# All Topological Orders, Source-Removal Traces and Explicit Cycles

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This question bank has corresponding bilingual step-by-step derivations. Source candidate and English ai_candidate states are retained. AI review, finite computation and Lean formal proof are labelled separately.

batch-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-foundations · 2026-10-15 · 100 questions

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Field order uses a source-bound presentation supplement; canonical JSONL and mathematical answers are unchanged.

[Field-order and source-binding data](https://ocme.evemisslab.com/data/i18n/question-output-protocols.json)



## 1. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



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## 2. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0002/)

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## 3. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0003/)

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## 4. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0004/)

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## 5. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



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## 6. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



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## 7. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



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## 8. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



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## 9. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



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## 10. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



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## 11. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0011/)

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## 12. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0012/)

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## 13. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



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## 14. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0014/)

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## 15. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0015/)

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## 16. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0016/)

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## 17. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0017/)

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## 18. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0018/)

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## 19. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0019/)

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## 20. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0020/)

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## 21. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0021/)

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## 22. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0022/)

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## 23. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0023/)

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## 24. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v4], 0, 4, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v4], 0, 4, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



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## 25. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0025/)

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## 26. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v4, v0, v1, v5], [v2, v3, v4, v0, v5, v1], [v2, v3, v4, v5, v0, v1], [v2, v3, v5, v0, v1, v4], [v2, v3, v5, v0, v4, v1], [v2, v3, v5, v4, v0, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v3, v0, v1, v5], [v2, v4, v3, v0, v5, v1], [v2, v4, v3, v5, v0, v1], [v2, v4, v5, v0, v1, v3], [v2, v4, v5, v0, v3, v1], [v2, v4, v5, v3, v0, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v3, v0, v1, v4], [v2, v5, v3, v0, v4, v1], [v2, v5, v3, v4, v0, v1], [v2, v5, v4, v0, v1, v3], [v2, v5, v4, v0, v3, v1], [v2, v5, v4, v3, v0, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v4, v0, v1, v5], [v3, v2, v4, v0, v5, v1], [v3, v2, v4, v5, v0, v1], [v3, v2, v5, v0, v1, v4], [v3, v2, v5, v0, v4, v1], [v3, v2, v5, v4, v0, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v2, v0, v1, v5], [v3, v4, v2, v0, v5, v1], [v3, v4, v2, v5, v0, v1], [v3, v4, v5, v0, v1, v2], [v3, v4, v5, v0, v2, v1], [v3, v4, v5, v2, v0, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v2, v0, v1, v4], [v3, v5, v2, v0, v4, v1], [v3, v5, v2, v4, v0, v1], [v3, v5, v4, v0, v1, v2], [v3, v5, v4, v0, v2, v1], [v3, v5, v4, v2, v0, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v3, v0, v1, v5], [v4, v2, v3, v0, v5, v1], [v4, v2, v3, v5, v0, v1], [v4, v2, v5, v0, v1, v3], [v4, v2, v5, v0, v3, v1], [v4, v2, v5, v3, v0, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v2, v0, v1, v5], [v4, v3, v2, v0, v5, v1], [v4, v3, v2, v5, v0, v1], [v4, v3, v5, v0, v1, v2], [v4, v3, v5, v0, v2, v1], [v4, v3, v5, v2, v0, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v2, v0, v1, v3], [v4, v5, v2, v0, v3, v1], [v4, v5, v2, v3, v0, v1], [v4, v5, v3, v0, v1, v2], [v4, v5, v3, v0, v2, v1], [v4, v5, v3, v2, v0, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v3, v0, v1, v4], [v5, v2, v3, v0, v4, v1], [v5, v2, v3, v4, v0, v1], [v5, v2, v4, v0, v1, v3], [v5, v2, v4, v0, v3, v1], [v5, v2, v4, v3, v0, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v2, v0, v1, v4], [v5, v3, v2, v0, v4, v1], [v5, v3, v2, v4, v0, v1], [v5, v3, v4, v0, v1, v2], [v5, v3, v4, v0, v2, v1], [v5, v3, v4, v2, v0, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v2, v0, v1, v3], [v5, v4, v2, v0, v3, v1], [v5, v4, v2, v3, v0, v1], [v5, v4, v3, v0, v1, v2], [v5, v4, v3, v0, v2, v1], [v5, v4, v3, v2, v0, v1]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v4, v0, v1, v5], [v2, v3, v4, v0, v5, v1], [v2, v3, v4, v5, v0, v1], [v2, v3, v5, v0, v1, v4], [v2, v3, v5, v0, v4, v1], [v2, v3, v5, v4, v0, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v3, v0, v1, v5], [v2, v4, v3, v0, v5, v1], [v2, v4, v3, v5, v0, v1], [v2, v4, v5, v0, v1, v3], [v2, v4, v5, v0, v3, v1], [v2, v4, v5, v3, v0, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v3, v0, v1, v4], [v2, v5, v3, v0, v4, v1], [v2, v5, v3, v4, v0, v1], [v2, v5, v4, v0, v1, v3], [v2, v5, v4, v0, v3, v1], [v2, v5, v4, v3, v0, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v4, v0, v1, v5], [v3, v2, v4, v0, v5, v1], [v3, v2, v4, v5, v0, v1], [v3, v2, v5, v0, v1, v4], [v3, v2, v5, v0, v4, v1], [v3, v2, v5, v4, v0, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v2, v0, v1, v5], [v3, v4, v2, v0, v5, v1], [v3, v4, v2, v5, v0, v1], [v3, v4, v5, v0, v1, v2], [v3, v4, v5, v0, v2, v1], [v3, v4, v5, v2, v0, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v2, v0, v1, v4], [v3, v5, v2, v0, v4, v1], [v3, v5, v2, v4, v0, v1], [v3, v5, v4, v0, v1, v2], [v3, v5, v4, v0, v2, v1], [v3, v5, v4, v2, v0, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v3, v0, v1, v5], [v4, v2, v3, v0, v5, v1], [v4, v2, v3, v5, v0, v1], [v4, v2, v5, v0, v1, v3], [v4, v2, v5, v0, v3, v1], [v4, v2, v5, v3, v0, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v2, v0, v1, v5], [v4, v3, v2, v0, v5, v1], [v4, v3, v2, v5, v0, v1], [v4, v3, v5, v0, v1, v2], [v4, v3, v5, v0, v2, v1], [v4, v3, v5, v2, v0, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v2, v0, v1, v3], [v4, v5, v2, v0, v3, v1], [v4, v5, v2, v3, v0, v1], [v4, v5, v3, v0, v1, v2], [v4, v5, v3, v0, v2, v1], [v4, v5, v3, v2, v0, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v3, v0, v1, v4], [v5, v2, v3, v0, v4, v1], [v5, v2, v3, v4, v0, v1], [v5, v2, v4, v0, v1, v3], [v5, v2, v4, v0, v3, v1], [v5, v2, v4, v3, v0, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v2, v0, v1, v4], [v5, v3, v2, v0, v4, v1], [v5, v3, v2, v4, v0, v1], [v5, v3, v4, v0, v1, v2], [v5, v3, v4, v0, v2, v1], [v5, v3, v4, v2, v0, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v2, v0, v1, v3], [v5, v4, v2, v0, v3, v1], [v5, v4, v2, v3, v0, v1], [v5, v4, v3, v0, v1, v2], [v5, v4, v3, v0, v2, v1], [v5, v4, v3, v2, v0, v1]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0026/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 27. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, 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[v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v1, v0, v2, v4], [v3, v5, v1, v0, v4, v2], [v3, v5, v1, v4, v0, v2], [v3, v5, v4, v0, v1, v2], [v3, v5, v4, v0, v2, v1], [v3, v5, v4, v1, v0, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v3, v0, v2, v5], [v4, v1, v3, v0, v5, v2], [v4, v1, v3, v5, v0, v2], [v4, v1, v5, v0, v2, v3], [v4, v1, v5, v0, v3, v2], [v4, v1, v5, v3, v0, v2], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v1, v0, v2, v5], [v4, v3, v1, v0, v5, v2], [v4, v3, v1, v5, v0, v2], [v4, v3, v5, v0, v1, v2], [v4, v3, v5, v0, v2, v1], [v4, v3, v5, v1, v0, v2], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v1, v0, v2, v3], [v4, v5, v1, v0, v3, v2], [v4, v5, v1, v3, v0, v2], [v4, v5, v3, v0, v1, v2], [v4, v5, v3, v0, v2, v1], [v4, v5, v3, v1, v0, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v3, v0, v2, v4], [v5, v1, v3, v0, v4, v2], [v5, v1, v3, v4, v0, v2], [v5, v1, v4, v0, v2, v3], [v5, v1, v4, v0, v3, v2], [v5, v1, v4, v3, v0, v2], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v1, v0, v2, v4], [v5, v3, v1, v0, v4, v2], [v5, v3, v1, v4, v0, v2], [v5, v3, v4, v0, v1, v2], [v5, v3, v4, v0, v2, v1], [v5, v3, v4, v1, v0, v2], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v1, v0, v2, v3], [v5, v4, v1, v0, v3, v2], [v5, v4, v1, v3, v0, v2], [v5, v4, v3, v0, v1, v2], [v5, v4, v3, v0, v2, v1], [v5, v4, v3, v1, v0, v2]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v4, v0, v2, v5], [v1, v3, v4, v0, v5, v2], [v1, v3, v4, v5, v0, v2], [v1, v3, v5, v0, v2, v4], [v1, v3, v5, v0, v4, v2], [v1, v3, v5, v4, v0, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v3, v0, v2, v5], [v1, v4, v3, v0, v5, v2], [v1, v4, v3, v5, v0, v2], [v1, v4, v5, v0, v2, v3], [v1, v4, v5, v0, v3, v2], [v1, v4, v5, v3, v0, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v3, v0, v2, v4], [v1, v5, v3, v0, v4, v2], [v1, v5, v3, v4, v0, v2], [v1, v5, v4, v0, v2, v3], [v1, v5, v4, v0, v3, v2], [v1, v5, v4, v3, v0, v2], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v4, v0, v2, v5], [v3, v1, v4, v0, v5, v2], [v3, v1, v4, v5, v0, v2], [v3, v1, v5, v0, v2, v4], [v3, v1, v5, v0, v4, v2], [v3, v1, v5, v4, v0, v2], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v1, v0, v2, v5], [v3, v4, v1, v0, v5, v2], [v3, v4, v1, v5, v0, v2], [v3, v4, v5, v0, v1, v2], [v3, v4, v5, v0, v2, v1], [v3, v4, v5, v1, v0, v2], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v1, v0, v2, v4], [v3, v5, v1, v0, v4, v2], [v3, v5, v1, v4, v0, v2], [v3, v5, v4, v0, v1, v2], [v3, v5, v4, v0, v2, v1], [v3, v5, v4, v1, v0, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v3, v0, v2, v5], [v4, v1, v3, v0, v5, v2], [v4, v1, v3, v5, v0, v2], [v4, v1, v5, v0, v2, v3], [v4, v1, v5, v0, v3, v2], [v4, v1, v5, v3, v0, v2], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v1, v0, v2, v5], [v4, v3, v1, v0, v5, v2], [v4, v3, v1, v5, v0, v2], [v4, v3, v5, v0, v1, v2], [v4, v3, v5, v0, v2, v1], [v4, v3, v5, v1, v0, v2], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v1, v0, v2, v3], [v4, v5, v1, v0, v3, v2], [v4, v5, v1, v3, v0, v2], [v4, v5, v3, v0, v1, v2], [v4, v5, v3, v0, v2, v1], [v4, v5, v3, v1, v0, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v3, v0, v2, v4], [v5, v1, v3, v0, v4, v2], [v5, v1, v3, v4, v0, v2], [v5, v1, v4, v0, v2, v3], [v5, v1, v4, v0, v3, v2], [v5, v1, v4, v3, v0, v2], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v1, v0, v2, v4], [v5, v3, v1, v0, v4, v2], [v5, v3, v1, v4, v0, v2], [v5, v3, v4, v0, v1, v2], [v5, v3, v4, v0, v2, v1], [v5, v3, v4, v1, v0, v2], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v1, v0, v2, v3], [v5, v4, v1, v0, v3, v2], [v5, v4, v1, v3, v0, v2], [v5, v4, v3, v0, v1, v2], [v5, v4, v3, v0, v2, v1], [v5, v4, v3, v1, v0, v2]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0027/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 28. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, 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v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v5, v0, v1, v2], [v3, v4, v5, v0, v2, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v4, v0, v1, v2], [v3, v5, v4, v0, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v5, v0, v1, v2], [v4, v3, v5, v0, v2, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v3, v0, v1, v2], [v4, v5, v3, v0, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v4, v0, v1, v2], [v5, v3, v4, v0, v2, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v3, v0, v1, v2], [v5, v4, v3, v0, v2, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v5, v0, v1, v2], [v3, v4, v5, v0, v2, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v4, v0, v1, v2], [v3, v5, v4, v0, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v5, v0, v1, v2], [v4, v3, v5, v0, v2, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v3, v0, v1, v2], [v4, v5, v3, v0, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v4, v0, v1, v2], [v5, v3, v4, v0, v2, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v3, v0, v1, v2], [v5, v4, v3, v0, v2, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0028/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 29. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v4, v0, v3, v5], [v1, v2, v4, v0, v5, v3], [v1, v2, v4, v5, v0, v3], [v1, v2, v5, v0, v3, v4], [v1, v2, v5, v0, v4, v3], [v1, v2, v5, v4, v0, v3], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v2, v0, v3, v5], [v1, v4, v2, v0, v5, v3], [v1, v4, v2, v5, v0, v3], [v1, v4, v5, v0, v2, v3], [v1, v4, v5, v0, v3, v2], [v1, v4, v5, v2, v0, v3], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v2, v0, v3, v4], [v1, v5, v2, v0, v4, v3], [v1, v5, v2, v4, v0, v3], [v1, v5, v4, v0, v2, v3], [v1, v5, v4, v0, v3, v2], [v1, v5, v4, v2, v0, v3], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v4, v0, v3, v5], [v2, v1, v4, v0, v5, v3], [v2, v1, v4, v5, v0, v3], [v2, v1, v5, v0, v3, v4], [v2, v1, v5, v0, v4, v3], [v2, v1, v5, v4, v0, v3], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v1, v0, v3, v5], [v2, v4, v1, v0, v5, v3], [v2, v4, v1, v5, v0, v3], [v2, v4, v5, v0, v1, v3], [v2, v4, v5, v0, v3, v1], [v2, v4, v5, v1, v0, v3], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v1, v0, v3, v4], [v2, v5, v1, v0, v4, v3], [v2, v5, v1, v4, v0, v3], [v2, v5, v4, v0, v1, v3], [v2, v5, v4, v0, v3, v1], [v2, v5, v4, v1, v0, v3], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v2, v0, v3, v5], [v4, v1, v2, v0, v5, v3], [v4, v1, v2, v5, v0, v3], [v4, v1, v5, v0, v2, v3], [v4, v1, v5, v0, v3, v2], [v4, v1, v5, v2, v0, v3], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v1, v0, v3, v5], [v4, v2, v1, v0, v5, v3], [v4, v2, v1, v5, v0, v3], [v4, v2, v5, v0, v1, v3], [v4, v2, v5, v0, v3, v1], [v4, v2, v5, v1, v0, v3], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v1, v0, v2, v3], [v4, v5, v1, v0, v3, v2], [v4, v5, v1, v2, v0, v3], [v4, v5, v2, v0, v1, v3], [v4, v5, v2, v0, v3, v1], [v4, v5, v2, v1, v0, v3], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v2, v0, v3, v4], [v5, v1, v2, v0, v4, v3], [v5, v1, v2, v4, v0, v3], [v5, v1, v4, v0, v2, v3], [v5, v1, v4, v0, v3, v2], [v5, v1, v4, v2, v0, v3], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v1, v0, v3, v4], [v5, v2, v1, v0, v4, v3], [v5, v2, v1, v4, v0, v3], [v5, v2, v4, v0, v1, v3], [v5, v2, v4, v0, v3, v1], [v5, v2, v4, v1, v0, v3], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v1, v0, v2, v3], [v5, v4, v1, v0, v3, v2], [v5, v4, v1, v2, v0, v3], [v5, v4, v2, v0, v1, v3], [v5, v4, v2, v0, v3, v1], [v5, v4, v2, v1, v0, v3]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v4, v0, v3, v5], [v1, v2, v4, v0, v5, v3], [v1, v2, v4, v5, v0, v3], [v1, v2, v5, v0, v3, v4], [v1, v2, v5, v0, v4, v3], [v1, v2, v5, v4, v0, v3], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v2, v0, v3, v5], [v1, v4, v2, v0, v5, v3], [v1, v4, v2, v5, v0, v3], [v1, v4, v5, v0, v2, v3], [v1, v4, v5, v0, v3, v2], [v1, v4, v5, v2, v0, v3], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v2, v0, v3, v4], [v1, v5, v2, v0, v4, v3], [v1, v5, v2, v4, v0, v3], [v1, v5, v4, v0, v2, v3], [v1, v5, v4, v0, v3, v2], [v1, v5, v4, v2, v0, v3], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v4, v0, v3, v5], [v2, v1, v4, v0, v5, v3], [v2, v1, v4, v5, v0, v3], [v2, v1, v5, v0, v3, v4], [v2, v1, v5, v0, v4, v3], [v2, v1, v5, v4, v0, v3], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v1, v0, v3, v5], [v2, v4, v1, v0, v5, v3], [v2, v4, v1, v5, v0, v3], [v2, v4, v5, v0, v1, v3], [v2, v4, v5, v0, v3, v1], [v2, v4, v5, v1, v0, v3], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v1, v0, v3, v4], [v2, v5, v1, v0, v4, v3], [v2, v5, v1, v4, v0, v3], [v2, v5, v4, v0, v1, v3], [v2, v5, v4, v0, v3, v1], [v2, v5, v4, v1, v0, v3], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v2, v0, v3, v5], [v4, v1, v2, v0, v5, v3], [v4, v1, v2, v5, v0, v3], [v4, v1, v5, v0, v2, v3], [v4, v1, v5, v0, v3, v2], [v4, v1, v5, v2, v0, v3], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v1, v0, v3, v5], [v4, v2, v1, v0, v5, v3], [v4, v2, v1, v5, v0, v3], [v4, v2, v5, v0, v1, v3], [v4, v2, v5, v0, v3, v1], [v4, v2, v5, v1, v0, v3], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v1, v0, v2, v3], [v4, v5, v1, v0, v3, v2], [v4, v5, v1, v2, v0, v3], [v4, v5, v2, v0, v1, v3], [v4, v5, v2, v0, v3, v1], [v4, v5, v2, v1, v0, v3], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v2, v0, v3, v4], [v5, v1, v2, v0, v4, v3], [v5, v1, v2, v4, v0, v3], [v5, v1, v4, v0, v2, v3], [v5, v1, v4, v0, v3, v2], [v5, v1, v4, v2, v0, v3], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v1, v0, v3, v4], [v5, v2, v1, v0, v4, v3], [v5, v2, v1, v4, v0, v3], [v5, v2, v4, v0, v1, v3], [v5, v2, v4, v0, v3, v1], [v5, v2, v4, v1, v0, v3], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v1, v0, v2, v3], [v5, v4, v1, v0, v3, v2], [v5, v4, v1, v2, v0, v3], [v5, v4, v2, v0, v1, v3], [v5, v4, v2, v0, v3, v1], [v5, v4, v2, v1, v0, v3]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0029/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 30. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v5, v0, v1, v3], [v2, v4, v5, v0, v3, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v4, v0, v1, v3], [v2, v5, v4, v0, v3, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v5, v0, v1, v3], [v4, v2, v5, v0, v3, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v2, v0, v1, v3], [v4, v5, v2, v0, v3, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v4, v0, v1, v3], [v5, v2, v4, v0, v3, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v2, v0, v1, v3], [v5, v4, v2, v0, v3, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v5, v0, v1, v3], [v2, v4, v5, v0, v3, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v4, v0, v1, v3], [v2, v5, v4, v0, v3, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v5, v0, v1, v3], [v4, v2, v5, v0, v3, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v2, v0, v1, v3], [v4, v5, v2, v0, v3, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v4, v0, v1, v3], [v5, v2, v4, v0, v3, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v2, v0, v1, v3], [v5, v4, v2, v0, v3, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0030/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 31. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v5, v0, v2, v3], [v1, v4, v5, v0, v3, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v4, v0, v2, v3], [v1, v5, v4, v0, v3, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v5, v0, v2, v3], [v4, v1, v5, v0, v3, v2], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v1, v0, v2, v3], [v4, v5, v1, v0, v3, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v4, v0, v2, v3], [v5, v1, v4, v0, v3, v2], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v1, v0, v2, v3], [v5, v4, v1, v0, v3, v2]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v5, v0, v2, v3], [v1, v4, v5, v0, v3, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v4, v0, v2, v3], [v1, v5, v4, v0, v3, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v5, v0, v2, v3], [v4, v1, v5, v0, v3, v2], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v1, v0, v2, v3], [v4, v5, v1, v0, v3, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v4, v0, v2, v3], [v5, v1, v4, v0, v3, v2], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v1, v0, v2, v3], [v5, v4, v1, v0, v3, v2]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0031/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 32. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0032/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 33. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, 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v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v3, v0, v4, v5], [v2, v1, v3, v0, v5, v4], [v2, v1, v3, v5, v0, v4], [v2, v1, v5, v0, v3, v4], [v2, v1, v5, v0, v4, v3], [v2, v1, v5, v3, v0, v4], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v1, v0, v4, v5], [v2, v3, v1, v0, v5, v4], [v2, v3, v1, v5, v0, v4], [v2, v3, v5, v0, v1, v4], [v2, v3, v5, v0, v4, v1], [v2, v3, v5, v1, v0, v4], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v1, v0, v3, v4], [v2, v5, v1, v0, v4, v3], [v2, v5, v1, v3, v0, v4], [v2, v5, v3, v0, v1, v4], [v2, v5, v3, v0, v4, v1], [v2, v5, v3, v1, v0, v4], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v2, v0, v4, v5], [v3, v1, v2, v0, v5, v4], [v3, v1, v2, v5, v0, v4], [v3, v1, v5, v0, v2, v4], [v3, v1, v5, v0, v4, v2], [v3, v1, v5, v2, v0, v4], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v1, v0, v4, v5], [v3, v2, v1, v0, v5, v4], [v3, v2, v1, v5, v0, v4], [v3, v2, v5, v0, v1, v4], [v3, v2, v5, v0, v4, v1], [v3, v2, v5, v1, v0, v4], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v1, v0, v2, v4], [v3, v5, v1, v0, v4, v2], [v3, v5, v1, v2, v0, v4], [v3, v5, v2, v0, v1, v4], [v3, v5, v2, v0, v4, v1], [v3, v5, v2, v1, v0, v4], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v2, v0, v3, v4], [v5, v1, v2, v0, v4, v3], [v5, v1, v2, v3, v0, v4], [v5, v1, v3, v0, v2, v4], [v5, v1, v3, v0, v4, v2], [v5, v1, v3, v2, v0, v4], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v1, v0, v3, v4], [v5, v2, v1, v0, v4, v3], [v5, v2, v1, v3, v0, v4], [v5, v2, v3, v0, v1, v4], [v5, v2, v3, v0, v4, v1], [v5, v2, v3, v1, v0, v4], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v1, v0, v2, v4], [v5, v3, v1, v0, v4, v2], [v5, v3, v1, v2, v0, v4], [v5, v3, v2, v0, v1, v4], [v5, v3, v2, v0, v4, v1], [v5, v3, v2, v1, v0, v4]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v3, v0, v4, v5], [v1, v2, v3, v0, v5, v4], [v1, v2, v3, v5, v0, v4], [v1, v2, v5, v0, v3, v4], [v1, v2, v5, v0, v4, v3], [v1, v2, v5, v3, v0, v4], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v2, v0, v4, v5], [v1, v3, v2, v0, v5, v4], [v1, v3, v2, v5, v0, v4], [v1, v3, v5, v0, v2, v4], [v1, v3, v5, v0, v4, v2], [v1, v3, v5, v2, v0, v4], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v2, v0, v3, v4], [v1, v5, v2, v0, v4, v3], [v1, v5, v2, v3, v0, v4], [v1, v5, v3, v0, v2, v4], [v1, v5, v3, v0, v4, v2], [v1, v5, v3, v2, v0, v4], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v3, v0, v4, v5], [v2, v1, v3, v0, v5, v4], [v2, v1, v3, v5, v0, v4], [v2, v1, v5, v0, v3, v4], [v2, v1, v5, v0, v4, v3], [v2, v1, v5, v3, v0, v4], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v1, v0, v4, v5], [v2, v3, v1, v0, v5, v4], [v2, v3, v1, v5, v0, v4], [v2, v3, v5, v0, v1, v4], [v2, v3, v5, v0, v4, v1], [v2, v3, v5, v1, v0, v4], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v1, v0, v3, v4], [v2, v5, v1, v0, v4, v3], [v2, v5, v1, v3, v0, v4], [v2, v5, v3, v0, v1, v4], [v2, v5, v3, v0, v4, v1], [v2, v5, v3, v1, v0, v4], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v2, v0, v4, v5], [v3, v1, v2, v0, v5, v4], [v3, v1, v2, v5, v0, v4], [v3, v1, v5, v0, v2, v4], [v3, v1, v5, v0, v4, v2], [v3, v1, v5, v2, v0, v4], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v1, v0, v4, v5], [v3, v2, v1, v0, v5, v4], [v3, v2, v1, v5, v0, v4], [v3, v2, v5, v0, v1, v4], [v3, v2, v5, v0, v4, v1], [v3, v2, v5, v1, v0, v4], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v1, v0, v2, v4], [v3, v5, v1, v0, v4, v2], [v3, v5, v1, v2, v0, v4], [v3, v5, v2, v0, v1, v4], [v3, v5, v2, v0, v4, v1], [v3, v5, v2, v1, v0, v4], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v2, v0, v3, v4], [v5, v1, v2, v0, v4, v3], [v5, v1, v2, v3, v0, v4], [v5, v1, v3, v0, v2, v4], [v5, v1, v3, v0, v4, v2], [v5, v1, v3, v2, v0, v4], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v1, v0, v3, v4], [v5, v2, v1, v0, v4, v3], [v5, v2, v1, v3, v0, v4], [v5, v2, v3, v0, v1, v4], [v5, v2, v3, v0, v4, v1], [v5, v2, v3, v1, v0, v4], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v1, v0, v2, v4], [v5, v3, v1, v0, v4, v2], [v5, v3, v1, v2, v0, v4], [v5, v3, v2, v0, v1, v4], [v5, v3, v2, v0, v4, v1], [v5, v3, v2, v1, v0, v4]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0033/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 34. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, 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v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v5, v0, v1, v4], [v2, v3, v5, v0, v4, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v3, v0, v1, v4], [v2, v5, v3, v0, v4, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v5, v0, v1, v4], [v3, v2, v5, v0, v4, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v2, v0, v1, v4], [v3, v5, v2, v0, v4, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v3, v0, v1, v4], [v5, v2, v3, v0, v4, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v2, v0, v1, v4], [v5, v3, v2, v0, v4, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v5, v0, v1, v4], [v2, v3, v5, v0, v4, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v3, v0, v1, v4], [v2, v5, v3, v0, v4, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v5, v0, v1, v4], [v3, v2, v5, v0, v4, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v2, v0, v1, v4], [v3, v5, v2, v0, v4, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v3, v0, v1, v4], [v5, v2, v3, v0, v4, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v2, v0, v1, v4], [v5, v3, v2, v0, v4, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0034/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 35. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v5, v0, v2, v4], [v1, v3, v5, v0, v4, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v3, v0, v2, v4], [v1, v5, v3, v0, v4, v2], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v5, v0, v2, v4], [v3, v1, v5, v0, v4, v2], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v1, v0, v2, v4], [v3, v5, v1, v0, v4, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v3, v0, v2, v4], [v5, v1, v3, v0, v4, v2], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v1, v0, v2, v4], [v5, v3, v1, v0, v4, v2]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v5, v0, v2, v4], [v1, v3, v5, v0, v4, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v3, v0, v2, v4], [v1, v5, v3, v0, v4, v2], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v5, v0, v2, v4], [v3, v1, v5, v0, v4, v2], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v1, v0, v2, v4], [v3, v5, v1, v0, v4, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v3, v0, v2, v4], [v5, v1, v3, v0, v4, v2], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v1, v0, v2, v4], [v5, v3, v1, v0, v4, v2]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0035/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 36. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0036/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 37. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, 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v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v5, v0, v3, v4], [v1, v2, v5, v0, v4, v3], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v2, v0, v3, v4], [v1, v5, v2, v0, v4, v3], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v5, v0, v3, v4], [v2, v1, v5, v0, v4, v3], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v1, v0, v3, v4], [v2, v5, v1, v0, v4, v3], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v2, v0, v3, v4], [v5, v1, v2, v0, v4, v3], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v1, v0, v3, v4], [v5, v2, v1, v0, v4, v3]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v5, v0, v3, v4], [v1, v2, v5, v0, v4, v3], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v2, v0, v3, v4], [v1, v5, v2, v0, v4, v3], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v5, v0, v3, v4], [v2, v1, v5, v0, v4, v3], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v1, v0, v3, v4], [v2, v5, v1, v0, v4, v3], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v2, v0, v3, v4], [v5, v1, v2, v0, v4, v3], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v1, v0, v3, v4], [v5, v2, v1, v0, v4, v3]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0037/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 38. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0038/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 39. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0039/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 40. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1]], 144, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1]], 144, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0040/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 41. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v3, v0, v4, v5], [v1, v2, v3, v0, v5, v4], [v1, v2, v3, v4, v0, v5], [v1, v2, v4, v0, v3, v5], [v1, v2, v4, v0, v5, v3], [v1, v2, v4, v3, v0, v5], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v2, v0, v4, v5], [v1, v3, v2, v0, v5, v4], [v1, v3, v2, v4, v0, v5], [v1, v3, v4, v0, v2, v5], [v1, v3, v4, v0, v5, v2], [v1, v3, v4, v2, v0, v5], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v2, v0, v3, v5], [v1, v4, v2, v0, v5, v3], [v1, v4, v2, v3, v0, v5], [v1, v4, v3, v0, v2, v5], [v1, v4, v3, v0, v5, v2], [v1, v4, v3, v2, v0, v5], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v3, v0, v4, v5], [v2, v1, v3, v0, v5, v4], [v2, v1, v3, v4, v0, v5], [v2, v1, v4, v0, v3, v5], [v2, v1, v4, v0, v5, v3], [v2, v1, v4, v3, v0, v5], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v1, v0, v4, v5], [v2, v3, v1, v0, v5, v4], [v2, v3, v1, v4, v0, v5], [v2, v3, v4, v0, v1, v5], [v2, v3, v4, v0, v5, v1], [v2, v3, v4, v1, v0, v5], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v1, v0, v3, v5], [v2, v4, v1, v0, v5, v3], [v2, v4, v1, v3, v0, v5], [v2, v4, v3, v0, v1, v5], [v2, v4, v3, v0, v5, v1], [v2, v4, v3, v1, v0, v5], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v2, v0, v4, v5], [v3, v1, v2, v0, v5, v4], [v3, v1, v2, v4, v0, v5], [v3, v1, v4, v0, v2, v5], [v3, v1, v4, v0, v5, v2], [v3, v1, v4, v2, v0, v5], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v1, v0, v4, v5], [v3, v2, v1, v0, v5, v4], [v3, v2, v1, v4, v0, v5], [v3, v2, v4, v0, v1, v5], [v3, v2, v4, v0, v5, v1], [v3, v2, v4, v1, v0, v5], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v1, v0, v2, v5], [v3, v4, v1, v0, v5, v2], [v3, v4, v1, v2, v0, v5], [v3, v4, v2, v0, v1, v5], [v3, v4, v2, v0, v5, v1], [v3, v4, v2, v1, v0, v5], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v2, v0, v3, v5], [v4, v1, v2, v0, v5, v3], [v4, v1, v2, v3, v0, v5], [v4, v1, v3, v0, v2, v5], [v4, v1, v3, v0, v5, v2], [v4, v1, v3, v2, v0, v5], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v1, v0, v3, v5], [v4, v2, v1, v0, v5, v3], [v4, v2, v1, v3, v0, v5], [v4, v2, v3, v0, v1, v5], [v4, v2, v3, v0, v5, v1], [v4, v2, v3, v1, v0, v5], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v1, v0, v2, v5], [v4, v3, v1, v0, v5, v2], [v4, v3, v1, v2, v0, v5], [v4, v3, v2, v0, v1, v5], [v4, v3, v2, v0, v5, v1], [v4, v3, v2, v1, v0, v5]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v3, v0, v4, v5], [v1, v2, v3, v0, v5, v4], [v1, v2, v3, v4, v0, v5], [v1, v2, v4, v0, v3, v5], [v1, v2, v4, v0, v5, v3], [v1, v2, v4, v3, v0, v5], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v2, v0, v4, v5], [v1, v3, v2, v0, v5, v4], [v1, v3, v2, v4, v0, v5], [v1, v3, v4, v0, v2, v5], [v1, v3, v4, v0, v5, v2], [v1, v3, v4, v2, v0, v5], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v2, v0, v3, v5], [v1, v4, v2, v0, v5, v3], [v1, v4, v2, v3, v0, v5], [v1, v4, v3, v0, v2, v5], [v1, v4, v3, v0, v5, v2], [v1, v4, v3, v2, v0, v5], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v3, v0, v4, v5], [v2, v1, v3, v0, v5, v4], [v2, v1, v3, v4, v0, v5], [v2, v1, v4, v0, v3, v5], [v2, v1, v4, v0, v5, v3], [v2, v1, v4, v3, v0, v5], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v1, v0, v4, v5], [v2, v3, v1, v0, v5, v4], [v2, v3, v1, v4, v0, v5], [v2, v3, v4, v0, v1, v5], [v2, v3, v4, v0, v5, v1], [v2, v3, v4, v1, v0, v5], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v1, v0, v3, v5], [v2, v4, v1, v0, v5, v3], [v2, v4, v1, v3, v0, v5], [v2, v4, v3, v0, v1, v5], [v2, v4, v3, v0, v5, v1], [v2, v4, v3, v1, v0, v5], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v2, v0, v4, v5], [v3, v1, v2, v0, v5, v4], [v3, v1, v2, v4, v0, v5], [v3, v1, v4, v0, v2, v5], [v3, v1, v4, v0, v5, v2], [v3, v1, v4, v2, v0, v5], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v1, v0, v4, v5], [v3, v2, v1, v0, v5, v4], [v3, v2, v1, v4, v0, v5], [v3, v2, v4, v0, v1, v5], [v3, v2, v4, v0, v5, v1], [v3, v2, v4, v1, v0, v5], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v1, v0, v2, v5], [v3, v4, v1, v0, v5, v2], [v3, v4, v1, v2, v0, v5], [v3, v4, v2, v0, v1, v5], [v3, v4, v2, v0, v5, v1], [v3, v4, v2, v1, v0, v5], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v2, v0, v3, v5], [v4, v1, v2, v0, v5, v3], [v4, v1, v2, v3, v0, v5], [v4, v1, v3, v0, v2, v5], [v4, v1, v3, v0, v5, v2], [v4, v1, v3, v2, v0, v5], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v1, v0, v3, v5], [v4, v2, v1, v0, v5, v3], [v4, v2, v1, v3, v0, v5], [v4, v2, v3, v0, v1, v5], [v4, v2, v3, v0, v5, v1], [v4, v2, v3, v1, v0, v5], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v1, v0, v2, v5], [v4, v3, v1, v0, v5, v2], [v4, v3, v1, v2, v0, v5], [v4, v3, v2, v0, v1, v5], [v4, v3, v2, v0, v5, v1], [v4, v3, v2, v1, v0, v5]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0041/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 42. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, 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v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v4, v0, v1, v5], [v2, v3, v4, v0, v5, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v3, v0, v1, v5], [v2, v4, v3, v0, v5, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v4, v0, v1, v5], [v3, v2, v4, v0, v5, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v2, v0, v1, v5], [v3, v4, v2, v0, v5, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v3, v0, v1, v5], [v4, v2, v3, v0, v5, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v2, v0, v1, v5], [v4, v3, v2, v0, v5, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v4, v0, v1, v5], [v2, v3, v4, v0, v5, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v3, v0, v1, v5], [v2, v4, v3, v0, v5, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v4, v0, v1, v5], [v3, v2, v4, v0, v5, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v2, v0, v1, v5], [v3, v4, v2, v0, v5, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v3, v0, v1, v5], [v4, v2, v3, v0, v5, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v2, v0, v1, v5], [v4, v3, v2, v0, v5, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0042/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 43. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v4, v0, v2, v5], [v1, v3, v4, v0, v5, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v3, v0, v2, v5], [v1, v4, v3, v0, v5, v2], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v4, v0, v2, v5], [v3, v1, v4, v0, v5, v2], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v1, v0, v2, v5], [v3, v4, v1, v0, v5, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v3, v0, v2, v5], [v4, v1, v3, v0, v5, v2], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v1, v0, v2, v5], [v4, v3, v1, v0, v5, v2]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v4, v0, v2, v5], [v1, v3, v4, v0, v5, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v3, v0, v2, v5], [v1, v4, v3, v0, v5, v2], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v4, v0, v2, v5], [v3, v1, v4, v0, v5, v2], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v1, v0, v2, v5], [v3, v4, v1, v0, v5, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v3, v0, v2, v5], [v4, v1, v3, v0, v5, v2], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v1, v0, v2, v5], [v4, v3, v1, v0, v5, v2]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0043/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 44. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0044/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 45. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, 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v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v4, v0, v3, v5], [v1, v2, v4, v0, v5, v3], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v2, v0, v3, v5], [v1, v4, v2, v0, v5, v3], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v4, v0, v3, v5], [v2, v1, v4, v0, v5, v3], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v1, v0, v3, v5], [v2, v4, v1, v0, v5, v3], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v2, v0, v3, v5], [v4, v1, v2, v0, v5, v3], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v1, v0, v3, v5], [v4, v2, v1, v0, v5, v3]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v4, v0, v3, v5], [v1, v2, v4, v0, v5, v3], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v2, v0, v3, v5], [v1, v4, v2, v0, v5, v3], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v4, v0, v3, v5], [v2, v1, v4, v0, v5, v3], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v1, v0, v3, v5], [v2, v4, v1, v0, v5, v3], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v2, v0, v3, v5], [v4, v1, v2, v0, v5, v3], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v1, v0, v3, v5], [v4, v2, v1, v0, v5, v3]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0045/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 46. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0046/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 47. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0047/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 48. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1]], 144, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1]], 144, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0048/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 49. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v4], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v3, v0, v4, v5], [v1, v2, v3, v0, v5, v4], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v2, v0, v4, v5], [v1, v3, v2, v0, v5, v4], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v3, v0, v4, v5], [v2, v1, v3, v0, v5, v4], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v1, v0, v4, v5], [v2, v3, v1, v0, v5, v4], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v2, v0, v4, v5], [v3, v1, v2, v0, v5, v4], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v1, v0, v4, v5], [v3, v2, v1, v0, v5, v4]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v4], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v3, v0, v4, v5], [v1, v2, v3, v0, v5, v4], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v2, v0, v4, v5], [v1, v3, v2, v0, v5, v4], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v3, v0, v4, v5], [v2, v1, v3, v0, v5, v4], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v1, v0, v4, v5], [v2, v3, v1, v0, v5, v4], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v2, v0, v4, v5], [v3, v1, v2, v0, v5, v4], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v1, v0, v4, v5], [v3, v2, v1, v0, v5, v4]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0049/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 50. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v4], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v4], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0050/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate





## 51. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0051/)

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate





## 52. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v3, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v3, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



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## 53. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v3, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v3, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0053/)

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## 54. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0054/)

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## 55. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0055/)

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## 56. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0056/)

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## 57. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0057/)

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## 58. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0058/)

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## 59. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0059/)

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## 60. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0060/)

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## 61. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0061/)

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## 62. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0062/)

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## 63. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



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## 64. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0064/)

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## 65. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0065/)

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## 66. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0066/)

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## 67. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0067/)

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## 68. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0068/)

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## 69. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0069/)

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## 70. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0070/)

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## 71. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0071/)

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## 72. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0072/)

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## 73. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0073/)

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## 74. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0074/)

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## 75. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0075/)

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## 76. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 77. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 78. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 79. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v5], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v5], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 80. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v5], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v5], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0080/)

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## 81. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0081/)

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## 82. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 83. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v4], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v4], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0083/)

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## 84. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v4], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v4], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 85. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 86. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 87. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3], v3]], [v0, v1, v2, v4, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3], v3]], [v0, v1, v2, v4, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 88. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3], v3]], [v0, v1, v2, v4, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3], v3]], [v0, v1, v2, v4, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 89. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v3], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 90. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 91. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 92. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0092/)

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## 93. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v3], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0093/)

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## 94. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v3], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0094/)

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## 95. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v4], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0095/)

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## 96. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v4], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0096/)

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## 97. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v3], [v0, v4], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0097/)

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## 98. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 99. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v5], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



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## 100. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v5], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).



[Reviewed step-by-step derivation](https://ocme.evemisslab.com/en/questions/q-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-0100/)

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[Canonical question JSONL](https://ocme.evemisslab.com/data/questions/batches/batch-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-foundations/questions.jsonl) · [English JSONL](https://ocme.evemisslab.com/data/i18n/questions/batch-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-foundations.en.jsonl) · [Validation report](https://ocme.evemisslab.com/data/questions/batches/batch-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-foundations/validation-report.json)