# 絕對收斂與交錯調和的雙證書 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-convergence-of-series/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-absolute-convergence-of-series-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 區分負比幾何級數的絕對收斂與交錯調和的條件收斂。 精確幾何尾與調和分塊；條件收斂須同時證原級數收斂及絕對級數發散。 ## 已知條件與符號 - algebra - epsilon - monotone_complete - definition_here - G1 — a_n=(-1/2)^n（n≥0）；b_n=(-1)^{n+1}/n（n≥1）。 - B_N — 交錯調和部分和 - B — 已證存在的極限 ## 規則與來源 - mko_definition · cited — 幾何級數用|r|<1證絕對收斂；交錯harmonic以alternating remainder證原級數收斂、以harmonic divergence證非絕對。bounded terms、term→0、|partial sum|皆不足。 · mko-absolute-convergence-of-series - algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。 - epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。 - monotone_complete · prerequisite — 實數單調有界數列收斂；非負級數的部分和單調遞增。 - definition_here · prerequisite — 絕對收斂是逐項絕對值級數收斂；條件收斂是原級數收斂且逐項絕對值級數不收斂。 ## 逐步主鏈 S01 · equivalent操作前 |a_n|=2^{-n} 操作後 \sum_{n=0}^{N}|a_n|=2-2^{-N} 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 由有限幾何相減公式求全部絕對值部分和。 S02 · implies操作前 2^{-N}\le1/(N+1)\to0 操作後 \sum_{n=0}^{\infty}|a_n|=2 條件：無 規則：epsilon · 依賴：S01 葉節點依據：epsilon 2^N≥N+1 可歸納證，故餘項全尾趨零，a 級數絕對收斂。 S03 · implies操作前 B_{2m}=\sum_{n=1}^{2m}b_n 操作後 B_{2(m+1)}-B_{2m}=1/(2m+1)-1/(2m+2)>0 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 偶數部分和遞增，因每一對項差為正。 S04 · implies操作前 B_{2m+1}=B_{2m}+1/(2m+1) 操作後 0\le B_{2m}