# 逐原子尾端與零質量例外

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derivation-mko-almost-sure-convergence-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

完整列出每個原子的收斂或失敗證書。

有限原子空間；不否認此空間可有更強模式等價。





## 已知條件與符號


- work


- G1 — Ω={a,b,z}，質量(1/3,2/3,0)，X=(1,-2,0)。n≥1時X_n(a)=1+1/(n+1)，X_n(b)=-1若n<4、否則-2，X_n(z)=(-1)^n。


- C — 收斂事件
- z — 零質量例外





## 規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。


- mko_definition · cited — 本輪用完整有限原子機率空間與每個原子的 symbolic eventual certificate。所有正質量原子都須收斂；零質量原子失敗可忽略。有限 prefix 本身不能證明無限尾端收斂；一般機率空間中，單獨依機率收斂不保證 a.s. 收斂。這並非否認固定有限原子空間中可證得的額外等價關係。 · mko-almost-sure-convergence
- work · prerequisite — a.s.收斂定義為收斂原子集合的機率為1；有理尾端1/(n+1)趨零；有限原子事件機率可加。





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

1/3+2/3+0=1

操作後

X_n,X\text{ share a complete finite space}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, work

葉節點依據：work

包含零質量原子z，所有函數都在同一carrier定義。



S02 · implies操作前

|X_n(a)-X(a)|=1/(n+1)

操作後

N_a(\varepsilon)=\lfloor1/\varepsilon\rfloor+1

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S01, work

葉節點依據：work

對任意正epsilon，取Na使n≥Na時誤差小於epsilon。



S03 · implies操作前

n\ge4

操作後

|X_n(b)-X(b)|=0

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S02, work

葉節點依據：work

b有固定settling index4，之後完全相等。



S04 · implies操作前

X_n(z)=(-1)^n,\quad X(z)=0

操作後

|X_n(z)-X(z)|=1\quad(n\ge1)

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S03, work

葉節點依據：work

z的偏差永為1，取epsilon=1/2即可否證收斂。



S05 · implies操作前

C=\{\omega:\lim_nX_n(\omega)=X(\omega)\}

操作後

C=\{a,b\}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S04, work

葉節點依據：work

逐原子的證書完整確定收斂事件。



S06 · implies操作前

P(C)=P(a)+P(b)

操作後

P(C)=1/3+2/3=1

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S05, work

葉節點依據：work

正質量原子都收斂，失敗原子總質量零。



S07 · implies操作前

\omega\in\{a,b\},\quad\varepsilon>0

操作後

N=\max(4,N_a(\varepsilon))\implies\forall n\ge N:\ |X_n(\omega)-X(\omega)|<\varepsilon

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S06, work

葉節點依據：work

有限正質量原子可取settling indices最大值。



S08 · implies操作前

P(C)=1

操作後

X_n\to X\quad\text{almost surely, but not at every atom}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S07, work

葉節點依據：work

依定義得a.s.結論，同時保留z的點態失敗。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S07, work — 一般空間依機率不必推a.s.；本證明未使用那種反推。
- S07 · premise_audit · G1, S06, work — N不需要控制null原子z。
- S06 · premise_audit · G1, S05, work — a.s.要求事件質量一，不要求每一原子成功。
- S05 · premise_audit · G1, S04, work — 三個原子均已分類，沒有未檢情況。
- S04 · premise_audit · G1, S03, work — 不是只靠兩個交替prefix值判失敗，而是全稱幅度公式。
- S03 · premise_audit · G1, S02, work — n<4的誤差不影響極限。
- S02 · premise_audit · G1, S01, work — 明示全n公式，非觀察有限下降值。
- S01 · premise_audit · G1, work — 零質量不表示可把函數定義域省掉z。





## 錯誤控制與反例

原子完整明列a、b、z各自證書與質量。

零例外只用P(z)=0，不把z改成成功。


- z失敗，所以不a.s.收斂。 → reject — z的質量為零。
- a的前十項下降就足夠。 → reject — 須有所有n的尾端公式。
- 任何正質量失敗原子也可忽略。 → reject — 會使收斂事件機率小於1。





## 結論與限制

X_n幾乎必然收斂到X，但在z不收斂到X(z)。







## 驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 3bfd2d93c37eb13f7cc40e68a875122d14fc7f1f9b305f29c6ec8ff8ffa5c31f
- original source SHA-256: 8d9e3b1381f3078075387e487049809a4fa02441061159df5169123448600ecb
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-almost-sure-convergence-01.json)