09-C04-Q09** 令 F(u,v)=u−v、G(x,y)=(xy,x+y)。在 (2,3) 求複合的 Jacobian。
10. **B09-C04-Q10** A=LW 且兩邊皆增 1 cm，為何 ΔA 和 dA 相差 1 cm²？

## 4.4 完整解答

### Q01

逐輸出取偏導成兩列：第一列 (1,2y)，第二列 (3y,3x)，故是 [1,2y;3y,3x]。

### Q02

DF(1,2)=[1,4;6,3]，乘位移欄得 (1−4,6−3)ᵀ=(−3,3)ᵀ。

### Q03

zₓ=y=2、zᵧ=x=1，x′=2、y′=1，所以 dz/dt=2·2+1·1=5。

### Q04

外層對 u 求導得 eᵘ；uₓ=1、uᵧ=−2，所以偏導為 e^(x−2y) 與 −2e^(x−2y)。

### Q05

DG 為 3×2，DF 為 4×3。DF 左乘 DG，得到 4×2，正是四個輸出對兩個輸入。

### Q06

偏導為 (6,1)，故 df=6·(−1/10)+1/5=−2/5。實增量比它多 h²=1/100。

### Q07

複合是 2t²，導數 4t 在 2 為 8；用梯度 (4,4) 點乘 (1,1) 也得 8。

### Q08

只知 DG(p)=0，不能保證。取 G(t)=t³、F(s)=實數立方根 ∛s。在 0 有 G′(0)=0，但複合恆為 t，導數是 1。也可取 G(t)=t²、F(s)=√|s|，複合為 |t|，在 0 不可微。若另知 F 在 G(p) 可微，鏈式法則才給 DF(G(p)) 乘零矩陣，所以複合微分為零。

### Q09

DF=(1,−1)，DG 在點上為 [3,2;1,1]。相乘得 (2,1)；直接微分 xy−x−y 亦然。

### Q10

展開 (L+1)(W+1)−LW 得 L+W+1，線性項是 L+W。

實增量減線性預測，就是兩個邊長增量相乘，等於 1 cm²。


# 第5章 Hessian與Taylor近似

## 5.1 二階項記錄曲率與交互作用

若 f 在 p 附近有連續的二階偏導，Hessian H 是二階偏導矩陣；混合偏導相等，所以 H 對稱。以欄位移 d=(h,k)ᵀ 表示，二階近似為 f(p)+∇f(p)·d+(1/2)dᵀH(p)d。矩陣乘開後，兩個混合項合成 fₓᵧ(p)hk，不能漏掉或把它再除以 2。

讓位移 d 夠小，使 p+td 在 0≤t≤1 時都留在二階偏導連續的鄰域。令 g(t)=f(p+td)，則 g′(0)=∇f(p)·d、g″(t)=dᵀH(p+td)d。對 g 在 0 做一階 Taylor 展開，帶二階 Lagrange 餘項，再加減 g″(0)/2，可知二階式之後的誤差為 (1/2)dᵀ(H(p+θd)−H(p))d，其中 0<θ<1。矩陣差在整段一致趨零，故誤差除以 ‖d‖² 趨零。若 g 還在該段有連續三階導數且 |g‴|≤M，二階 Taylor 式的三階餘項絕對值至多 M/6。

![圖中 f=x²+xy+2y² 的兩個非對角 Hessian 元素都是 1，各貢獻 hk；乘 1/2 後合成一個 hk。](assets/f09-hessian-cross-term.svg)

## 5.2 四個例題

### 例題1 二次函數的近似是等式

f=x²+xy+2y²，在 p=(1,1) 有 f=4、∇f=(3,5)，H=[2,1;1,4]。乘開二次項得 h²+hk+2k²，所以 f(1+h,1+k)=4+3h+5k+h²+hk+2k²。沿 h=k=t，二次修正為 4t²。

![對 f=x²+xy+2y²，展開式到二階就精確；沿 h=k=t，線性預測與實值相差 4t²。](assets/f10-quadratic-taylor-model.svg)

### 例題2 用合成變數估計餘項

f=e^(x+y) 在原點，二階式是 1+(x+y)+(x+y)²/2。取 (h,k)=(1/10,−1/20) 時 s=h+k=1/20，近似 1+1/20+1/800=841/800。由一維指數函數三階餘項，絕對誤差至多 e^(1/20)/48000。

### 例題3 區分二階項和二階方向率

f=x²+3xy+y²，H=[2,3;3,2]。沿速度 d=(1,−1) 有二階時間導數 dᵀHd=−2。沿單位方向 u=d/√2 則是 −1；Taylor 式裡還要再乘 1/2 與位移參數平方。

### 例題4 二階式為零也可能有變化

f=x³+y⁴ 在原點的一、二階導數皆零，二階 Taylor 式為 0。沿 x 軸 f(t,0)=t³，正負號隨 t 改變；二階資料不能判定原點為極值。

## 5.3 練習

1. **B09-C05-Q01** 求 f=x²+4xy+3y² 的 Hessian。
2. **B09-C05-Q02** 寫上題在原點的二階式。
3. **B09-C05-Q03** 求 f=x²y³ 的混合二階偏導。
4. **B09-C05-Q04** f=x²+y² 在 (1,1)，d=(1/10,1/10)。二階修正多少？
5. **B09-C05-Q05** 對 f=cos(x+y)，寫原點二階式。
6. **B09-C05-Q06** f=x³ 在 x=1（與 y 無關），寫到二階並給餘項。
7. **B09-C05-Q07** 若 f 的二階 Taylor 式為 0，是否 f 必在鄰域恆等於 0？
8. **B09-C05-Q08** 對 f=xy，d=(2,−1)，求 dᵀHd/2。
9. **B09-C05-Q09** 在例題2，若取 s=−1/10，用二階式估計 eˢ。
10. **B09-C05-Q10** 只知道 fₓᵧ 與 fᵧₓ 在一點存在，能直接依本章條件宣稱相等嗎？

## 5.4 完整解答

### Q01

fₓ=2x+4y、fᵧ=4x+6y，再逐一求偏導得 H=[2,4;4,6]。

### Q02

原點函數值與梯度為零，矩陣式 (1/2)dᵀHd 展開為 h²+4hk+3k²；這裡也是實際值。

### Q03

先對 x 得 2xy³，再對 y 得 6xy²；反順序先得 3x²y²、再得 6xy²。多項式的二階偏導連續。

### Q04

H=2I，二階修正就是 h²+k²=1/50。線性部分為 2h+2k=2/5。

### Q05

一維 cos s 在 0 的值、一次、二次導數分別為 1、0、−1；代 s=x+y，得 1−(x+y)²/2。

### Q06

(1+h)³=1+3h+3h²+h³。前面三項是二階式，留下 h³；用 Hessian 的 x 二階偏導 6 也得 (1/2)·6h²。

### Q07

不必。f(x,y)=x³ 的原點函數值與一、二階導數為零，但每個小鄰域都有 x≠0 的點使 f≠0。

### Q08

H 的對角為 0、兩個非對角皆為 1。矩陣式給 (1/2)(−2−2)=−2，恰等於 hk。

### Q09

代入 1−1/10+1/200=181/200。介於 s 與 0 的指數值至多 1，所以誤差至多 |s|³/6=1/6000。

### Q10

不能。本章使用的是該點鄰域二階偏導連續的充分條件。反例是在原點取 0，其餘點取 f(x,y)=xy(x²−y²)/(x²+y²)。從差商得 fₓ(0,y)=−y、fᵧ(x,0)=x，包含 y=0 或 x=0。因此在原點，先對 x 再對 y 得 −1，先對 y 再對 x 得 1。兩個混合偏導都存在，但不相等。


# 第6章 無約束極值與凸性

## 6.1 駐點、局部極值和全域最小各有條件

若 f 在內點 p 可微且有局部極值，沿每條座標線的一維導數都必為零，所以 ∇f(p)=0。滿足這個條件的點稱駐點；零梯度是必要，不是充分。邊界點與不可微點須另查。

若 f 在 p 附近二階連續可微且 ∇f(p)=0，H(p) 正定時，(1/2)dᵀHd 對任意非零 d 皆正。在單位球面取它的最小值，連續與緊緻保證此值為正，故二次項至少是固定正數乘 ‖d‖²；更小階的餘項不會改號。這給嚴格局部最小。負定給嚴格局部最大；有正有負的方向給鞍點。若只有半正定或半負定，這個測試可能無法下結論。

凸集合包含任兩點的線段。定義在凸集合上的凸函數滿足 f((1−t)p+tq)≤(1−t)f(p)+tf(q)，0≤t≤1。把不等式減 f(p)、除以 t>0，再令 t→0；若 f 在 p 可微，便得 f(q)≥f(p)+∇f(p)·(q−p)。所以凸函數的內點駐點是全域最小；一般函數的局部結論不能照搬。

![從原點作任意非零位移，x²+y² 都增大；對 x²−y²，沿 x 軸增大、沿 y 軸減小。兩者在原點的一階導數均為零。](assets/f11-saddle-versus-minimum.svg)

## 6.2 四個例題

### 例題1 平方和直接給全域最小

f=(x−2)²+2(y+1)²，梯度為 (2(x−2),4(y+1))，只在 (2,−1) 為零。兩個平方非負且同時為零只在該點，所以最小值 0 且唯一。沿任一線段，二次導數是 2(dx)²+4(dy)²≥0，故此函數也凸。

![在例題1固定 y=−1 並令 t=x−2，得到凸函數 t²；t=0 與 2 的中點高度低於弦上平均。](assets/f12-convex-below-chord.svg)

### 例題2 同樣是駐點，卻是鞍點

f=x²−y²，原點梯度零。H=[2,0;0,−2]，沿 x 軸增量 t²，沿 y 軸 −t²。兩種符號出現在任意小鄰域，所以不是極大也不是極小。

### 例題3 半正定不能替代高階檢查

f=x⁴+y² 與 g=−x⁴+y² 在原點都有 H=[0,0;0,2]。f 在原點有嚴格最小；g 沿 y 軸正、沿 x 軸負，所以是鞍點。同一個 Hessian，結論不同。

### 例題4 限制區域後，最小值可在邊上

在 0≤x≤2、0≤y≤1 最小化 (x−3)²+(y−1/2)²。第二平方在 y=1/2 為 0；第一平方在區間內隨 x 增加而減小，到 x=2 為 1。故最小點 (2,1/2)，梯度 (−2,0) 非零，不違反內點必要條件。

## 6.3 練習

1. **B09-C06-Q01** 求 x²+3y²−2x 的駐點與最小值。
2. **B09-C06-Q02** 分類 f=−x²−2y² 的原點。
3. **B09-C06-Q03** 分類 f=xy 的原點。
4. **B09-C06-Q04** f=x⁴+y⁴ 的 Hessian 在原點為零，能用原函數判斷嗎？
5. **B09-C06-Q05** 單位閉圓盤為何是凸集合？
6. **B09-C06-Q06** 單位圓周（不含內部）是凸集合嗎？
7. **B09-C06-Q07** 對 f(t)=t²，比較 f(1) 與 f(0)、f(2) 的平均。
8. **B09-C06-Q08** 若 f 是嚴格凸函數，能同時有兩個不同全域最小點嗎？
9. **B09-C06-Q09** 在線段 0≤t≤2 上最大化 t²−2t。
10. **B09-C06-Q10** f(x,y)=eˣ+y² 在整平面有最小值嗎？

## 6.4 完整解答

### Q01

梯度 (2x−2,6y) 給 (1,0)。配方 f=(x−1)²+3y²−1，最小值 −1 且在該點取到。

### Q02

梯度零，H 對角是 −2、−4，負定。也可看每個非零點的 f 都負；故原點是唯一全域最大。

### Q03

梯度 (y,x) 為零；沿 y=x 得 t²，沿 y=−x 得 −t²。二者任意靠近原點，故是鞍點。

### Q04

可以。每項都非負，且只有 x=y=0 時同時為零，所以原點是嚴格全域最小；零矩陣本身並未給出這個結論。

### Q05

若 ‖p‖≤1、‖q‖≤1，三角不等式給 ‖(1−t)p+tq‖≤(1−t)‖p‖+t‖q‖≤1，故線段不離開圓盤。

### Q06

不是。(1,0)、(−1,0) 在圓周，中點 (0,0) 不在圓周，所以違反線段條件。

### Q07

f(1)=1，端點平均 (0+4)/2=2。中點低於弦，這是凸性不等式的一次檢查，不是整體證明。

### Q08

不能。兩個最小點若同值 m，嚴格凸性使其中點值嚴格小於 m，矛盾。這不保證一定存在最小點。

### Q09

配方 (t−1)²−1，區間內 |t−1|≤1，兩端點給最大值 0，內部駐點 t=1 反而是最小值 −1。

### Q10

f>0；沿 y=0、x→−∞，值趨 0。下確界是 0，卻無輸入達到。凸性不等於極值存在。


# 第7章 等式約束與Lagrange乘數

## 7.1 只沿可行方向檢查變化

設 p=(a,b) 是 g(x,y)=c 上 f 的局部極值點，且鄰近 p 的這段等高曲線都可行。取 f、g 在 p 的開鄰域可微，g 的一階偏導連續，並且 ∇g(p)≠0。若 gᵧ(p)≠0，隱函數定理將附近等高曲線寫成 y=φ(x)，其中 φ(a)=b、φ′(a)=−gₓ(p)/gᵧ(p)。沿曲線的一維函數在 x=a 有局部極值，故 fₓ(p)−fᵧ(p)gₓ(p)/gᵧ(p)=0。取 λ=fᵧ(p)/gᵧ(p)，便得 ∇f(p)=λ∇g(p)。若 gₓ(p)≠0 可對調座標。額外限制形成的端點另查。

因此先解 g=c 與 ∇f=λ∇g 找正則候選，再另查 ∇g=0 的可行點與額外邊界或端點。乘數條件只必要，不能當極值保證。若可行集非空、閉且有界且 f 連續，才可用極值定理保證最值存在，再比較候選值。

![正則可行曲線的切向與 ∇g 垂直；若 f 沿曲線有極值，∇f 也與同一切向垂直。](assets/f13-regular-constraint-tangency.svg)

## 7.2 四個例題

### 例題1 在圓周上找最大與最小

f=x+2y，g=x²+y²=1。圓上 ∇g=(2x,2y) 非零。由 (1,2)=λ(2x,2y)，點必為 (1,2)/√5 或其負向。代 f 得 ±√5。圓周緊緻且 f 連續，兩點就是最大與最小。

![在單位圓上，x+2y 的最大與最小出現在方向 (1,2) 的兩端，對應兩條相切的等高線。](assets/f14-circle-extrema.svg)

### 例題2 線段上的端點也要算

最大化 xy，約束 x+y=6、x,y≥0。內部乘數條件 (y,x)=λ(1,1) 給 x=y=3，值 9。端點 (6,0)、(0,6) 值 0。代 y=6−x 也得 xy=9−(x−3)²，在整段最大 9、最小 0。

### 例題3 奇異點可能漏在方程組之外

約束 x²+y²=0 只有原點，f=x 在這個集合上同時達到最大與最小。但 ∇g(0,0)=0，而 ∇f=(1,0)，找不到乘數。這是正則性缺失，不是極值不存在。

### 例題4 最接近原點的可行點

在 x+2y=5 上最小化 x²+y²。正則條件 (2x,2y)=λ(1,2) 給 y=2x，再代約束得 (1,2)。可行點減 (1,2) 的位移 d 滿足 (1,2)·d=0，所以平方距離為 5+‖d‖²，確證唯一最小，即使直線不緊緻。

## 7.3 練習

1. **B09-C07-Q01** 在 x²+y²=4 上最大化 x。
2. **B09-C07-Q02** 在 x+y=4 上最小化 x²+y²。
3. **B09-C07-Q03** 在 x²+y²=1 上找 f=xy 的最大與最小。
4. **B09-C07-Q04** 在 x+y=5、x,y≥0 上最小化 xy。
5. **B09-C07-Q05** g=x²+y²=0 的可行點是否正則？
6. **B09-C07-Q06** g=y²=0 和 g=y=0 代表同一集合，正則性是否一樣？
7. **B09-C07-Q07** 若 ∇f=2∇g 且沿可行曲線的切向量為 v，一階變化為何？
8. **B09-C07-Q08** 在 y=0 上，f=x³ 於原點符合乘數條件嗎？是極值嗎？
9. **B09-C07-Q09** 在 x−y=0 上，f=x+y 有全域最值嗎？
10. **B09-C07-Q10** 比較 ∇f=λ∇g 和 ∇f=0 的適用處。

## 7.4 完整解答

### Q01

x≤2，且 (2,0) 可行，達到 2。乘數式 (1,0)=λ(2x,2y) 也給 y=0，兩個候選 x=±2；較大者為 2。

### Q02

正則乘數式給 x=y，故 x=y=2。代 y=4−x 得 2(x−2)²+8，最小值 8，並確認為全域。

### Q03

乘數式為 (y,x)=2λ(x,y)。若一個座標為零，另一個也必須為零，與單位圓矛盾。兩式相乘得 4λ²=1，故 y=±x、x²=y²=1/2。x、y 同號時 xy=1/2，異號時 xy=−1/2。圓周緊緻且 f 連續，所有極值都在這些候選點中，所以比較即得全域最大與最小。

### Q04

xy≥0，且兩端 (0,5)、(5,0) 皆為零，所以最小值 0。只找內部乘數點 (5/2,5/2) 會漏掉這個最小值。

### Q05

只有原點，而 ∇g=(2x,2y) 在該點為零，故不是正則點。可直接檢查可行集的唯一點。

### Q06

不一樣。前者梯度 (0,2y) 在線上為零；後者梯度恆為 (0,1)。同一可行集的不同描述，可能有不同的正則性。

### Q07

∇g·v=0，故 ∇f·v=2∇g·v=0。這只是一階必要條件，不能宣稱沿曲線值恆定。

### Q08

∇f=(0,0)、∇g=(0,1)，取 λ=0 即符合；但 x³ 在左右異號，原點不是局部極值。

### Q09

可行點寫 (t,t)，函數值是 2t。隨 t 向正或負無窮可任意大或小，無最大也無最小。

### Q10

前者用在正則等式約束的極值，目標只需在可行切向上一階不變；後者用在無約束可微內點的極值，所有方向都可走。兩式都只是必要條件。


# 第8章 二重與三重積分

## 8.1 先畫區域，再決定積分次序

在平面區域 D 上，二重積分把小塊的 f 值乘面積再相加。f≥0 時可解讀成曲面下的體積；f 有正有負時是有向累積，不一定等於幾何體積。若 f 是面密度，f·dA 的單位是質量。三重積分同理用體積小塊 dV；體密度乘體積才是質量。

本章取 f 在有界區域 D 的閉包上連續，並將 D 按所選方向寫成一個或有限個分片光滑的簡單區域。若某片在 α≤x≤β 時的切片為 a(x)≤y≤b(x)，則先按這兩個端點對 y 積，再從 α 到 β 對 x 積。改成先 x 後 y 時，外層和內層範圍都要從固定 y 的切片重新求得；若有多段，就按區域分開相加。三重積分也逐層核對端點。本章處理正規的有限積分，無界區域或奇異被積式須另查收斂及可交換條件。

![同一個三角形可用垂直切片或水平切片掃過；內層上下限來自切片的兩端。](assets/f15-region-order.svg)

## 8.2 四個例題

### 例題1 先沿 y，再沿 x

在矩形 0≤x≤2、0≤y≤1 積 f=x+2y。固定 x，內積分是 xy+y² 在 0 到 1 的差 x+1。外積分是 x²/2+x 在 0 到 2 的差 4。若高度以公尺計、平面以平方公尺計，此值代表 4 立方公尺。

![矩形例題固定 x 時，沿 y 從 0 到 1 積分；再讓 x 從 0 掃到 2。](assets/f16-rectangular-slices.svg)

### 例題2 三角形的內層上限不是常數

D 由 x≥0、y≥0、x+y≤1 定義。固定 x∈[0,1]，y∈[0,1−x]。對 x+y 先積 y 得 x(1−x)+(1−x)²/2=(1−x²)/2，再積 x 得 1/3。換序時固定 y∈[0,1]、x∈[0,1−y]，結果同值。

### 例題3 用三層切片算四面體體積

在 x,y,z≥0 且 x+y+z≤1 上積 1。固定 x,y，z 的長度是 1−x−y。對 y 從 0 到 1−x 積得 (1−x)²/2；最後 x 從 0 到 1 得 1/6。這裡內層 z 上限依賴兩個外層變數。

### 例題4 體密度不是體積

長方體 0≤x≤2、0≤y≤1、0≤z≤3（座標數值以公尺計），體密度數值 ρ=1+x，單位 kg/m³。先對 z、y 積給 3(1+x)，再積 x 得 12 kg；長方體體積是 6 m³，不能以 6 代替質量。

## 8.3 練習

1. **B09-C08-Q01** 在 0≤x≤3、0≤y≤2 積 1。
2. **B09-C08-Q02** 在單位正方形積 xy。
3. **B09-C08-Q03** 寫出 0≤x≤2、0≤y≤x 換成先 x 後 y 的範圍。
4. **B09-C08-Q04** 在上一題三角形積 1，用先 x 後 y。
5. **B09-C08-Q05** 在 0≤x≤1、x²≤y≤x 積 1。
6. **B09-C08-Q06** 對上一題區域寫水平切片的 x 範圍。
7. **B09-C08-Q07** 在 −1≤x≤1、0≤y≤2 積 x。
8. **B09-C08-Q08** 在單位立方體積 f=z。
9. **B09-C08-Q09** 常數體密度 2 kg/m³，區域體積 3 m³，質量多少？
10. **B09-C08-Q10** 為何內層 y 積分的上界不能再含 y？

## 8.4 完整解答

### Q01

內層對 y 積為 2，外層乘 x 長度 3 得 6，即矩形面積。

### Q02

固定 x 時積 y 得 x/2，再從 x=0 到 1 積得 1/4。

### Q03

y 最低 0、最高 2；固定 y 時 x 至少 y、至多 2。因此外層 y∈[0,2]，內層 x∈[y,2]。

### Q04

內層長度 2−y，對 y 從 0 到 2 積，得 4−2=2。也等於底 2、高 2 的三角形面積。

### Q05

每條垂直切片長 x−x²，積得 1/2−1/3=1/6。不能把上界 x 或下界 x² 直接換成常數。

### Q06

外層 0≤y≤1。由 y≤x 得 x≥y；由 x²≤y 且 x≥0 得 x≤√y。因此內層從 y 到 √y。

### Q07

內層 y 給 2x，外層 2x 在對稱區間的正負部分抵消，積分為 0；這不代表兩邊幾何體積都為 0。

### Q08

z 從 0 到 1 的積分為 1/2，其餘兩邊長度 1，所以結果 1/2。

### Q09

積分就是密度乘體積，2·3=6 kg。單位 m³ 與分母消去。

### Q10

固定外層變數後，內層是在一個已定的 y 區間累積；上下限是切片端點，可依外層變數而變，但不能在當下積分過程仍把自由 y 當成自己的端點。


# 第9章 座標變換與Jacobian

## 9.1 局部線性縮放決定換元因子

換元把新參數 (u,v) 映到舊座標 (x,y)=T(u,v)。小參數矩形的兩條邊，一階近似分別映成 DT 的兩欄乘各自邊長。因此面積縮放取 |det DT|；若 det 為負，代表方向翻轉，面積仍非負。對三維體積同樣取三階 Jacobian 行列式的絕對值。

本章用以下正規換元情形。取有界參數區域 E 與其像區域 D，T 在 E 的閉包的開鄰域連續可微。排除邊界與切縫後，T 將 E 的其餘部分一對一映到 D 的其餘部分，Jacobian 非零且逆連續可微。兩側略去的邊界與切縫都只占零面積或零體積，被積函數在 D 的閉包連續。於是 ∬_D f(x,y) dA=∬_E f(T(u,v)) |det DT(u,v)| du dv。三維同樣以三個參數和體積元素換元。若參數化重複覆蓋正面積區域，直接積分會重複計數。

極座標 x=r cos θ、y=r sin θ，取 r≥0。Jacobian 的兩欄是 (cos θ,sin θ) 與 (−r sin θ,r cos θ)，行列式 r(cos²θ+sin²θ)=r。故 dA=r dr dθ。圓盤可用 0≤θ<2π，中心和角度切縫不改面積積分。柱座標保留 z，故 dV=r dr dθ dz，積分次序按區域選。

![相同的角寬在外圈走過較長弧段，這就是小面積帶有半徑 r 因子的幾何理由。](assets/f17-polar-grid.svg)

## 9.2 四個例題

### 例題1 用極座標算圓盤面積

半徑 2 的圓盤，對 1 積 dA。先積 r，從 0 到 2 得 r²/2 的差 2；再乘角度長 2π，得到 4π。若漏乘 r，這一次數字碰巧也為 4π；改半徑 1 就露出錯誤，正確 π、漏乘為 2π。

![半徑 2 的圓盤以 0≤r≤2、0≤θ<2π 掃一次，面積計算必須保留 r。](assets/f18-disk-area-polar.svg)

### 例題2 環形區域有內半徑

在 1≤x²+y²≤4 積 x²+y²。新函數是 r²，面積元素再乘 r；r 從 1 到 2，θ 掃 2π。結果 2π·(2⁴−1⁴)/4=15π/2。

### 例題3 方向反轉不是負面積

T(u,v)=(u+v,u−v)，把單位正方形變成平行四邊形。矩陣 [1,1;1,−1] 的 det=−2，故面積是 |−2| 乘 1=2。兩邊向量的有向面積才是 −2。

### 例題4 用柱座標算拋物面下體積

區域 0≤z≤4−x²−y²，投影圓盤半徑 2。先積 z 得 4−r²，再乘 r，體積為 2π∫ 從 0 到 2 的 (4r−r³) dr=2π·4=8π。徑向上限來自高度不可負。

## 9.3 練習

1. **B09-C09-Q01** 極座標 (r,θ)=(2,π/2) 對應哪一點？
2. **B09-C09-Q02** 求第一象限單位圓盤面積。
3. **B09-C09-Q03** 半徑 3、角寬 π/6 的扇形面積？
4. **B09-C09-Q04** 橢圓 x²/4+y²/9≤1 的面積？
5. **B09-C09-Q05** 求 T(u,v)=(2u+v,u) 的面積縮放。
6. **B09-C09-Q06** 若將 θ 從 0 掃到 4π，積分 1 於單位圓盤會發生什麼？
7. **B09-C09-Q07** 半徑 1、高 3 的圓柱體積？
8. **B09-C09-Q08** 在單位圓盤積 x²+y²。
9. **B09-C09-Q09** 極座標在 r=0 的行列式為 0，為何仍可計算圓盤面積？
10. **B09-C09-Q10** 把參數 u、v 交換，面積因子會改變嗎？

## 9.4 完整解答

### Q01

x=2 cos(π/2)=0，y=2 sin(π/2)=2，故是 (0,2)。

### Q02

r 從 0 到 1、θ 從 0 到 π/2；徑向積分為 1/2，乘角度長 π/2 得 π/4。

### Q03

對 r 從 0 到 3 積得 9/2，乘 π/6 得 3π/4。

### Q04

令 x=2u、y=3v，參數區域為單位圓盤，det=6。面積 π 乘 6 得 6π。

### Q05

Jacobian [2,1;1,0] 的 det=−1。方向反轉，但 |det|=1，面積不變。

### Q06

除切縫與中心外，圓盤幾乎每點被掃兩次。參數積分給 (1/2)·4π=2π，是真面積 π 的兩倍，違反一對一條件。

### Q07

取 r∈[0,1]、θ∈[0,2π)、z∈[0,3]，積 r。先 z 得 3r，積 r 與角度後得 3π。

### Q08

換成 r² 後乘 r，徑向積分 ∫ 從 0 到 1 的 r³ dr=1/4，再乘 2π，得 π/2。

### Q09

r=0 對應單一中心點，面積為零；在 r>0 且避開一條角度切縫時可用換元，缺掉的集合不影響本章的正規積分。

### Q10

在對應參數點，交換 u、v 等於將 Jacobian 的兩欄對調。行列式反號，絕對值相同。參數點、參數區域及被積式都要同步改寫，才能表示同一塊區域。


# 第10章 向量場與積分關係導讀

## 10.1 積的是切向、法向，還是長度

對分段光滑曲線 γ(t)，標量線積分以 f(γ(t))‖γ′(t)‖ dt 累積，反向不變。向量場的做功型線積分以 F(γ(t))·γ′(t) dt 累積，路徑反向時變號。通量則取 F 的法向分量；封閉平面邊界的外向通量，法向指向區域外側，不是沿切線。

Green 公式把平面邊界的環流連到區域內的旋轉量。取有界區域 D，其邊界是分段光滑簡單閉曲線，逆時針走時 D 在左側。若 F=(P,Q) 在包含 D 及邊界的開鄰域有連續一階偏導，則 ∮(P dx+Q dy)=∬(∂Q/∂x−∂P/∂y) dA。沿此正向邊界，外法向乘弧長元素為 (dy,−dx)，所以外向通量是 ∮(P dy−Q dx)。把 Green 環流式套到 (−Q,P)，即可得到通量為 ∬(∂P/∂x+∂Q/∂y) dA。

在三維，取緊緻且已定向的光滑曲面 S，邊界分段光滑，F 在含 S 的開鄰域一階連續可微。Stokes 公式是 ∮_∂S F·dr=∬_S (∇×F)·n dS，其中 n 是所選單位法向，邊界方向由該曲面方向依右手規則誘導。對平面圓盤，從所選法向那一側看，正向邊界是逆時針。

散度定理取有界立體 V 的封閉分片光滑邊界 ∂V，F 在包含整個立體與邊界的開鄰域一階連續可微。令 n 為外單位法向，則 ∬_∂V F·n dS=∭_V (∇·F) dV。Stokes 積的是曲面及其邊界曲線，散度定理積的是立體及其封閉邊界。

![逆時針切向與外法向是兩種方向；環流和通量取的向量分量不同。](assets/f19-circulation-versus-flux.svg)

## 10.2 四個例題

### 例題1 沿拋物線計算做功

F=(2x,y)，γ(t)=(t,t²)，0≤t≤1。速度 (1,2t)，沿路的場為 (2t,t²)，內積 2t+2t³。積分得 t²+t⁴/2 在 0 到 1 的差 3/2。反走同一路徑得 −3/2。

![從 (0,0) 沿 y=x² 走到 (1,1)，沿路取 F 與切向速度的內積，不是取法向分量。](assets/f20-work-along-parabola.svg)

### 例題2 用兩種方法核對環流

F=(−y,x)，沿單位圓逆時針 γ(t)=(cos t,sin t)。F(γ)=γ′，內積 1，積分得 2π。Green 右側為 ∂Q/∂x−∂P/∂y=1−(−1)=2，乘圓盤面積 π 也得 2π。

### 例題3 同一圓上，通量與環流不一樣

F=(x,y)，在單位圓上等於外單位法向，故 F·n=1，外向通量為 2π。F 與切向垂直，環流為 0。把法向改成內向，通量才會變號。

### 例題4 用散度和面通量互驗

F=(x,y,z)，在單位立方體上散度為 3，積分為 3。直接查面：x=1 面的外法向是 (1,0,0)，通量 1；x=0 面的對應分量為 0。y、z 各自同理，六面總通量 3。

## 10.3 練習

1. **B09-C10-Q01** γ(t)=(3t,4t)，0≤t≤1。沿曲線積標量 1。
2. **B09-C10-Q02** 反向走上一條線段，標量線積分會變負嗎？
3. **B09-C10-Q03** F=(1,2)，沿直線從 (0,0) 到 (3,1) 的做功？
4. **B09-C10-Q04** 把上題路徑反過來，結果為何？
5. **B09-C10-Q05** 對 F=(−2y,x)，求 Green 右側的被積函數。
6. **B09-C10-Q06** 上一向量場沿單位正方形逆時針的環流？
7. **B09-C10-Q07** F=(2x,0,z) 的散度，以及穿過單位立方體的外向總通量？
8. **B09-C10-Q08** Stokes 的曲面法向反轉時，邊界如何改？
9. **B09-C10-Q09** 已知一塊開放曲面的法向通量，能直接用散度定理把它當作某立體的總通量嗎？
10. **B09-C10-Q10** 沿正向單位圓，場 F=(x,y) 的做功型積分為何？

## 10.4 完整解答

### Q01

速度恆為 (3,4)，長 5。把 5 從 0 到 1 積得 5；這也是線段長度。

### Q02

不會。速度反向但長度不變，標量 f=1 仍沿同一批點累積，所以結果仍為 5。

### Q03

γ(t)=(3t,t)，0≤t≤1，內積 (1,2)·(3,1)=5。參數區間長度為 1，所以做功 5。

### Q04

速度可寫 (−3,−1)，場不變，內積 −3−2=−5。或用反向線積分變號。

### Q05

∂Q/∂x=1、∂P/∂y=−2，差為 3。不能將相減的順序顛倒。

### Q06

場是多項式，滿足光滑前提；正方形面積 1，Green 右側積常數 3，故環流 3。順時針則為 −3。

### Q07

散度是 2+0+1=3，場在整空間光滑。立方體體積為 1，散度定理給總通量 3。

### Q08

反轉曲面法向時，右手規則誘導的邊界方向也反轉，兩邊積分同時變號。以 z=0 的單位圓盤為例，取 F=(−y,x,0)，其旋度為 (0,0,2)。向上法向給逆時針圓周，兩邊積分都是 2π；向下法向給順時針圓周，兩邊都是 −2π。

### Q09

不能，散度定理要有封閉邊界。若能補面封閉並滿足光滑條件，須從總通量扣掉補面的通量，並用同一外向規則。

### Q10

參數 γ=(cos t,sin t)，F=γ，速度 γ′=(−sin t,cos t)。每點內積都是 −cos t sin t+sin t cos t=0，因此積分為 0。