# 數學地圖

[目錄呈現與來源綁定資料](https://ocme.evemisslab.com/data/i18n/catalogue.en.json)



## [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)

用於計數與離散次序的基本數系。

atlas-natural-number · canonical_mko

[自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-natural-number/)

## 前置節點









## [整數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-integer/)

由自然數擴張得到，可表示正、負與零的數系。

atlas-integer · canonical_mko

[整數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-integer/)

## 前置節點


- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)







## [有理數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rational-number/)

可表示為兩個整數之比的數。

atlas-rational-number · canonical_mko

[有理數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-rational-number/)

## 前置節點


- [整數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-integer/)







## [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)

包含有理數與無理數，支撐連續量與實分析。

atlas-real-number · canonical_mko

[實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-number/)

## 前置節點


- [有理數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rational-number/)







## [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)

加、減、乘、除及其基本規則。

atlas-arithmetic-operations · canonical_mko

[四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-arithmetic-operations/)

## 前置節點


- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)







## [分數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-fraction/)

分數 p/q 是有理數的一種表示；分子與分母為整數，分母必須非零。

atlas-fraction · canonical_mko

[分數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fraction/)

## 前置節點


- [有理數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rational-number/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [比與比例](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-ratio-proportion/)

本條目把數值比 a:b 解讀為 a/b，把比例定義為兩個合法比值相等。

atlas-ratio-proportion · canonical_mko

[比與比例](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-ratio-proportion/)

## 前置節點


- [分數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-fraction/)







## [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)

本輪限定實數底數的自然數冪，以及非負實數的主平方根，分開冪運算、根值與解集。

atlas-power-root · canonical_mko

[自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-root/)

## 前置節點


- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)







## [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)

實數到零的非負距離，依正負號分段取 x 或 -x。

atlas-absolute-value · canonical_mko

[絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-value/)

## 前置節點


- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)

在實數論域比較大小；精確有理數交叉乘積、有限極值及含端點區間是本輪切片。

atlas-order-relation · canonical_mko

[實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-order-relation/)

## 前置節點


- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [有理數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rational-number/)







## [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)

把對象視為一個整體的基本數學結構。

atlas-set · canonical_mko

[集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-set/)

## 前置節點









## [集合隸屬](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-membership/)

描述元素是否屬於某個集合。

atlas-set-membership · canonical_mko

[集合隸屬](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-set-membership/)

## 前置節點


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)







## [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)

描述一個集合的每個元素都屬於另一集合。

atlas-subset · canonical_mko

[子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-subset/)

## 前置節點


- [集合隸屬](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-membership/)







## [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)

聯集、交集、差集與相對補集等集合操作。

atlas-set-operations · canonical_mko

[集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-set-operations/)

## 前置節點


- [集合隸屬](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-membership/)







## [命題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proposition/)

具有真值的數學陳述。

atlas-proposition · canonical_mko

[命題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-proposition/)

## 前置節點









## [邏輯連接詞](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-logical-connectives/)

否定、且、或、蘊涵與等價等命題組合方式。

atlas-logical-connectives · canonical_mko

[邏輯連接詞](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-logical-connectives/)

## 前置節點


- [命題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proposition/)







## [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)

全稱與存在量詞必須綁定論域；古典真值語義下，空論域的全稱為真、存在為假。

atlas-quantifier · canonical_mko

[量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quantifier/)

## 前置節點


- [命題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proposition/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)







## [數學證明](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proof/)

由明示前提與合法推理建立結論的過程。

atlas-proof · canonical_mko

[數學證明](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-proof/)

## 前置節點


- [邏輯連接詞](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-logical-connectives/)







## [反例與論域資格](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-counterexample/)

反例必須屬於被聲稱的論域且使全稱述詞失敗；域外值和找不到反例都不能自動證明原命題。

atlas-counterexample · canonical_mko

[反例與論域資格](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-counterexample/)

## 前置節點


- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)
- [數學證明](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proof/)







## [二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-relation/)

二元關係是指定 A×B 中有序對的集合，不要求每個輸入唯一或必有輸出。

atlas-relation · canonical_mko

[二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-relation/)

## 前置節點


- [集合隸屬](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-membership/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)







## [變數與代數式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variable-expression/)

以符號表示未知量與運算結構。

atlas-variable-expression · canonical_mko

[變數與代數式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variable-expression/)

## 前置節點


- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)

要求兩個代數表達式相等的條件。

atlas-equation · canonical_mko

[方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-equation/)

## 前置節點


- [變數與代數式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variable-expression/)







## [一元一次方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-equation/)

在明示數系中，具有一個未知數與非零一次係數的方程式。

atlas-linear-equation · canonical_mko

[一元一次方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-equation/)

## 前置節點


- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)







## [一元實二次方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quadratic-equation/)

對非零二次係數的實方程，用判別式區分實根數，將方程式、根集合與重根分開。

atlas-quadratic-equation · canonical_mko

[一元實二次方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-equation/)

## 前置節點


- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)
- [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-polynomial/)







## [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-polynomial/)

把多項式視為有限支撐的有理係數資料；合併同次項後再讀取係數與次數。

atlas-polynomial · canonical_mko

[一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial/)

## 前置節點


- [變數與代數式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variable-expression/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)
- [有理數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rational-number/)







## [有理係數多項式因式分解](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-factorization/)

因式分解是在指定係數域中把多項式寫成因子乘積；驗收比較全部係數而不是若干代入值。

atlas-factorization · canonical_mko

[有理係數多項式因式分解](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-factorization/)

## 前置節點


- [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-polynomial/)







## [二元聯立一次方程組與退化邊界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-system-linear-equations/)

同時滿足兩個實數線性限制才是解；非零行列式給唯一解，奇異與零列須另判一致性。

atlas-system-linear-equations · canonical_mko

[二元聯立一次方程組與退化邊界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-system-linear-equations/)

## 前置節點


- [一元一次方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-equation/)
- [固定基底下的平面向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector/)







## [固定基底下的平面向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector/)

本輪把平面向量限制為固定基底下的 R² 有序對，逐分量定義加法與純量乘法。

atlas-vector · canonical_mko

[固定基底下的平面向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-vector/)

## 前置節點


- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)
- [座標平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-coordinate-plane/)







## [有限矩陣的尺寸、索引與轉置](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-matrix/)

矩陣以行、列組織元素；本輪使用非空有限實矩陣及精確整數陣列切片。

atlas-matrix · canonical_mko

[有限矩陣的尺寸、索引與轉置](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-matrix/)

## 前置節點


- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)







## [矩陣表示的實平面線性映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-transformation/)

先在 R²→R² 的矩陣切片驗證加法與純量相容，不把帶非零平移的仿射式叫線性映射。

atlas-linear-transformation · canonical_mko

[矩陣表示的實平面線性映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-transformation/)

## 前置節點


- [有限矩陣的尺寸、索引與轉置](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-matrix/)
- [固定基底下的平面向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [實二階方陣的行列式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-determinant/)

2×2實矩陣的 ad−bc、非零行列式可逆性、乘積與純量縮放切片。

atlas-determinant · canonical_mko

[實二階方陣的行列式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-determinant/)

## 前置節點


- [有限矩陣的尺寸、索引與轉置](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-matrix/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)







## [實二階方陣的特徵值與非零特徵向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-eigenvalue/)

特徵向量須非零；候選特徵空間核含零向量，實二階矩陣可沒有實特徵值。

atlas-eigenvalue · canonical_mko

[實二階方陣的特徵值與非零特徵向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-eigenvalue/)

## 前置節點


- [矩陣表示的實平面線性映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-transformation/)
- [實二階方陣的行列式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-determinant/)
- [一元實二次方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quadratic-equation/)







## [點、直線與平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-point-line-plane/)

歐幾里得幾何中的基本位置與延伸對象。

atlas-point-line-plane · canonical_mko

[點、線、面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-point-line-plane/)

## 前置節點









## [角](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-angle/)

兩條射線或方向之間的轉動關係。

atlas-angle · canonical_mko

[角](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-angle/)

## 前置節點


- [點、直線與平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-point-line-plane/)







## [歐幾里得長度](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euclidean-length/)

平面或空間中兩點之間的距離量。

atlas-euclidean-length · canonical_mko

[歐幾里得長度](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-length/)

## 前置節點


- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [點、直線與平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-point-line-plane/)







## [三角形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-triangle/)

由三個不共線點及其連線形成的基本多邊形。

atlas-triangle · canonical_mko

[三角形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-triangle/)

## 前置節點


- [點、直線與平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-point-line-plane/)







## [直角三角形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-right-triangle/)

具有一個直角的三角形。

atlas-right-triangle · canonical_mko

[直角三角形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-right-triangle/)

## 前置節點


- [三角形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-triangle/)
- [角](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-angle/)







## [明示對應的非退化三角形全等](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-congruence/)

限定正交等單位平面中的標記非退化三角形，以三組對應邊長判全等，允許鏡射。

atlas-congruence · canonical_mko

[明示對應的非退化三角形全等](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-congruence/)

## 前置節點


- [三角形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-triangle/)
- [等單位正交座標的歐氏距離](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-distance-formula/)
- [實二階方陣的行列式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-determinant/)







## [正倍率的標記三角形相似切片](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-similarity/)

指定由A到B的正長度倍率 k，平方長度與指定面積以 k² 縮放，不把負座標係數當負長度倍率。

atlas-similarity · canonical_mko

[正倍率的標記三角形相似切片](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-similarity/)

## 前置節點


- [明示對應的非退化三角形全等](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-congruence/)
- [比與比例](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-ratio-proportion/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)







## [座標平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-coordinate-plane/)

固定原點、互相垂直的有向實數軸與单位後，平面點用有序實數對 (x,y) 表示。

atlas-coordinate-plane · canonical_mko

[座標平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-coordinate-plane/)

## 前置節點


- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [點、直線與平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-point-line-plane/)







## [等單位正交座標的歐氏距離](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-distance-formula/)

在同一等尺度正交座標系，用非負主平方根讀取二維歐氏距離。

atlas-distance-formula · canonical_mko

[等單位正交座標的歐氏距離](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-distance-formula/)

## 前置節點


- [座標平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-coordinate-plane/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)
- [歐幾里得長度](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euclidean-length/)







## [畢達哥拉斯定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-pythagorean-theorem/)

直角三角形兩股平方和等於斜邊平方。

atlas-pythagorean-theorem · canonical_mko

[畢達哥拉斯定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclid-pythagorean-theorem/)

## 前置節點


- [直角三角形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-right-triangle/)
- [歐幾里得長度](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euclidean-length/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)







## [圓的邊界與座標判定](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-circle/)

圓是到固定中心距離恰等於半徑的點集，不是含內部的圓盤。

atlas-circle · canonical_mko

[圓的邊界與座標判定](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-circle/)

## 前置節點


- [歐幾里得長度](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euclidean-length/)
- [點、直線與平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-point-line-plane/)
- [等單位正交座標的歐氏距離](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-distance-formula/)







## [平面座標的基本等距與均勻縮放](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-geometric-transformations/)

平移、原點逆時針四分之一圈的整數倍旋轉、指定軸鏡射是全平面等距；均勻縮放先分清零、±1與其他係數。

atlas-geometric-transformations · canonical_mko

[平面座標的基本等距與均勻縮放](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-geometric-transformations/)

## 前置節點


- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [座標平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-coordinate-plane/)
- [等單位正交座標的歐氏距離](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-distance-formula/)
- [正倍率的標記三角形相似切片](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-similarity/)







## [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)

把定義域中每個輸入指定到唯一輸出的映射。

atlas-function-mapping · canonical_mko

[函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/)

## 前置節點


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-relation/)







## [定義域、陪域與值域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-domain-codomain-range/)

總函數 f:A→B 的定義域是 A，陪域是 B，值域是實際取得的輸出集合 f[A]。

atlas-domain-codomain-range · canonical_mko

[定義域、陪域與值域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-domain-codomain-range/)

## 前置節點


- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)







## [實值函數圖形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-graph/)

固定直角座標系後，實值函數的圖形是全部合法輸入與其唯一輸出組成的有序對集合。

atlas-function-graph · canonical_mko

[實值函數圖形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-function-graph/)

## 前置節點


- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [座標平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-coordinate-plane/)







## [仿射函數與一次函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-function/)

實函數 f(x)=mx+b 稱仿射函數；m≠0 時為一次函數，m=0 時為常數函數。

atlas-linear-function · canonical_mko

[仿射函數與一次函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-function/)

## 前置節點


- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [一元一次方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-equation/)







## [頂點式二次函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quadratic-function/)

實數全論域的 q(x)=a(x−h)²+k、a≠0；頂點、全域極值與對稱點的明示切片。

atlas-quadratic-function · canonical_mko

[頂點式二次函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-function/)

## 前置節點


- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [一元實二次方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quadratic-equation/)







## [單射與不同輸入的辨識](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-injective/)

單射要求不同合法輸入不能有同一輸出，不要求覆蓋整個陪域。

atlas-injective · canonical_mko

[單射與不同輸入的辨識](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-injective/)

## 前置節點


- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [滿射與陪域覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-surjective/)

滿射要求陪域每個元素都有合法原像；相同輸出可以有多個原像。

atlas-surjective · canonical_mko

[滿射與陪域覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-surjective/)

## 前置節點


- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [雙射與唯一原像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-bijective/)

雙射同時單射與滿射，等價於陪域每個元素恰有一個合法原像。

atlas-bijective · canonical_mko

[雙射與唯一原像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bijective/)

## 前置節點


- [單射與不同輸入的辨識](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-injective/)
- [滿射與陪域覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-surjective/)







## [函數合成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-composition/)

合成 g∘f 先求 f 的輸出，再把它送入 g；合成前須確認中間值可作為 g 的輸入。

atlas-composition · canonical_mko

[函數合成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-composition/)

## 前置節點


- [定義域、陪域與值域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-domain-codomain-range/)







## [雙射的反函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-inverse-function/)

雙射 f:A→B 的反函數 g:B→A 須驗證兩個方向的還原，不能把交換資料當成無條件反函數。

atlas-inverse-function · canonical_mko

[雙射的反函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-inverse-function/)

## 前置節點


- [雙射與唯一原像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-bijective/)
- [函數合成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-composition/)
- [仿射函數與一次函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-function/)







## [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)

本條目採從 0 起始的實數數列 a:N→R；數列項依索引排列，不能任意重排成集合。

atlas-sequence · canonical_mko

[數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence/)

## 前置節點


- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)







## [趨近關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-tends-to-relation/)

描述變數、數列或函數朝目標狀態接近的核心關係。

atlas-tends-to-relation · canonical_mko

[趨近關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-tends-to-relation/)

## 前置節點


- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)







## [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence-limit/)

從0起算的實數列以任意精度、某一自然尾界及整個尾段定義極限；本輪精確處理倒數尾項模型。

atlas-sequence-limit · canonical_mko

[數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence-limit/)

## 前置節點


- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [趨近關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-tends-to-relation/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)
- [有理數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rational-number/)







## [去心實數論域的函數極限](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-limit/)

在a附近排除a本身，以ε-δ控制函數值；點值不屬於去心極限條件。

atlas-function-limit · canonical_mko

[去心實數論域的函數極限](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-function-limit/)

## 前置節點


- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [趨近關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-tends-to-relation/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)
- [有理係數多項式因式分解](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-factorization/)







## [實函數的點值與連續](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-continuity/)

在全實數論域連續需要點值存在且與兩側極限一致；補點與原函數連續不可混用。

atlas-continuity · canonical_mko

[實函數的點值與連續](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-continuity/)

## 前置節點


- [去心實數論域的函數極限](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-limit/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [兩點間的平均變化率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rate-of-change/)

平均變化率是輸出差除以非零輸入差，不是瞬時導數。

atlas-rate-of-change · canonical_mko

[兩點間的平均變化率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-rate-of-change/)

## 前置節點


- [比與比例](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-ratio-proportion/)
- [實值函數圖形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-graph/)
- [仿射函數與一次函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-function/)
- [頂點式二次函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quadratic-function/)







## [實函數在一點的導數與差商](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative/)

導數是非零步差商的兩側極限，不是任何一個有限步差商；絕對值尖點另保留不存在。

atlas-derivative · canonical_mko

[實函數在一點的導數與差商](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-derivative/)

## 前置節點


- [去心實數論域的函數極限](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-limit/)
- [兩點間的平均變化率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rate-of-change/)
- [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-polynomial/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)







## [多項式的和、乘積與合成微分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative-rules/)

四條微分規則先保留可微前提；本輪只在有限整數係數多項式上精確計算。

atlas-derivative-rules · canonical_mko

[多項式的和、乘積與合成微分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-derivative-rules/)

## 前置節點


- [實函數在一點的導數與差商](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative/)
- [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-polynomial/)
- [函數合成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-composition/)







## [多項式原函數與常數選擇](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-antiderivative/)

原函數須在宣告區間導回f；本輪全R多項式以常數項固定0的有理係數原函數作可重播代表。

atlas-antiderivative · canonical_mko

[多項式原函數與常數選擇](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-antiderivative/)

## 前置節點


- [實函數在一點的導數與差商](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative/)
- [多項式的和、乘積與合成微分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative-rules/)
- [有理數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rational-number/)







## [座標矩形與單位格的面積](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-area/)

先精確處理半開矩形及有限單位格聯集，含重疊、觸邊與空矩形；不冒充一般面積理論。

atlas-area · canonical_mko

[座標矩形與單位格的面積](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-area/)

## 前置節點


- [歐幾里得長度](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euclidean-length/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)
- [座標平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-coordinate-plane/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)







## [有限區間上的多項式定積分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-definite-integral/)

連續多項式的有向定積分與精確矩公式；有限左端黎曼和只是有限和，不冒充一般積分或微積分基本定理完成。

atlas-definite-integral · canonical_mko

[有限區間上的多項式定積分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-definite-integral/)

## 前置節點


- [去心實數論域的函數極限](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-limit/)
- [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-polynomial/)
- [多項式原函數與常數選擇](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-antiderivative/)
- [座標矩形與單位格的面積](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-area/)







## [微積分基本定理：連續前提與有向端點](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-fundamental-theorem-calculus/)

在全實數連續前提下，累積定積分的導數還原被積函數；合法原函數給有向積分端點差。

atlas-fundamental-theorem-calculus · canonical_mko

[微積分基本定理：連續前提與有向端點](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fundamental-theorem-calculus/)

## 前置節點


- [實函數在一點的導數與差商](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative/)
- [有限區間上的多項式定積分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-definite-integral/)
- [實函數的點值與連續](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-continuity/)
- [多項式原函數與常數選擇](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-antiderivative/)
- [多項式的和、乘積與合成微分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative-rules/)







## [樣本空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sample-space/)

隨機試驗所有可能結果的集合。

atlas-sample-space · canonical_mko

[樣本空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sample-space/)

## 前置節點


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)







## [事件](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-event/)

樣本空間中的結果集合。

atlas-event · canonical_mko

[事件](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-event/)

## 前置節點


- [樣本空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sample-space/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)







## [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)

在非空有限樣本空間上指定非負且總和為一的權重，事件機率為其成員權重之和。

atlas-probability · canonical_mko

[有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-probability/)

## 前置節點


- [事件](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-event/)
- [比與比例](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-ratio-proportion/)







## [有限模型的條件機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-conditional-probability/)

條件事件必須有正機率；有限模型中 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，方向不能任意交換。

atlas-conditional-probability · canonical_mko

[有限模型的條件機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-conditional-probability/)

## 前置節點


- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)







## [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)

有限模型中的隨機變數是基本結果到實數的總函數；它不是基本結果，也不是權重本身。

atlas-random-variable · canonical_mko

[有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-random-variable/)

## 前置節點


- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [樣本空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sample-space/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)







## [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)

有限期望是合法機率權重與隨機變數值的加權總和，線性性不要求獨立。

atlas-expectation · canonical_mko

[有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-expectation/)

## 前置節點


- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)







## [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variance/)

本輪變異數為 E[(X−E[X])²]，不是 n−1 分母的樣本變異數；零權重離群值不影響它。

atlas-variance · canonical_mko

[有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variance/)

## 前置節點


- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)







## [有限觀測列的描述統計](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-descriptive-statistics/)

保留重數的非空觀測列，精確計算均值、中位數、全距與所有最大頻率值。

atlas-descriptive-statistics · canonical_mko

[有限觀測列的描述統計](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-descriptive-statistics/)

## 前置節點


- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)
- [有理數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rational-number/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [基本計數原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-counting-principle/)

以加法與乘法原理計算有限選擇數量。

atlas-counting-principle · canonical_mko

[基本計數原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-counting-principle/)

## 前置節點


- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [階乘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-factorial/)

自然數到前 n 個正整數乘積的函數。

atlas-factorial · canonical_mko

[階乘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-factorial/)

## 前置節點


- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [排列與組合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-permutation-combination/)

由 n 個相異物件不重複取 k 個，有序選取是排列，無序選取是組合。

atlas-permutation-combination · canonical_mko

[排列與組合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-permutation-combination/)

## 前置節點


- [基本計數原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-counting-principle/)
- [階乘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-factorial/)







## [有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph/)

本輪限定有限簡單無向圖，邊是兩個相異頂點的無序集合，度數只計相鄰頂點。

atlas-graph · canonical_mko

[有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-graph/)

## 前置節點


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-relation/)







## [非空有限樹：連通、無環與唯一道路](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-tree/)

非空有限簡單無向圖同時連通且無環才是樹；保留單點、度1葉及加一條新邊的唯一環。

atlas-tree · canonical_mko

[非空有限樹：連通、無環與唯一道路](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-tree/)

## 前置節點


- [有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph/)







## [數學歸納法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mathematical-induction/)

以基礎情況與歸納步驟證明自然數族命題。

atlas-mathematical-induction · canonical_mko

[數學歸納法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mathematical-induction/)

## 前置節點


- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)
- [命題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proposition/)







## [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)

拓撲空間由底集合與一族開集組成；開集族包含空集與全空間，並對任意聯集與有限交封閉。

atlas-topological-space · canonical_mko

[拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-space/)

## 前置節點


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)







## [開集與閉集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-open-closed-set/)

在固定拓撲空間中，開集屬於拓撲；閉集的補集為開集，同一集合可以同時開且閉。

atlas-open-closed-set · canonical_mko

[開集與閉集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-open-closed-set/)

## 前置節點


- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)







## [鄰域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-neighborhood/)

集合 N 是點 x 的鄰域，當且僅當 N 包含某個含 x 的開集；N 本身不必開。

atlas-neighborhood · canonical_mko

[鄰域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-neighborhood/)

## 前置節點


- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)
- [開集與閉集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-open-closed-set/)
- [集合隸屬](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-membership/)







## [拓撲連續映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-continuity/)

拓撲映射連續，表示目標空間每個開集的逆像在來源空間仍是開集。

atlas-topological-continuity · canonical_mko

[拓撲連續映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-continuity/)

## 前置節點


- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)
- [開集與閉集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-open-closed-set/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-divisibility/)

自然數 a 整除 b，表示存在自然數乘數 k 使 b=a·k；零的兩側行為必須分開。

atlas-natural-divisibility · canonical_mko

[自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-natural-divisibility/)

## 前置節點


- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gcd-coprime/)

gcd(a,b) 是同時整除 a、b 且被每個公因數整除的自然數；gcd=1 時稱互質。

atlas-gcd-coprime · canonical_mko

[最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gcd-coprime/)

## 前置節點


- [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-divisibility/)







## [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-prime-number/)

自然數質數是大於或等於 2，且正因數只有 1 與自身的自然數。

atlas-prime-number · canonical_mko

[自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-prime-number/)

## 前置節點


- [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-divisibility/)







## [自然數模同餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-modular-congruence/)

固定正模數 n 時，a 與 b 模 n 同餘表示兩者除以 n 的餘數相同。

atlas-modular-congruence · canonical_mko

[自然數模同餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-modular-congruence/)

## 前置節點


- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [決定問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-decision-problem/)

決定問題由輸入集合 X 與 yes-instance 子集合 Y⊆X 指定；decider 必須對每個合法輸入終止並回傳正確布林答案。

atlas-decision-problem · canonical_mko

[決定問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-decision-problem/)

## 前置節點


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [命題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proposition/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [抽象計算模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-computational-model/)

有限狀態計算模型以狀態集、初始狀態集、步驟關係與停止狀態集描述可能執行。

atlas-computational-model · canonical_mko

[抽象計算模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-computational-model/)

## 前置節點


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-relation/)
- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)







## [算法正確性](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-algorithm-correctness/)

算法正確性分開部分正確性與終止性；總正確性需要兩者同時成立。

atlas-algorithm-correctness · canonical_mko

[算法正確性](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-algorithm-correctness/)

## 前置節點


- [抽象計算模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-computational-model/)
- [命題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proposition/)
- [數學證明](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proof/)







## [漸近資源界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-asymptotic-resource-bound/)

漸近上界、下界與緊界必須相對輸入大小、成本模型及全尾段量化定義。

atlas-asymptotic-resource-bound · canonical_mko

[漸近資源界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-asymptotic-resource-bound/)

## 前置節點


- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [證明助理中的形式陳述](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-formal-statement/)

形式陳述是在固定版本、imports、環境與 local context 中成功 elaboration，且型別為 Prop 的核心項。

atlas-formal-statement · canonical_mko

[證明助理中的形式陳述](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-lean-formal-statement/)

## 前置節點


- [命題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proposition/)







## [證明項](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proof-term/)

證明項是在固定形式環境與 context 中具有命題 P 型別，並可由 kernel 檢查的項 t。

atlas-proof-term · canonical_mko

[證明項](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-lean-proof-term/)

## 前置節點


- [證明助理中的形式陳述](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-formal-statement/)
- [數學證明](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proof/)







## [離散時間動力系統](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-discrete-dynamical-system/)

離散時間動力系統以狀態空間、自映射與自然數時間描述逐步演化；有限軌道核對不自動給出一般穩定性。

atlas-discrete-dynamical-system · canonical_mko

[離散時間動力系統](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-discrete-dynamical-system/)

## 前置節點


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)







## [軌道、固定點與週期點](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-orbit-fixed-periodic/)

反覆迭代自映射形成軌道；固定點週期為1，週期點的最小正週期須和任意返回時間分開。

atlas-orbit-fixed-periodic · canonical_mko

[軌道、固定點與週期點](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-orbit-fixed-periodic/)

## 前置節點


- [離散時間動力系統](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-discrete-dynamical-system/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)







## [常微分方程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-ordinary-differential-equation/)

常微分方程關聯未知單變數函數及其有限階導數；候選函數的殘差核對不等於存在唯一性定理。

atlas-ordinary-differential-equation · canonical_mko

[常微分方程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-ordinary-differential-equation/)

## 前置節點


- [實函數在一點的導數與差商](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)







## [初值問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-initial-value-problem/)

初值問題在微分方程外指定某點的函數值或導數值；候選核對與存在唯一性是不同責任。

atlas-initial-value-problem · canonical_mko

[初值問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-initial-value-problem/)

## 前置節點


- [常微分方程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-ordinary-differential-equation/)
- [定義域、陪域與值域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-domain-codomain-range/)







## [數值近似與誤差](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-numerical-approximation-error/)

絕對誤差是近似值與參照值之差的絕對值；相對誤差另要求參照值非零並除以其絕對值。

atlas-numerical-approximation-error · canonical_mko

[數值近似與誤差](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-numerical-approximation-error/)

## 前置節點


- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)
- [比與比例](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-ratio-proportion/)







## [二分法的有限 bracket 更新](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-bisection-method/)

二分法在已提供的端點與中點符號資料上取中點並保留符號相反或零值的半區，有限步寬度減半。

atlas-bisection-method · canonical_mko

[二分法的有限 bracket 更新](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bisection-method/)

## 前置節點


- [數值近似與誤差](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-numerical-approximation-error/)
- [實函數的點值與連續](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-continuity/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)
- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)







## [最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-optimization-problem/)

最佳化問題在明示可行集合上尋找使目標函數最小或最大的點；最優值與最優解集合需分開。

atlas-optimization-problem · canonical_mko

[最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-optimization-problem/)

## 前置節點


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [線性規劃](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-programming/)

線性規劃在線性等式或不等式限制的可行域上最佳化線性目標函數；本輪題庫只驗完整有限候選網格。

atlas-linear-programming · canonical_mko

[線性規劃](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-programming/)

## 前置節點


- [最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-optimization-problem/)
- [一元一次方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-equation/)
- [二元聯立一次方程組與退化邊界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-system-linear-equations/)
- [固定基底下的平面向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector/)







## [量綱分析](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-dimensional-analysis/)

量綱分析用基本量綱指數向量追蹤乘、除與冪，並核對方程兩側量綱是否一致。

atlas-dimensional-analysis · canonical_mko

[量綱分析](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-dimensional-analysis/)

## 前置節點


- [比與比例](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-ratio-proportion/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)
- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)







## [線性簡諧振子模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-harmonic-oscillator-model/)

無阻尼線性簡諧振子以m x''+k x=0及m,k>0定義；本輪不宣稱三角函數閉式解。

atlas-harmonic-oscillator-model · canonical_mko

[線性簡諧振子模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-harmonic-oscillator-model/)

## 前置節點


- [常微分方程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-ordinary-differential-equation/)
- [多項式的和、乘積與合成微分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative-rules/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)







## [離散指數成長模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-discrete-exponential-growth/)

固定時間步與固定非負因子 r 的離散模型滿足 x_(n+1)=r x_n，因此 x_n=x_0 r^n。

atlas-discrete-exponential-growth · canonical_mko

[離散指數成長模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-discrete-exponential-growth/)

## 前置節點


- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [離散 logistic 增量模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-discrete-logistic-growth/)

固定容量K與0≤r≤1時，本條目以x_(n+1)=x_n+r x_n(1-x_n/K)描述每步受限增量。

atlas-discrete-logistic-growth · canonical_mko

[離散 logistic 增量模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-discrete-logistic-growth/)

## 前置節點


- [離散指數成長模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-discrete-exponential-growth/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [複利模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-compound-interest/)

固定每期利率 i 且無額外現金流時，餘額滿足 B_(n+1)=(1+i)B_n，故 B_n=B_0(1+i)^n。

atlas-compound-interest · canonical_mko

[複利模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-compound-interest/)

## 前置節點


- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)
- [比與比例](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-ratio-proportion/)







## [現值與折現](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-present-value-discounting/)

固定正累積因子與期數時，未來金額除以累積因子冪得到現值。

atlas-present-value-discounting · canonical_mko

[現值與折現](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-present-value-discounting/)

## 前置節點


- [複利模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-compound-interest/)
- [分數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-fraction/)
- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)







## [數學表徵](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mathematical-representation/)

數學表徵把同一對象的文字規則、符號式、有限表格、序對與座標資料分開記錄，並以明示語義橋核對一致性。

atlas-mathematical-representation · canonical_mko

[數學表徵](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mathematical-representation/)

## 前置節點


- [變數與代數式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variable-expression/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [座標平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-coordinate-plane/)







## [診斷性數學評量記錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-diagnostic-mathematical-assessment/)

診斷性數學評量記錄把題目、期望、作答與明示判定規則綁在一起，只產生可追溯的規則符合狀態。

atlas-diagnostic-mathematical-assessment · canonical_mko

[診斷性數學評量記錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-diagnostic-mathematical-assessment/)

## 前置節點


- [命題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proposition/)
- [反例與論域資格](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-counterexample/)
- [數學表徵](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mathematical-representation/)







## [複數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-complex-number/)

複數以實數有序對(a,b)表示a+bi，並以i²=-1定義加減乘法。

atlas-complex-number · canonical_mko

[複數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-complex-number/)

## 前置節點


- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [座標平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-coordinate-plane/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [複數模與共軛](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-complex-modulus-conjugate/)

複數共軛保留實部並反轉虛部；模平方為實部與虛部平方和。

atlas-complex-modulus-conjugate · canonical_mko

[複數模與共軛](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-complex-modulus-conjugate/)

## 前置節點


- [複數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-complex-number/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)







## [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)

實向量空間配備向量加法與實數純量乘法，滿足加法交換群及相容的純量作用公理。

atlas-real-vector-space · canonical_mko

[實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-vector-space/)

## 前置節點


- [固定基底下的平面向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [線性組合與生成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-combination-span/)

線性組合是有限個向量的純量加權和；生成空間收集全部有限線性組合。

atlas-linear-combination-span · canonical_mko

[線性組合與生成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-combination-span/)

## 前置節點


- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)
- [二元聯立一次方程組與退化邊界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-system-linear-equations/)







## [線性獨立與基底](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-independence-basis/)

線性獨立排除非平凡零和關係；基底同時線性獨立並生成已宣告空間。

atlas-linear-independence-basis · canonical_mko

[線性獨立與基底](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-independence-basis/)

## 前置節點


- [線性組合與生成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-combination-span/)
- [二元聯立一次方程組與退化邊界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-system-linear-equations/)
- [實二階方陣的行列式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-determinant/)







## [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group/)

有限群由有限集合與完整封閉Cayley表構成，並滿足結合律、唯一單位元及每元素逆元。

atlas-finite-group · canonical_mko

[有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group/)

## 前置節點


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-relation/)
- [數學證明](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proof/)







## [子群與群同態](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subgroup-homomorphism/)

子群在繼承運算下自身成群；群同態保持乘法，kernel與image由完整映射表導出。

atlas-subgroup-homomorphism · canonical_mko

[子群與群同態](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-subgroup-homomorphism/)

## 前置節點


- [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-metric-space/)

度量空間由集合與距離函數組成，距離非負、只在相同點為零、對稱且滿足三角不等式。

atlas-metric-space · canonical_mko

[度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-metric-space/)

## 前置節點


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-relation/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [度量空間中的收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-metric-convergence/)

度量空間序列收斂到x，表示每個正epsilon終有所有n≥N落入x的epsilon球。

atlas-metric-convergence · canonical_mko

[度量空間中的收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-metric-convergence/)

## 前置節點


- [度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-metric-space/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [σ-代數與測度空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sigma-algebra-measure-space/)

σ-代數含空集並對補集與可數聯集封閉；測度非負、空集為零且可數可加。

atlas-sigma-algebra-measure-space · canonical_mko

[σ-代數與測度空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sigma-algebra-measure-space/)

## 前置節點


- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)







## [可測函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-measurable-function/)

來源與目標各固定sigma代數時，函數可測表示每個目標可測集的逆像皆在來源sigma代數。

atlas-measurable-function · canonical_mko

[可測函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-measurable-function/)

## 前置節點


- [σ-代數與測度空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sigma-algebra-measure-space/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)







## [有限離散機率分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-discrete-probability-distribution/)

有限離散分布是在有限結果值上指定非負機率質量，全部質量精確和為一。

atlas-finite-discrete-probability-distribution · canonical_mko

[有限離散機率分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-discrete-probability-distribution/)

## 前置節點


- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [離散隨機過程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-discrete-stochastic-process/)

離散隨機過程是共同機率空間上的離散時間隨機變數族；邊際分布不決定聯合律。

atlas-discrete-stochastic-process · canonical_mko

[離散隨機過程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-discrete-stochastic-process/)

## 前置節點


- [有限離散機率分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-discrete-probability-distribution/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)







## [有限狀態 Markov 鏈](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-markov-chain/)

有限時間齊次Markov鏈以row-stochastic轉移核與需要時的初始律指定有限路徑機率。

atlas-finite-markov-chain · canonical_mko

[有限狀態 Markov 鏈](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-markov-chain/)

## 前置節點


- [離散隨機過程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-discrete-stochastic-process/)
- [有限矩陣的尺寸、索引與轉置](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-matrix/)
- [有限模型的條件機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-conditional-probability/)







## [多變數實函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-multivariable-real-function/)

多變數實函數把明示實向量域中的輸入映到實數；座標角色與定義域是函數資料。

atlas-multivariable-real-function · canonical_mko

[多變數實函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-multivariable-real-function/)

## 前置節點


- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [固定基底下的平面向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector/)
- [座標平面](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-coordinate-plane/)







## [偏導數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-partial-derivative/)

偏導數固定其他座標，只沿一個座標切片取h趨近零的單變數導數。

atlas-partial-derivative · canonical_mko

[偏導數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-partial-derivative/)

## 前置節點


- [多變數實函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-multivariable-real-function/)
- [實函數在一點的導數與差商](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative/)
- [兩點間的平均變化率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rate-of-change/)







## [偏微分方程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-partial-differential-equation/)

偏微分方程關聯多變數未知函數與一個或多個偏導數；殘差與主部分類需固定算子convention。

atlas-partial-differential-equation · canonical_mko

[偏微分方程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-partial-differential-equation/)

## 前置節點


- [偏導數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-partial-derivative/)
- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)
- [多項式的和、乘積與合成微分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative-rules/)







## [邊界值問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-boundary-value-problem/)

邊界值問題把定義域內的微分方程責任與邊界上的值或導數資料同時指定；候選通過不等於適定性。

atlas-boundary-value-problem · canonical_mko

[邊界值問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-boundary-value-problem/)

## 前置節點


- [偏微分方程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-partial-differential-equation/)
- [定義域、陪域與值域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-domain-codomain-range/)
- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)







## [有限凸組合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-convex-combination/)

有限凸組合用非負精確權重加權有限非空向量列，且權重總和恰為一。

atlas-finite-convex-combination · canonical_mko

[有限凸組合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-convex-combination/)

## 前置節點


- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)
- [比與比例](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-ratio-proportion/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [凸集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-convex-set/)

集合凸表示任兩點及每個lambda∈[0,1]形成的整條線段仍在集合內。

atlas-convex-set · canonical_mko

[凸集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convex-set/)

## 前置節點


- [有限凸組合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-convex-combination/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)
- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)







## [凸函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-convex-function/)

凸域上的函數為凸，若每個兩點凸組合處的函數值不超過相同權重的端點函數值。

atlas-convex-function · canonical_mko

[凸函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convex-function/)

## 前置節點


- [凸集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-convex-set/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [凸最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-convex-optimization-problem/)

凸最佳化問題在凸可行域上最小化凸目標；問題資格、可行性、求值與全域最優是不同責任。

atlas-convex-optimization-problem · canonical_mko

[凸最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convex-optimization-problem/)

## 前置節點


- [凸函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-convex-function/)
- [最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-optimization-problem/)
- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)







## [有限阿貝爾群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-abelian-group/)

有限群若完整Cayley表對所有元素對都滿足交換律，則為有限阿貝爾群。

atlas-finite-abelian-group · canonical_mko

[有限阿貝爾群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-abelian-group/)

## 前置節點


- [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [有限含一環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-unital-ring/)

有限含一環在同一完整有限載體上具加法阿貝爾群、乘法結合律、左右分配律及與零不同的乘法單位元。

atlas-finite-unital-ring · canonical_mko

[有限含一環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-unital-ring/)

## 前置節點


- [有限阿貝爾群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-abelian-group/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [有限交換環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-commutative-ring/)

有限含一環若乘法對全部元素對交換，則為有限交換環；零因子仍可能存在。

atlas-finite-commutative-ring · canonical_mko

[有限交換環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-commutative-ring/)

## 前置節點


- [有限含一環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-unital-ring/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [有限整環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-integral-domain/)

有限交換含一環若1不等於0且沒有非零零因子，則為有限整環。

atlas-finite-integral-domain · canonical_mko

[有限整環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-integral-domain/)

## 前置節點


- [有限交換環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-commutative-ring/)
- [命題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proposition/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [有限域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-field/)

有限交換含一環中每個非零元素皆有乘法逆元時構成有限域。

atlas-finite-field · canonical_mko

[有限域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-field/)

## 前置節點


- [有限整環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-integral-domain/)
- [有限含一環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-unital-ring/)
- [有限阿貝爾群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-abelian-group/)







## [有限雙邊理想](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-two-sided-ideal/)

有限環子集若為加法子群且吸收父環的左右乘法，則為雙邊理想。

atlas-finite-two-sided-ideal · canonical_mko

[有限雙邊理想](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-two-sided-ideal/)

## 前置節點


- [有限含一環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-unital-ring/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)
- [有限阿貝爾群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-abelian-group/)







## [有限環的商環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-quotient-ring/)

有限環依proper雙邊理想的加法cosets形成商環，運算須與代表元選擇無關。

atlas-finite-quotient-ring · canonical_mko

[有限環的商環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-quotient-ring/)

## 前置節點


- [有限含一環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-unital-ring/)
- [有限雙邊理想](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-two-sided-ideal/)
- [等價關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equivalence-relation/)
- [商集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quotient-set/)







## [有限交換環上的多項式環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring/)

係數取自有限交換環的普通多項式以有限支撐係數序列表示，但所有任意有限次多項式合成的載體仍是無限。

atlas-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring · canonical_mko

[有限交換環上的多項式環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring/)

## 前置節點


- [有限交換環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-commutative-ring/)
- [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-polynomial/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)







## [實賦範向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-normed-vector-space/)

實向量空間配備正定、絕對齊次且滿足三角不等式的實值範數。

atlas-real-normed-vector-space · canonical_mko

[實賦範向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-normed-vector-space/)

## 前置節點


- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [範數誘導度量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-norm-induced-metric/)

同一實賦範向量空間上的範數以向量差的範數定義度量，度量公理由範數公理全稱推出。

atlas-norm-induced-metric · canonical_mko

[範數誘導度量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-norm-induced-metric/)

## 前置節點


- [實賦範向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-normed-vector-space/)
- [度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-metric-space/)
- [固定基底下的平面向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [Cauchy序列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cauchy-sequence/)

度量空間序列為Cauchy，若每個正epsilon最終所有兩項彼此距離皆小於epsilon。

atlas-cauchy-sequence · canonical_mko

[Cauchy序列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cauchy-sequence/)

## 前置節點


- [度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-metric-space/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [完備度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-complete-metric-space/)

每個Cauchy序列都收斂到空間內某點的度量空間稱為完備。

atlas-complete-metric-space · canonical_mko

[完備度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-complete-metric-space/)

## 前置節點


- [Cauchy序列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cauchy-sequence/)
- [度量空間中的收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-metric-convergence/)
- [度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-metric-space/)







## [實Banach空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-banach-space/)

在自身範數誘導度量下完備的實賦範向量空間稱為實Banach空間。

atlas-real-banach-space · canonical_mko

[實Banach空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-banach-space/)

## 前置節點


- [實賦範向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-normed-vector-space/)
- [範數誘導度量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-norm-induced-metric/)
- [完備度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-complete-metric-space/)
- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)







## [實雙線性形式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-bilinear-form/)

實向量空間上的雙線性形式分別對兩個輸入保持向量加法與實純量乘法。

atlas-real-bilinear-form · canonical_mko

[實雙線性形式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-bilinear-form/)

## 前置節點


- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)
- [線性組合與生成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-combination-span/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [實內積空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-inner-product-space/)

對稱且正定的實雙線性形式構成實內積；半正定或抽樣為正不足。

atlas-real-inner-product-space · canonical_mko

[實內積空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-inner-product-space/)

## 前置節點


- [實雙線性形式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-bilinear-form/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)
- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)







## [內積誘導範數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-inner-product-induced-norm/)

同一實內積以向量自內積的非負平方根定義範數；三角不等式依Cauchy–Schwarz全稱證書。

atlas-inner-product-induced-norm · canonical_mko

[內積誘導範數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-inner-product-induced-norm/)

## 前置節點


- [實內積空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-inner-product-space/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [實Hilbert空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-hilbert-space/)

在同一內積誘導範數與度量下完備的實內積空間為實Hilbert空間。

atlas-real-hilbert-space · canonical_mko

[實Hilbert空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-hilbert-space/)

## 前置節點


- [實內積空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-inner-product-space/)
- [內積誘導範數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-inner-product-induced-norm/)
- [範數誘導度量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-norm-induced-metric/)
- [完備度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-complete-metric-space/)







## [實向量空間間線性映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-general-linear-map/)

一般實向量空間間映射若對所有向量與實純量保持線性組合，則為線性映射。

atlas-general-linear-map · canonical_mko

[實向量空間間線性映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-general-linear-map/)

## 前置節點


- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [線性組合與生成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-combination-span/)







## [有界線性算子](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-bounded-linear-operator/)

賦範空間間線性映射若有單一非負常數統一控制所有輸出範數，則為有界線性算子。

atlas-bounded-linear-operator · canonical_mko

[有界線性算子](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bounded-linear-operator/)

## 前置節點


- [實向量空間間線性映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-general-linear-map/)
- [實賦範向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-normed-vector-space/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [事件獨立](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-event-independence/)

兩事件獨立以交集機率等於邊際機率乘積定義；此定義不依賴零機率條件式。

atlas-event-independence · canonical_mko

[事件獨立](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-event-independence/)

## 前置節點


- [事件](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-event/)
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)
- [有限模型的條件機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-conditional-probability/)







## [有限聯合分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-joint-distribution/)

共同有限機率空間上多個隨機變數的值組與精確質量共同指定有限聯合分布。

atlas-finite-joint-distribution · canonical_mko

[有限聯合分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-joint-distribution/)

## 前置節點


- [有限離散機率分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-discrete-probability-distribution/)
- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)
- [樣本空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sample-space/)







## [隨機變數獨立](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable-independence/)

同一有限joint law下，隨機變數獨立要求全部值對的joint mass分解為邊際質量乘積。

atlas-random-variable-independence · canonical_mko

[隨機變數獨立](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-random-variable-independence/)

## 前置節點


- [事件獨立](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-event-independence/)
- [有限聯合分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-joint-distribution/)
- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)
- [可測函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-measurable-function/)







## [協方差](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-covariance/)

同一有限聯合分布下協方差為E[XY]-E[X]E[Y]；零協方差通常不推出獨立。

atlas-covariance · canonical_mko

[協方差](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-covariance/)

## 前置節點


- [有限聯合分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-joint-distribution/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variance/)
- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)







## [有限條件期望](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-conditional-expectation/)

有限機率空間中，相對分割生成sigma代數的條件期望在每個正質量區塊取加權平均並保持區塊積分。

atlas-conditional-expectation · canonical_mko

[有限條件期望](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-conditional-expectation/)

## 前置節點


- [有限聯合分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-joint-distribution/)
- [可測函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-measurable-function/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [有限模型的條件機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-conditional-probability/)
- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)







## [有限filtration](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-filtration/)

有限時間filtration是在同一機率空間上隨時間資訊遞增的sigma代數序列。

atlas-finite-filtration · canonical_mko

[有限filtration](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-filtration/)

## 前置節點


- [σ-代數與測度空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sigma-algebra-measure-space/)
- [離散隨機過程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-discrete-stochastic-process/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [可測函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-measurable-function/)







## [有限Martingale](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-martingale/)

相對同一filtration適應且可積的有限過程，若每一步下一值條件期望等於現在值a.s.，則為Martingale。

atlas-martingale · canonical_mko

[有限Martingale](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-martingale/)

## 前置節點


- [有限filtration](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-filtration/)
- [有限條件期望](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-conditional-expectation/)
- [離散隨機過程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-discrete-stochastic-process/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [可測函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-measurable-function/)







## [依機率收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-convergence-in-probability/)

X_n依機率收斂到X，若對每個epsilon>0，偏差超過epsilon的機率趨近0。

atlas-convergence-in-probability · canonical_mko

[依機率收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convergence-in-probability/)

## 前置節點


- [有限聯合分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-joint-distribution/)
- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [度量空間中的收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-metric-convergence/)







## [累積分布函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cumulative-distribution-function/)

實值隨機變數的CDF以F(t)=P(X小於等於t)定義，為單調右連續且有限離散跳躍等於點質量。

atlas-cumulative-distribution-function · canonical_mko

[累積分布函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cumulative-distribution-function/)

## 前置節點


- [有限離散機率分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-discrete-probability-distribution/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [依分布收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-convergence-in-distribution/)

極限CDF每個連續點上F_n逐點收斂到F時，稱依分布收斂。

atlas-convergence-in-distribution · canonical_mko

[依分布收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convergence-in-distribution/)

## 前置節點


- [累積分布函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cumulative-distribution-function/)
- [去心實數論域的函數極限](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-limit/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [有限聯合分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-joint-distribution/)







## [獨立同分布序列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-iid-sequence/)

IID序列同時要求每個變數有相同分布，且每個有限子族滿足mutual independence。

atlas-iid-sequence · canonical_mko

[獨立同分布序列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-iid-sequence/)

## 前置節點


- [隨機變數獨立](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable-independence/)
- [離散隨機過程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-discrete-stochastic-process/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [有限聯合分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-joint-distribution/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)







## [圖同構](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph-isomorphism/)

有限簡單圖同構是頂點雙射，對所有頂點對完整保持鄰接與非鄰接。

atlas-graph-isomorphism · canonical_mko

[圖同構](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-graph-isomorphism/)

## 前置節點


- [有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph/)
- [雙射與唯一原像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-bijective/)
- [二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-relation/)







## [圖walk與simple path](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph-walk-simple-path/)

有限無向簡單圖的walk要求每對連續頂點相鄰；simple path另要求所有頂點互異。

atlas-graph-walk-simple-path · canonical_mko

[圖walk與simple path](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-graph-walk-simple-path/)

## 前置節點


- [有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-relation/)







## [連通分量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-connected-component/)

有限無向簡單圖中，由存在路徑所定義的頂點等價類恰為連通分量。

atlas-connected-component · canonical_mko

[連通分量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-connected-component/)

## 前置節點


- [圖walk與simple path](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph-walk-simple-path/)
- [等價關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equivalence-relation/)
- [有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph/)







## [二分圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-bipartite-graph/)

有限無向簡單圖若全體頂點可分為兩個互斥部分且每條邊跨部，則為二分圖。

atlas-bipartite-graph · canonical_mko

[二分圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bipartite-graph/)

## 前置節點


- [有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [圖著色](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph-coloring/)

proper k-coloring使用至多k種顏色並使每條邊兩端顏色不同。

atlas-graph-coloring · canonical_mko

[圖著色](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-graph-coloring/)

## 前置節點


- [有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)







## [等價關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equivalence-relation/)

固定載體上的關係若完整滿足反身、對稱與傳遞，則為等價關係。

atlas-equivalence-relation · canonical_mko

[等價關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-equivalence-relation/)

## 前置節點


- [二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-relation/)
- [邏輯連接詞](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-logical-connectives/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [等價類](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equivalence-class/)

固定完整等價關係下，元素a的等價類收集全部與a相關的載體元素。

atlas-equivalence-class · canonical_mko

[等價類](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-equivalence-class/)

## 前置節點


- [等價關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equivalence-relation/)
- [集合隸屬](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-membership/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)







## [商集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quotient-set/)

完整等價關係的全部互異等價類組成商集，並分割原載體。

atlas-quotient-set · canonical_mko

[商集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quotient-set/)

## 前置節點


- [等價類](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equivalence-class/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [等價關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equivalence-relation/)







## [集合基數比較](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cardinality-comparison/)

明示source與target間的單射、滿射、雙射分別提供有限集合基數比較證書。

atlas-cardinality-comparison · canonical_mko

[集合基數比較](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cardinality-comparison/)

## 前置節點


- [單射與不同輸入的辨識](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-injective/)
- [滿射與陪域覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-surjective/)
- [雙射與唯一原像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-bijective/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)







## [至多可數集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-at-most-countable-set/)

集合若有限或存在到自然數的明示單射，則為至多可數；不等同可數無限。

atlas-at-most-countable-set · canonical_mko

[至多可數集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-at-most-countable-set/)

## 前置節點


- [集合基數比較](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cardinality-comparison/)
- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)
- [單射與不同輸入的辨識](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-injective/)
- [滿射與陪域覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-surjective/)







## [實向量子空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector-subspace/)

實向量空間的非空子集若含零向量並對向量加法與每個實純量乘法封閉，則為向量子空間。

atlas-vector-subspace · canonical_mko

[實向量子空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-vector-subspace/)

## 前置節點


- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [線性映射的核](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-map-kernel/)

線性映射T的核是全部滿足T(x)=0的來源向量，並形成來源子空間。

atlas-linear-map-kernel · canonical_mko

[線性映射的核](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-map-kernel/)

## 前置節點


- [實向量空間間線性映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-general-linear-map/)
- [實向量子空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector-subspace/)
- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)







## [線性映射的像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-map-image/)

線性映射的像是所有輸出T(x)的集合；矩陣映射的像等於column span。

atlas-linear-map-image · canonical_mko

[線性映射的像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-map-image/)

## 前置節點


- [實向量空間間線性映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-general-linear-map/)
- [實向量子空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector-subspace/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [有限維向量空間的維度](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector-space-dimension/)

有限維向量空間的維度是任一有限基底的元素數；基底不同但基數不變。

atlas-vector-space-dimension · canonical_mko

[有限維向量空間的維度](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-vector-space-dimension/)

## 前置節點


- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)
- [線性獨立與基底](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-independence-basis/)
- [集合基數比較](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cardinality-comparison/)







## [矩陣秩](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-matrix-rank/)

矩陣秩是row/column space維度，可由精確rank-preserving消去的pivot數計算。

atlas-matrix-rank · canonical_mko

[矩陣秩](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-matrix-rank/)

## 前置節點


- [有限矩陣的尺寸、索引與轉置](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-matrix/)
- [線性組合與生成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-combination-span/)
- [有限維向量空間的維度](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector-space-dimension/)







## [秩－零度定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rank-nullity-theorem/)

有限維線性映射T:V→W滿足dim V=dim ker T+rank T。

atlas-rank-nullity-theorem · canonical_mko

[秩－零度定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-rank-nullity-theorem/)

## 前置節點


- [線性映射的核](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-map-kernel/)
- [線性映射的像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-map-image/)
- [矩陣秩](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-matrix-rank/)
- [有限維向量空間的維度](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector-space-dimension/)







## [子空間直和](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-direct-sum/)

二個子空間之和若每個向量有唯一分解便是內直和；要宣稱覆蓋母空間還須另證生成。

atlas-direct-sum · canonical_mko

[子空間直和](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-direct-sum/)

## 前置節點


- [實向量子空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector-subspace/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)
- [線性獨立與基底](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-independence-basis/)







## [商向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quotient-vector-space/)

V依子空間W的cosets形成商向量空間，運算須與代表元選擇無關。

atlas-quotient-vector-space · canonical_mko

[商向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quotient-vector-space/)

## 前置節點


- [實向量子空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector-subspace/)
- [商集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quotient-set/)
- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)
- [等價類](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equivalence-class/)
- [有限維向量空間的維度](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector-space-dimension/)







## [對偶向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-dual-vector-space/)

實向量空間的對偶空間由所有實值線性泛函組成；座標covector表示依賴基底。

atlas-dual-vector-space · canonical_mko

[對偶向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-dual-vector-space/)

## 前置節點


- [實向量空間間線性映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-general-linear-map/)
- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)







## [拓撲閉包與內部](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-closure-and-interior/)

集合閉包是所有閉超集的交，內部是所有開子集的聯；兩者相對於指定拓撲。

atlas-closure-and-interior · canonical_mko

[拓撲閉包與內部](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-closure-and-interior/)

## 前置節點


- [開集與閉集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-open-closed-set/)
- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)







## [拓撲邊界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-boundary/)

集合A的拓撲邊界為closure(A)減去interior(A)，亦等於closure(A)交closure(complement A)。

atlas-topological-boundary · canonical_mko

[拓撲邊界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-boundary/)

## 前置節點


- [拓撲閉包與內部](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-closure-and-interior/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)







## [開覆蓋與子覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-open-cover-and-subcover/)

開覆蓋由指定拓撲的開集組成且聯集包含目標集合；子覆蓋須取自原覆蓋並仍覆蓋同一目標。

atlas-open-cover-and-subcover · canonical_mko

[開覆蓋與子覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-open-cover-and-subcover/)

## 前置節點


- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)
- [開集與閉集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-open-closed-set/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)







## [緊緻拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-compact-topological-space/)

拓撲空間緊緻，若每個開覆蓋都有有限子覆蓋；每個有限拓撲空間皆緊緻。

atlas-compact-topological-space · canonical_mko

[緊緻拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-compact-topological-space/)

## 前置節點


- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)
- [開覆蓋與子覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-open-cover-and-subcover/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [連通拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-connected-topological-space/)

拓撲空間連通，若不存在由兩個不交非空開集組成的separation；等價於無非平凡clopen subset。

atlas-connected-topological-space · canonical_mko

[連通拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-connected-topological-space/)

## 前置節點


- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)
- [開集與閉集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-open-closed-set/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)







## [同胚](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-homeomorphism/)

同胚是雙射、連續且逆映射亦連續的映射；一般continuous bijection仍可能不是同胚。

atlas-homeomorphism · canonical_mko

[同胚](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-homeomorphism/)

## 前置節點


- [拓撲連續映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-continuity/)
- [雙射與唯一原像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-bijective/)
- [雙射的反函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-inverse-function/)
- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)







## [函數列逐點收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-pointwise-convergence-of-functions/)

同一domain上的函數列逐點收斂，若每個固定x的值序列收斂至f(x)，且N可依x與epsilon改變。

atlas-pointwise-convergence-of-functions · canonical_mko

[函數列逐點收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-pointwise-convergence-of-functions/)

## 前置節點


- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence-limit/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [函數列一致收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-uniform-convergence-of-functions/)

一致收斂要求同一N(epsilon)同時控制domain全部x。

atlas-uniform-convergence-of-functions · canonical_mko

[函數列一致收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-uniform-convergence-of-functions/)

## 前置節點


- [函數列逐點收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-pointwise-convergence-of-functions/)
- [度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-metric-space/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [無窮級數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-infinite-series/)

無窮級數以partial-sum sequence的極限定義；項趨零必要但不充分。

atlas-infinite-series · canonical_mko

[無窮級數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-infinite-series/)

## 前置節點


- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence-limit/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [級數絕對收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-convergence-of-series/)

sum |a_n|收斂時sum a_n絕對收斂；絕對收斂推出收斂，反向不一般成立。

atlas-absolute-convergence-of-series · canonical_mko

[級數絕對收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-convergence-of-series/)

## 前置節點


- [無窮級數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-infinite-series/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence-limit/)







## [幾乎必然收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-almost-sure-convergence/)

同一機率空間上的隨機變數序列若在零機率例外集外逐點收斂，則幾乎必然收斂。

atlas-almost-sure-convergence · canonical_mko

[幾乎必然收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-almost-sure-convergence/)

## 前置節點


- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)
- [σ-代數與測度空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sigma-algebra-measure-space/)
- [依機率收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-convergence-in-probability/)







## [Lp收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-lp-convergence/)

共同機率空間上固定整數p≥1時，E|X_n−X|^p→0稱Lp收斂。

atlas-lp-convergence · canonical_mko

[Lp收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-lp-convergence/)

## 前置節點


- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence-limit/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)
- [σ-代數與測度空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sigma-algebra-measure-space/)







## [弱大數律](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-weak-law-large-numbers/)

IID且具有有限variance時，Chebyshev界給樣本平均依機率收斂到共同mean。

atlas-weak-law-large-numbers · canonical_mko

[弱大數律](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-weak-law-large-numbers/)

## 前置節點


- [獨立同分布序列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-iid-sequence/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variance/)
- [依機率收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-convergence-in-probability/)







## [貝氏定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-bayes-theorem/)

正分母條件下，Bayes定理以共同intersection與priors/likelihoods精確反轉條件機率。

atlas-bayes-theorem · canonical_mko

[貝氏定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bayes-theorem/)

## 前置節點


- [有限模型的條件機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-conditional-probability/)
- [事件](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-event/)
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)







## [參數統計模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-parametric-statistical-model/)

參數統計模型為每個theta指定同一有限可測sample space上的完整機率law P_theta。

atlas-parametric-statistical-model · canonical_mko

[參數統計模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-parametric-statistical-model/)

## 前置節點


- [有限聯合分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-joint-distribution/)
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)







## [統計估計量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-statistical-estimator/)

估計量是固定且不依未知theta的可測total statistic；觀察後數值是estimate。

atlas-statistical-estimator · canonical_mko

[統計估計量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-statistical-estimator/)

## 前置節點


- [參數統計模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-parametric-statistical-model/)
- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)
- [樣本空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sample-space/)







## [抽樣分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sampling-distribution/)

固定theta時，估計量把樣本分布pushforward成統計量的抽樣分布；全部theta形成一族laws。

atlas-sampling-distribution · canonical_mko

[抽樣分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sampling-distribution/)

## 前置節點


- [參數統計模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-parametric-statistical-model/)
- [統計估計量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-statistical-estimator/)
- [有限離散機率分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-discrete-probability-distribution/)







## [估計量偏誤](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-estimator-bias/)

估計量在theta的偏誤是其theta抽樣分布期望減去目標參數；無偏要求對所有theta成立。

atlas-estimator-bias · canonical_mko

[估計量偏誤](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-estimator-bias/)

## 前置節點


- [抽樣分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sampling-distribution/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [參數統計模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-parametric-statistical-model/)







## [估計量變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-estimator-variance/)

估計量變異數逐theta衡量sampling law相對自身期望的二次離差，不等同偏誤或MSE。

atlas-estimator-variance · canonical_mko

[估計量變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-estimator-variance/)

## 前置節點


- [抽樣分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sampling-distribution/)
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variance/)







## [Euler trail與circuit](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-eulerian-trail/)

Euler trail恰用每條邊一次；非零邊支撐連通且奇度數為0或2時分別有circuit或open trail。

atlas-eulerian-trail · canonical_mko

[Euler trail與circuit](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-eulerian-trail/)

## 前置節點


- [圖walk與simple path](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph-walk-simple-path/)
- [有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph/)
- [連通分量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-connected-component/)







## [生成樹](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-spanning-tree/)

生成樹是包含父圖全部頂點的連通無圈子圖。

atlas-spanning-tree · canonical_mko

[生成樹](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-spanning-tree/)

## 前置節點


- [非空有限樹：連通、無環與唯一道路](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-tree/)
- [有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph/)
- [連通分量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-connected-component/)







## [圖匹配](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph-matching/)

有限圖的matching是彼此不共享端點的邊子集；空matching合法。

atlas-graph-matching · canonical_mko

[圖匹配](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-graph-matching/)

## 前置節點


- [有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)







## [最大匹配](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-maximum-matching/)

最大匹配是在完整有限圖全部合法matching中邊數最大者；可有多個且不必perfect。

atlas-maximum-matching · canonical_mko

[最大匹配](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-maximum-matching/)

## 前置節點


- [圖匹配](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph-matching/)
- [最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-optimization-problem/)







## [Clique與獨立集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-clique-and-independent-set/)

Clique內每對不同頂點相鄰，獨立集內每對不同頂點不相鄰；最大與極大不可混同。

atlas-clique-and-independent-set · canonical_mko

[Clique與獨立集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-clique-and-independent-set/)

## 前置節點


- [有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)







## [色數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-chromatic-number/)

有限簡單圖的色數是proper頂點著色所需顏色數的最小值，需同時具備上界與下界證書。

atlas-chromatic-number · canonical_mko

[色數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-chromatic-number/)

## 前置節點


- [圖著色](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph-coloring/)
- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-number/)
- [最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-optimization-problem/)







## [Euler φ函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euler-totient-function/)

Euler φ(n)計數一個完整剩餘代表系中與n互質的代表；約定φ(1)=1。

atlas-euler-totient-function · canonical_mko

[Euler φ函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-totient-function/)

## 前置節點


- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-prime-number/)
- [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gcd-coprime/)
- [基本計數原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-counting-principle/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [中國剩餘定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-chinese-remainder-theorem/)

正兩兩互質模數的同餘系統在模乘積意義下存在唯一解。

atlas-chinese-remainder-theorem · canonical_mko

[中國剩餘定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-chinese-remainder-theorem/)

## 前置節點


- [整數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-integer/)
- [自然數模同餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-modular-congruence/)
- [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gcd-coprime/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [模反元素](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-modular-inverse/)

n≥2時，a模n有乘法反元素恰當gcd(a,n)=1；反元素在模n意義唯一。

atlas-modular-inverse · canonical_mko

[模反元素](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-modular-inverse/)

## 前置節點


- [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gcd-coprime/)
- [自然數模同餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-modular-congruence/)
- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)







## [線性Diophantine方程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-diophantine-equation/)

非退化整數方程ax+by=c有解恰當gcd(a,b)整除c，全部解由一個整數參數給出。

atlas-linear-diophantine-equation · canonical_mko

[線性Diophantine方程](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-diophantine-equation/)

## 前置節點


- [整數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-integer/)
- [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gcd-coprime/)
- [一元一次方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-equation/)
- [Euclidean演算法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euclidean-algorithm/)







## [Fermat小定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-fermat-little-theorem/)

p為質數時a^p同餘a；若p不整除a則可化為a^(p-1)同餘1，逆命題不成立。

atlas-fermat-little-theorem · canonical_mko

[Fermat小定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fermat-little-theorem/)

## 前置節點


- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-prime-number/)
- [自然數模同餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-modular-congruence/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)







## [Euclidean演算法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euclidean-algorithm/)

Euclidean演算法以精確帶餘除法、gcd invariant與嚴格餘數下降求最大公因數。

atlas-euclidean-algorithm · canonical_mko

[Euclidean演算法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-algorithm/)

## 前置節點


- [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gcd-coprime/)
- [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-divisibility/)
- [算法正確性](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-algorithm-correctness/)







## [確定有限自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-automaton/)

DFA由有限狀態集、有限字母表、總轉移函數、唯一初始狀態與接受狀態子集組成。

atlas-finite-automaton · canonical_mko

[確定有限自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-automaton/)

## 前置節點


- [抽象計算模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-computational-model/)
- [離散時間動力系統](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-discrete-dynamical-system/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)







## [正規語言](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-regular-language/)

正規語言是存在一個完整DFA可辨識其全部字串的語言。

atlas-regular-language · canonical_mko

[正規語言](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-regular-language/)

## 前置節點


- [確定有限自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-automaton/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [決定問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-decision-problem/)







## [有限群作用](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-action/)

有限群在有限集合上的作用是滿足單位與乘法相容律的total action table。

atlas-finite-group-action · canonical_mko

[有限群作用](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-action/)

## 前置節點


- [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)







## [有限群作用的軌道](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-orbit/)

有限群作用下，一點被全部群元素送到的像集合形成軌道，全部軌道分割carrier。

atlas-finite-group-orbit · canonical_mko

[有限群作用的軌道](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-orbit/)

## 前置節點


- [有限群作用](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-action/)
- [等價類](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equivalence-class/)







## [有限群作用的穩定子群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-stabilizer/)

指定點的stabilizer是有限群作用中固定該點的全部群元素，並形成子群。

atlas-finite-group-stabilizer · canonical_mko

[有限群作用的穩定子群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-stabilizer/)

## 前置節點


- [有限群作用](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-action/)
- [子群與群同態](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subgroup-homomorphism/)







## [軌道－穩定子定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-orbit-stabilizer-theorem/)

完整有限群作用中，同一點的orbit大小乘以stabilizer大小等於群階。

atlas-orbit-stabilizer-theorem · canonical_mko

[軌道－穩定子定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-orbit-stabilizer-theorem/)

## 前置節點


- [有限群作用的軌道](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-orbit/)
- [有限群作用的穩定子群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-stabilizer/)
- [集合基數比較](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cardinality-comparison/)







## [有限正規子群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-normal-subgroup/)

有限群G的子群H若對每個g皆滿足gHg^{-1}=H，則H為正規子群；等價地每個左陪集等於相應右陪集。

atlas-finite-normal-subgroup · canonical_mko

[有限正規子群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-normal-subgroup/)

## 前置節點


- [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group/)
- [子群與群同態](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subgroup-homomorphism/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [有限商群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-quotient-group/)

有限群G依正規子群N的陪集形成商群，元素是cosets且乘法(gN)(hN)=(gh)N必須與代表元無關。

atlas-finite-quotient-group · canonical_mko

[有限商群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-quotient-group/)

## 前置節點


- [有限正規子群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-normal-subgroup/)
- [商集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quotient-set/)
- [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group/)







## [有限群共軛類](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-conjugacy-class/)

有限群G以conjugation g·x=gxg^{-1}作用於自身，其orbits形成共軛類並分割G。

atlas-finite-group-conjugacy-class · canonical_mko

[有限群共軛類](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-conjugacy-class/)

## 前置節點


- [有限群作用](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-action/)
- [有限群作用的軌道](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-orbit/)
- [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group/)







## [有限群中心](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-center/)

有限群G的中心Z(G)由與每個群元素交換的全部元素構成，且是G的正規子群。

atlas-finite-group-center · canonical_mko

[有限群中心](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-center/)

## 前置節點


- [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group/)
- [有限群共軛類](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-conjugacy-class/)
- [有限正規子群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-normal-subgroup/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [有限群的Lagrange定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-lagrange-theorem-finite-groups/)

有限群G的子群H以等大左陪集分割G，因此|G|=[G:H]|H|且|H|整除|G|。

atlas-lagrange-theorem-finite-groups · canonical_mko

[有限群的Lagrange定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-lagrange-theorem-finite-groups/)

## 前置節點


- [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group/)
- [子群與群同態](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subgroup-homomorphism/)
- [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-divisibility/)
- [集合基數比較](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cardinality-comparison/)
- [商集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quotient-set/)







## [有限群同態的核](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-homomorphism-kernel/)

有限群同態f:G→Q映到目標identity的完整原像是G的正規子群，且同態fibers恰為kernel的陪集。

atlas-finite-group-homomorphism-kernel · canonical_mko

[有限群同態的核](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-homomorphism-kernel/)

## 前置節點


- [子群與群同態](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subgroup-homomorphism/)
- [有限正規子群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-normal-subgroup/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [有限群第一同構定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-first-isomorphism-theorem-finite-groups/)

有限群同態f:G→Q由kernel cosets誘導出G/ker f到im f的群同構，而非自動同構到整個codomain。

atlas-first-isomorphism-theorem-finite-groups · canonical_mko

[有限群第一同構定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-first-isomorphism-theorem-finite-groups/)

## 前置節點


- [有限群同態的核](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-homomorphism-kernel/)
- [有限商群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-quotient-group/)
- [子群與群同態](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subgroup-homomorphism/)
- [雙射與唯一原像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-bijective/)







## [有限群的Cauchy定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cauchy-theorem-finite-groups/)

若質數p整除有限群G的階，則G含有一個exact order為p的元素。

atlas-cauchy-theorem-finite-groups · canonical_mko

[有限群的Cauchy定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cauchy-theorem-finite-groups/)

## 前置節點


- [有限群的Lagrange定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-lagrange-theorem-finite-groups/)
- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-prime-number/)
- [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group/)
- [有限群作用](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-group-action/)







## [上確界與下確界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-supremum-and-infimum/)

非空且有界實數集合的supremum是最小上界，infimum是最大下界，兩者未必屬於集合。

atlas-supremum-and-infimum · canonical_mko

[上確界與下確界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-supremum-and-infimum/)

## 前置節點


- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [子數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subsequence/)

子數列由嚴格遞增的自然數索引映射選取原數列項並保留次序。

atlas-subsequence · canonical_mko

[子數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-subsequence/)

## 前置節點


- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [單射與不同輸入的辨識](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-injective/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [單調有界數列收斂定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-monotone-sequence-convergence-theorem/)

非遞減且有上界的實數列收斂至其項集合supremum；非遞增版本對偶收斂至infimum。

atlas-monotone-sequence-convergence-theorem · canonical_mko

[單調有界數列收斂定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-monotone-sequence-convergence-theorem/)

## 前置節點


- [上確界與下確界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-supremum-and-infimum/)
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence-limit/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [實數列Bolzano－Weierstrass定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-bolzano-weierstrass-theorem-real/)

每個整體有界的實數列都有一個以嚴格遞增無限索引取得的收斂子數列。

atlas-bolzano-weierstrass-theorem-real · canonical_mko

[實數列Bolzano－Weierstrass定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bolzano-weierstrass-theorem-real/)

## 前置節點


- [子數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subsequence/)
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence-limit/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [上確界與下確界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-supremum-and-infimum/)







## [介值定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-intermediate-value-theorem/)

連續實函數在閉區間端點值之間取到每個中間值。

atlas-intermediate-value-theorem · canonical_mko

[介值定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-intermediate-value-theorem/)

## 前置節點


- [實函數的點值與連續](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-continuity/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [上確界與下確界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-supremum-and-infimum/)







## [微分中值定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mean-value-theorem/)

若a<b，f在[a,b]連續且在(a,b)可微，則某個內點c的導數等於端點割線斜率。

atlas-mean-value-theorem · canonical_mko

[微分中值定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mean-value-theorem/)

## 前置節點


- [實函數在一點的導數與差商](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative/)
- [實函數的點值與連續](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-continuity/)
- [兩點間的平均變化率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-rate-of-change/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [高階導數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-higher-order-derivative/)

以f^(0)=f及f^(n+1)=(f^(n))'遞迴定義每個存在的有限階導數。

atlas-higher-order-derivative · canonical_mko

[高階導數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-higher-order-derivative/)

## 前置節點


- [實函數在一點的導數與差商](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative/)
- [多項式的和、乘積與合成微分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative-rules/)
- [數學歸納法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mathematical-induction/)







## [Taylor多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-taylor-polynomial/)

在中心a由f的零階到n階導數值依factorial縮放組成n階Taylor多項式。

atlas-taylor-polynomial · canonical_mko

[Taylor多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-taylor-polynomial/)

## 前置節點


- [多項式的和、乘積與合成微分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative-rules/)
- [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-polynomial/)
- [階乘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-factorial/)
- [高階導數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-higher-order-derivative/)







## [Taylor餘項定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-taylor-remainder-theorem/)

足夠高階可微函數的Taylor approximation error由Lagrange remainder與derivative bound控制。

atlas-taylor-remainder-theorem · canonical_mko

[Taylor餘項定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-taylor-remainder-theorem/)

## 前置節點


- [Taylor多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-taylor-polynomial/)
- [高階導數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-higher-order-derivative/)
- [微分中值定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mean-value-theorem/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)







## [級數比較判別法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-series-comparison-test/)

非負項級數可由逐項或最終逐項上界與下界傳遞收斂或發散。

atlas-series-comparison-test · canonical_mko

[級數比較判別法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-series-comparison-test/)

## 前置節點


- [無窮級數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-infinite-series/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence-limit/)
- [單調有界數列收斂定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-monotone-sequence-convergence-theorem/)







## [級數比值判別法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-ratio-test-series/)

非零項絕對值相鄰比極限小於一時絕對收斂，大於一時發散，等於一時不判定。

atlas-ratio-test-series · canonical_mko

[級數比值判別法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-ratio-test-series/)

## 前置節點


- [級數絕對收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-convergence-of-series/)
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence-limit/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)
- [級數比較判別法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-series-comparison-test/)







## [冪級數收斂半徑](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-series-radius-of-convergence/)

冪級數在中心c周圍具有內部絕對收斂、外部發散的半徑R，邊界點須逐案判定。

atlas-power-series-radius-of-convergence · canonical_mko

[冪級數收斂半徑](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-series-radius-of-convergence/)

## 前置節點


- [無窮級數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-infinite-series/)
- [上確界與下確界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-supremum-and-infimum/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)







## [一致極限保持連續](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-uniform-limit-continuity-theorem/)

同一domain上的連續函數列若一致收斂至f，則極限函數f連續。

atlas-uniform-limit-continuity-theorem · canonical_mko

[一致極限保持連續](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-uniform-limit-continuity-theorem/)

## 前置節點


- [函數列一致收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-uniform-convergence-of-functions/)
- [實函數的點值與連續](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-continuity/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [上確界與下確界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-supremum-and-infimum/)







## [實指數函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-exponential-function/)

實指數函數以對每個實數絕對收斂的冪級數E(x)=sum_{n≥0}x^n/n!定義，並滿足E(x+y)=E(x)E(y)與E(x)>0。

atlas-real-exponential-function · canonical_mko

[實指數函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-exponential-function/)

## 前置節點


- [無窮級數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-infinite-series/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence-limit/)
- [冪級數收斂半徑](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-series-radius-of-convergence/)
- [階乘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-factorial/)
- [級數絕對收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-convergence-of-series/)
- [二項式定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-binomial-theorem/)







## [瑕積分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-improper-integral/)

無界區間或含奇點的積分以適當有限區間積分的one-sided limits定義，且每個必要分段須獨立收斂。

atlas-improper-integral · canonical_mko

[瑕積分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-improper-integral/)

## 前置節點


- [有限區間上的多項式定積分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-definite-integral/)
- [去心實數論域的函數極限](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-limit/)
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence-limit/)
- [級數絕對收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-convergence-of-series/)







## [拓撲基底](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-basis/)

拓撲基底以覆蓋carrier與逐點局部交細化兩條公理生成拓撲。

atlas-topological-basis · canonical_mko

[拓撲基底](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-basis/)

## 前置節點


- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)
- [開集與閉集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-open-closed-set/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)







## [子空間拓撲](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subspace-topology/)

Y⊆X的相對拓撲由全部母空間open sets與Y的交集組成。

atlas-subspace-topology · canonical_mko

[子空間拓撲](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-subspace-topology/)

## 前置節點


- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)
- [拓撲基底](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-basis/)







## [有限乘積拓撲](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-product-topology/)

有限多個拓撲空間的Cartesian product由open rectangles生成乘積拓撲。

atlas-finite-product-topology · canonical_mko

[有限乘積拓撲](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-product-topology/)

## 前置節點


- [拓撲基底](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-basis/)
- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)
- [二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-relation/)
- [拓撲連續映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-continuity/)
- [函數合成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-composition/)







## [商拓撲](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quotient-topology/)

滿射q:X→Y使U⊆Y恰在q逆像開時為開，從而賦予Y商拓撲。

atlas-quotient-topology · canonical_mko

[商拓撲](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quotient-topology/)

## 前置節點


- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)
- [商集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quotient-set/)
- [滿射與陪域覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-surjective/)
- [拓撲連續映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-continuity/)
- [函數合成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-composition/)







## [Hausdorff空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-hausdorff-space/)

拓撲空間X若每對不同點都有不交open neighborhoods即為Hausdorff。

atlas-hausdorff-space · canonical_mko

[Hausdorff空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-hausdorff-space/)

## 前置節點


- [拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-space/)
- [鄰域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-neighborhood/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [緊緻子集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-compact-subset/)

K⊆X在subspace topology下compact，等價地每個relative-open cover有有限subcover。

atlas-compact-subset · canonical_mko

[緊緻子集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-compact-subset/)

## 前置節點


- [緊緻拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-compact-topological-space/)
- [子空間拓撲](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subspace-topology/)







## [緊緻集的連續像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-continuous-image-of-compact/)

若K在X中compact且f:X→Y連續，則image f(K)在Y中compact。

atlas-continuous-image-of-compact · canonical_mko

[緊緻集的連續像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-continuous-image-of-compact/)

## 前置節點


- [緊緻子集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-compact-subset/)
- [拓撲連續映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-continuity/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [道路連通空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-path-connected-space/)

空間中任意兩點若可由單位區間的連續映射連接，則空間道路連通。

atlas-path-connected-space · canonical_mko

[道路連通空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-path-connected-space/)

## 前置節點


- [拓撲連續映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-continuity/)
- [連通拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-connected-topological-space/)
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-number/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)
- [有限乘積拓撲](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-product-topology/)
- [介值定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-intermediate-value-theorem/)
- [函數合成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-composition/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)







## [拓撲連通分支](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-connected-component/)

指定點的連通分支是包含該點的極大連通子集；所有分支分割空間且各自閉。

atlas-topological-connected-component · canonical_mko

[拓撲連通分支](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-connected-component/)

## 前置節點


- [連通拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-connected-topological-space/)
- [等價類](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equivalence-class/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)
- [拓撲閉包與內部](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-closure-and-interior/)
- [連通分量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-connected-component/)
- [子空間拓撲](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subspace-topology/)







## [Hausdorff空間中的緊緻集為閉集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-compact-subset-closed-in-hausdorff/)

若K是Hausdorff空間X的緊緻子集，則K在X中為閉集。

atlas-compact-subset-closed-in-hausdorff · canonical_mko

[Hausdorff空間中的緊緻集為閉集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-compact-subset-closed-in-hausdorff/)

## 前置節點


- [Hausdorff空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-hausdorff-space/)
- [緊緻子集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-compact-subset/)
- [開集與閉集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-open-closed-set/)







## [Markov不等式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-markov-inequality/)

非負且有限期望的隨機變數在正閾值上的尾機率不超過E[X]/a。

atlas-markov-inequality · canonical_mko

[Markov不等式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-markov-inequality/)

## 前置節點


- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-random-variable/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [Chebyshev不等式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-chebyshev-inequality/)

有限均值與變異數的隨機變數偏離均值至少epsilon的機率不超過variance/epsilon²。

atlas-chebyshev-inequality · canonical_mko

[Chebyshev不等式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-chebyshev-inequality/)

## 前置節點


- [Markov不等式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-markov-inequality/)
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variance/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)







## [全期望公式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-law-of-total-expectation/)

同一有限機率空間上，完整partition各cell的conditional mean按cell probability加權後等於E[X]。

atlas-law-of-total-expectation · canonical_mko

[全期望公式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-law-of-total-expectation/)

## 前置節點


- [有限條件期望](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-conditional-expectation/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [事件](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-event/)







## [全變異數公式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-law-of-total-variance/)

同一有限law與完整partition生成的G下，總變異數等於cell內變異數期望加cell均值變異數。

atlas-law-of-total-variance · canonical_mko

[全變異數公式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-law-of-total-variance/)

## 前置節點


- [全期望公式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-law-of-total-expectation/)
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variance/)
- [有限條件期望](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-conditional-expectation/)







## [連續實值分布函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-continuous-real-distribution-function/)

本節點以CDF本身連續定義continuous distribution；CDF仍須nondecreasing、right-continuous且兩端極限0與1。

atlas-continuous-real-distribution-function · canonical_mko

[連續實值分布函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-continuous-real-distribution-function/)

## 前置節點


- [累積分布函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cumulative-distribution-function/)
- [實函數的點值與連續](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-continuity/)
- [去心實數論域的函數極限](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-limit/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)
- [σ-代數與測度空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sigma-algebra-measure-space/)







## [標準常態分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-standard-normal-distribution/)

標準常態Z以Gaussian density phi(x)=(2pi)^(-1/2)exp(-x^2/2)與其連續CDF Phi定義，並具有mean 0、variance 1。

atlas-standard-normal-distribution · canonical_mko

[標準常態分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-standard-normal-distribution/)

## 前置節點


- [連續實值分布函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-continuous-real-distribution-function/)
- [瑕積分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-improper-integral/)
- [實指數函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-exponential-function/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variance/)







## [有限變異數IID中央極限定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-central-limit-theorem-finite-variance-iid/)

共同law且0<σ²<∞的無限IID序列，其正確中心化與sqrt(n)標準化和依分布收斂至標準常態。

atlas-central-limit-theorem-finite-variance-iid · canonical_mko

[有限變異數IID中央極限定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-central-limit-theorem-finite-variance-iid/)

## 前置節點


- [獨立同分布序列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-iid-sequence/)
- [依分布收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-convergence-in-distribution/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variance/)
- [標準常態分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-standard-normal-distribution/)
- [σ-代數與測度空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sigma-algebra-measure-space/)
- [二項式定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-binomial-theorem/)







## [有限值IID強大數律](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-strong-law-large-numbers-finite-valued-iid/)

有限值無限IID序列的樣本平均幾乎必然收斂至共同期望。

atlas-strong-law-large-numbers-finite-valued-iid · canonical_mko

[有限值IID強大數律](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-strong-law-large-numbers-finite-valued-iid/)

## 前置節點


- [獨立同分布序列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-iid-sequence/)
- [幾乎必然收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-almost-sure-convergence/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [σ-代數與測度空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sigma-algebra-measure-space/)
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-variance/)







## [有限模型最大似然估計量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-maximum-likelihood-estimator/)

有限參數模型中，MLE選取使觀察likelihood最大的參數，tie需固定且與theta無關。

atlas-finite-maximum-likelihood-estimator · canonical_mko

[有限模型最大似然估計量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-maximum-likelihood-estimator/)

## 前置節點


- [參數統計模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-parametric-statistical-model/)
- [統計估計量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-statistical-estimator/)
- [最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-optimization-problem/)







## [估計量均方誤差](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-estimator-mean-squared-error/)

scalar parameter theta下，估計量T的MSE_theta(T)=E_theta[(T-theta)^2]由完整sampling distribution逐theta定義。

atlas-estimator-mean-squared-error · canonical_mko

[估計量均方誤差](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-estimator-mean-squared-error/)

## 前置節點


- [估計量偏誤](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-estimator-bias/)
- [估計量變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-estimator-variance/)
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-expectation/)
- [抽樣分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sampling-distribution/)
- [參數統計模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-parametric-statistical-model/)







## [偏誤－變異數分解](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-bias-variance-decomposition/)

逐參數theta，scalar estimator的MSE等於其variance加上bias平方。

atlas-bias-variance-decomposition · canonical_mko

[偏誤－變異數分解](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bias-variance-decomposition/)

## 前置節點


- [估計量均方誤差](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-estimator-mean-squared-error/)
- [估計量偏誤](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-estimator-bias/)
- [估計量變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-estimator-variance/)







## [有限模型充分統計量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-sufficient-statistic/)

finite model中，給定statistic value後sample conditional law不依theta時，T對theta充分。

atlas-finite-sufficient-statistic · canonical_mko

[有限模型充分統計量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-sufficient-statistic/)

## 前置節點


- [參數統計模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-parametric-statistical-model/)
- [統計估計量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-statistical-estimator/)
- [抽樣分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sampling-distribution/)
- [有限模型的條件機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-conditional-probability/)







## [有限模型信賴區間覆蓋率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-confidence-interval-coverage/)

有限模型中預先固定的interval-valued procedure逐參數覆蓋真值的機率，定義其frequentist coverage。

atlas-finite-confidence-interval-coverage · canonical_mko

[有限模型信賴區間覆蓋率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-confidence-interval-coverage/)

## 前置節點


- [抽樣分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sampling-distribution/)
- [統計估計量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-statistical-estimator/)
- [參數統計模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-parametric-statistical-model/)
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-probability/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [鴿籠原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-pigeonhole-principle/)

有限total map的domain比codomain大時必有兩個不同元素共享像。

atlas-pigeonhole-principle · canonical_mko

[鴿籠原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-pigeonhole-principle/)

## 前置節點


- [基本計數原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-counting-principle/)
- [集合基數比較](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cardinality-comparison/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [容斥原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-inclusion-exclusion-principle/)

有限indexed set family的union cardinality是全部非空index subsets交集大小的交替和。

atlas-inclusion-exclusion-principle · canonical_mko

[容斥原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-inclusion-exclusion-principle/)

## 前置節點


- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set-operations/)
- [基本計數原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-counting-principle/)
- [集合基數比較](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cardinality-comparison/)
- [數學歸納法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mathematical-induction/)







## [二項式定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-binomial-theorem/)

交換乘法環境中，natural exponent n的二項式冪以binomial coefficients完整展開。

atlas-binomial-theorem · canonical_mko

[二項式定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/)

## 前置節點


- [排列與組合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-permutation-combination/)
- [數學歸納法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mathematical-induction/)
- [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-polynomial/)







## [遞迴關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-recurrence-relation/)

order-r recurrence以明示initial values與total single-valued state update逐項決定sequence。

atlas-recurrence-relation · canonical_mko

[遞迴關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/)

## 前置節點


- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [解析普通生成函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-analytic-ordinary-generating-function/)

數列(a_n)在明示收斂域內以ordinary power series A(x)=sum_{n≥0}a_nx^n解析編碼。

atlas-analytic-ordinary-generating-function · canonical_mko

[解析普通生成函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-analytic-ordinary-generating-function/)

## 前置節點


- [遞迴關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-recurrence-relation/)
- [冪級數收斂半徑](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-series-radius-of-convergence/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)







## [Catalan數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-catalan-numbers/)

Catalan數採C_0=1，並以convolution recurrence或兩個exact closed forms定義同一zero-based sequence。

atlas-catalan-numbers · canonical_mko

[Catalan數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-catalan-numbers/)

## 前置節點


- [遞迴關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-recurrence-relation/)
- [二項式定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-binomial-theorem/)
- [基本計數原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-counting-principle/)
- [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-divisibility/)







## [頂點覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vertex-cover/)

有限simple undirected graph的頂點子集C若與每條edge至少一端相交，則C為vertex cover。

atlas-vertex-cover · canonical_mko

[頂點覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-vertex-cover/)

## 前置節點


- [有限簡單無向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-graph/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)







## [最小頂點覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-minimum-vertex-cover/)

有限simple graph中，cardinality在全部vertex covers裡最小的候選是minimum vertex cover。

atlas-minimum-vertex-cover · canonical_mko

[最小頂點覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-minimum-vertex-cover/)

## 前置節點


- [頂點覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vertex-cover/)
- [最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-optimization-problem/)
- [集合基數比較](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cardinality-comparison/)







## [有限有向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-directed-graph/)

有限loop-free simple digraph由有限vertices與不含loop、無平行同向重邊的ordered-pair edge set組成。

atlas-finite-directed-graph · canonical_mko

[有限有向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-directed-graph/)

## 前置節點


- [二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-relation/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [集合基數比較](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-cardinality-comparison/)







## [有向無環圖的拓撲排序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-topological-ordering-dag/)

有限有向圖存在topological ordering恰當其無directed cycle。

atlas-topological-ordering-dag · canonical_mko

[有向無環圖的拓撲排序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-ordering-dag/)

## 前置節點


- [有限有向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-directed-graph/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)
- [算法正確性](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-algorithm-correctness/)
- [數學歸納法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mathematical-induction/)







## [有限流網路](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-flow-network/)

有限有向網路中的非負流須逐邊不超過capacity，並在source與sink以外每個頂點滿足流量守恆。

atlas-finite-flow-network · canonical_mko

[有限流網路](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-flow-network/)

## 前置節點


- [有限有向圖](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-directed-graph/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [線性規劃](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-programming/)







## [最大流最小割定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-max-flow-min-cut-theorem/)

有限容量網路的最大feasible flow value等於全部s–t cuts中的最小capacity。

atlas-max-flow-min-cut-theorem · canonical_mko

[最大流最小割定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-max-flow-min-cut-theorem/)

## 前置節點


- [有限流網路](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-flow-network/)
- [最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-optimization-problem/)
- [線性規劃](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-programming/)







## [Euler定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euler-theorem-number-theory/)

n>=2且gcd(a,n)=1時，a的phi(n)次方模n同餘於1。

atlas-euler-theorem-number-theory · canonical_mko

[Euler定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-theorem-number-theory/)

## 前置節點


- [Euler φ函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euler-totient-function/)
- [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gcd-coprime/)
- [自然數模同餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-modular-congruence/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)







## [模n乘法階](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-multiplicative-order-mod-n/)

gcd(a,n)=1時，ord_n(a)是a^k≡1 mod n的最小正整數k。

atlas-multiplicative-order-mod-n · canonical_mko

[模n乘法階](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-multiplicative-order-mod-n/)

## 前置節點


- [模反元素](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-modular-inverse/)
- [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gcd-coprime/)
- [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-divisibility/)
- [Euler定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euler-theorem-number-theory/)







## [整數唯一質因數分解](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-unique-prime-factorization/)

每個n>1有prime factorization且prime multiset唯一，只允許因數次序差異。

atlas-unique-prime-factorization · canonical_mko

[整數唯一質因數分解](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-unique-prime-factorization/)

## 前置節點


- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-prime-number/)
- [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-divisibility/)
- [數學歸納法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mathematical-induction/)
- [Euclidean演算法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euclidean-algorithm/)
- [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gcd-coprime/)







## [Wilson定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-wilson-theorem/)

整數n>1為質數，恰當(n-1)!模n同餘於-1。

atlas-wilson-theorem · canonical_mko

[Wilson定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-wilson-theorem/)

## 前置節點


- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-prime-number/)
- [自然數模同餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-modular-congruence/)
- [階乘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-factorial/)
- [模反元素](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-modular-inverse/)







## [二次剩餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quadratic-residue/)

本節點採odd prime p上的nonzero convention：a mod p非零且等於某個nonzero square時為quadratic residue。

atlas-quadratic-residue · canonical_mko

[二次剩餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-residue/)

## 前置節點


- [自然數模同餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-modular-congruence/)
- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-prime-number/)
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-power-root/)







## [Legendre符號](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-legendre-symbol/)

對奇質數p，Legendre符號以0、1、-1分別編碼zero class、nonzero quadratic residue與nonresidue。

atlas-legendre-symbol · canonical_mko

[Legendre符號](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-legendre-symbol/)

## 前置節點


- [二次剩餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quadratic-residue/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [Euler二次剩餘判準](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euler-criterion-quadratic-residue/)

若p為奇質數且p不整除a，則a^((p-1)/2)模p等於Legendre符號(a/p)的模p代表。

atlas-euler-criterion-quadratic-residue · canonical_mko

[Euler二次剩餘判準](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-criterion-quadratic-residue/)

## 前置節點


- [Euler定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-euler-theorem-number-theory/)
- [二次剩餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quadratic-residue/)
- [Legendre符號](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-legendre-symbol/)







## [整數p進賦值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-p-adic-valuation-integers/)

對質數p與非零整數a，v_p(a)是p整除|a|的最高次數；本節固定v_p(0)=infinity。

atlas-p-adic-valuation-integers · canonical_mko

[整數p進賦值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-p-adic-valuation-integers/)

## 前置節點


- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-prime-number/)
- [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-divisibility/)
- [整數唯一質因數分解](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-unique-prime-factorization/)
- [整數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-integer/)
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-absolute-value/)







## [Möbius函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mobius-function/)

Möbius函數在positive integers上由完整prime multiplicities決定：mu(1)=1、含平方質因數為0、squarefree取parity sign。

atlas-mobius-function · canonical_mko

[Möbius函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mobius-function/)

## 前置節點


- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-prime-number/)
- [整數唯一質因數分解](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-unique-prime-factorization/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)







## [有限因數格上的Möbius反演](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mobius-inversion-finite-divisors/)

若F(n)是所有正因數d上的f(d)總和，則以Möbius權重可精確反演f(n)。

atlas-mobius-inversion-finite-divisors · canonical_mko

[有限因數格上的Möbius反演](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mobius-inversion-finite-divisors/)

## 前置節點


- [Möbius函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mobius-function/)
- [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-natural-divisibility/)
- [基本計數原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-counting-principle/)







## [正規表示式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-regular-expression/)

正規表示式由empty language、epsilon、alphabet symbols、union、concatenation與Kleene star遞迴建構語言。

atlas-regular-expression · canonical_mko

[正規表示式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-regular-expression/)

## 前置節點


- [正規語言](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-regular-language/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [數學歸納法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mathematical-induction/)







## [非確定有限自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-nondeterministic-finite-automaton/)

epsilon-NFA以狀態、input symbol或epsilon對應可能後繼集合，存在一條full-input final path即接受。

atlas-nondeterministic-finite-automaton · canonical_mko

[非確定有限自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-nondeterministic-finite-automaton/)

## 前置節點


- [確定有限自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-automaton/)
- [二元關係與集合投影](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-relation/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)







## [NFA到DFA的子集合構造](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset-construction-nfa-to-dfa/)

以epsilon-NFA狀態子集合為DFA狀態，start、transition與acceptance按epsilon closure定義即可保持語言。

atlas-subset-construction-nfa-to-dfa · canonical_mko

[NFA到DFA的子集合構造](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-subset-construction-nfa-to-dfa/)

## 前置節點


- [非確定有限自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-nondeterministic-finite-automaton/)
- [確定有限自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-automaton/)
- [子集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-subset/)







## [正規語言Pumping引理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-pumping-lemma-regular-languages/)

每個正規語言都有p，使每個長度至少p的成員word存在可反覆pumping且仍留在語言的分解。

atlas-pumping-lemma-regular-languages · canonical_mko

[正規語言Pumping引理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-pumping-lemma-regular-languages/)

## 前置節點


- [正規語言](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-regular-language/)
- [確定有限自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-automaton/)
- [數學證明](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-proof/)
- [鴿籠原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-pigeonhole-principle/)
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-quantifier/)
- [數學歸納法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-mathematical-induction/)







## [上下文無關文法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-context-free-grammar/)

CFG由有限且不交的nonterminals、terminals、start與單一nonterminal左側的finite productions生成語言。

atlas-context-free-grammar · canonical_mko

[上下文無關文法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-context-free-grammar/)

## 前置節點


- [抽象計算模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-computational-model/)
- [集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-set/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)







## [下推自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-pushdown-automaton/)

nondeterministic PDA以有限控制、input與stack transitions運算，本輪固定讀完input且到final state接受。

atlas-pushdown-automaton · canonical_mko

[下推自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-pushdown-automaton/)

## 前置節點


- [抽象計算模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-computational-model/)
- [確定有限自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-automaton/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [上下文無關文法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-context-free-grammar/)







## [Turing機判定模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-turing-machine-decision-model/)

固定deterministic single-tape Turing機語義；decider必須對每個合法輸入停機並給正確accept/reject答案。

atlas-turing-machine-decision-model · canonical_mko

[Turing機判定模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-turing-machine-decision-model/)

## 前置節點


- [抽象計算模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-computational-model/)
- [決定問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-decision-problem/)
- [確定有限自動機](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-finite-automaton/)
- [算法正確性](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-algorithm-correctness/)







## [多對一歸約](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-many-one-reduction/)

A≤mB表示存在total computable f，使每個x皆滿足x∈A恰當f(x)∈B。

atlas-many-one-reduction · canonical_mko

[多對一歸約](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-many-one-reduction/)

## 前置節點


- [決定問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-decision-problem/)
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-function-mapping/)
- [函數合成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-composition/)
- [Turing機判定模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-turing-machine-decision-model/)







## [壓縮映射定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-contraction-mapping-theorem/)

非空完備度量空間上的self-map若以固定q<1壓縮所有距離，則有唯一fixed point且Picard orbit收斂。

atlas-contraction-mapping-theorem · canonical_mko

[壓縮映射定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-contraction-mapping-theorem/)

## 前置節點


- [軌道、固定點與週期點](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-orbit-fixed-periodic/)
- [完備度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-complete-metric-space/)
- [度量空間中的收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-metric-convergence/)
- [無窮級數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-infinite-series/)







## [Newton根求解方法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-newton-method/)

在導數非零的目前點，以切線零點更新x至x-f(x)/f'(x)；收斂是另需局部假設的責任。

atlas-newton-method · canonical_mko

[Newton根求解方法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-newton-method/)

## 前置節點


- [實函數在一點的導數與差商](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative/)
- [數值近似與誤差](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-numerical-approximation-error/)
- [算法正確性](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-algorithm-correctness/)
- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-equation/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [多項式的和、乘積與合成微分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-derivative-rules/)







## [複合梯形數值積分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-trapezoidal-quadrature/)

在嚴格遞增partition上逐段以端點平均乘各自寬度，得到定積分的複合梯形近似。

atlas-trapezoidal-quadrature · canonical_mko

[複合梯形數值積分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-trapezoidal-quadrature/)

## 前置節點


- [有限區間上的多項式定積分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-definite-integral/)
- [數值近似與誤差](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-numerical-approximation-error/)
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-arithmetic-operations/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)







## [梯度向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gradient-vector/)

在固定standard Euclidean coordinates中，可微實值函數的一階偏導依座標排列成梯度向量。

atlas-gradient-vector · canonical_mko

[梯度向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gradient-vector/)

## 前置節點


- [偏導數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-partial-derivative/)
- [固定基底下的平面向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-vector/)
- [多變數實函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-multivariable-real-function/)







## [梯度下降法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gradient-descent/)

在固定Euclidean coordinates中以正步長沿負梯度更新；下降與收斂仍需目標及步長假設。

atlas-gradient-descent · canonical_mko

[梯度下降法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gradient-descent/)

## 前置節點


- [梯度向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gradient-vector/)
- [最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-optimization-problem/)
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-sequence/)
- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-real-vector-space/)







## [等式約束Lagrange乘數必要條件](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-lagrange-multiplier-condition/)

正則等式約束局部極值點的目標梯度，必為constraint gradients的線性組合。

atlas-lagrange-multiplier-condition · canonical_mko

[等式約束Lagrange乘數必要條件](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-lagrange-multiplier-condition/)

## 前置節點


- [梯度向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-gradient-vector/)
- [最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-optimization-problem/)
- [二元聯立一次方程組與退化邊界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-system-linear-equations/)
- [矩陣秩](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-matrix-rank/)
- [線性獨立與基底](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-independence-basis/)







## [線性規劃標準形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-program-standard-form/)

本節點固定唯一primal convention：maximize c^T x，subject to Ax≤b與x≥0。

atlas-linear-program-standard-form · canonical_mko

[線性規劃標準形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-program-standard-form/)

## 前置節點


- [線性規劃](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-programming/)
- [有限矩陣的尺寸、索引與轉置](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-matrix/)
- [二元聯立一次方程組與退化邊界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-system-linear-equations/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)







## [線性規劃對偶](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-program-duality/)

對固定primal max c^Tx、Ax≤b、x≥0，其dual為min b^Ty、A^Ty≥c、y≥0；feasible pair滿足弱對偶。

atlas-linear-program-duality · canonical_mko

[線性規劃對偶](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-program-duality/)

## 前置節點


- [線性規劃標準形](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-linear-program-standard-form/)
- [最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-optimization-problem/)
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/atlas/atlas-order-relation/)