# 選取y因子的完整二項展開 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-binomial-theorem-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 證一般係數責任並完整展開n=4。 n非負整數，x、y可交換；不含非整數指數。 ## 已知條件與符號 - work - G1 — n∈N0，x、y位於commutative real polynomial ring；實例n=4。 - k — y因子數 - S — 選y的位置子集 ## 規則與來源 本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。 - mko_definition · cited — n∈N_0，(x+y)^n=sum_{k=0}^n C(n,k)x^(n-k)y^k，coefficients exact且indices/exponents不可錯置。n=0給constant1。combinatorial witness選k個y factors；negative/noninteger exponent與noncommuting variables不在本輪。 · mko-binomial-theorem - work · prerequisite — 有限分配律、可交換乘法、大小k子集數comb(n,k)=n!/[k!(n-k)!]；空乘積為1。 ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 (x+y)^n=\prod_{i=1}^{n}(x+y) 操作後 \sum_{S\subseteq\{i\in\mathbb Z:1\le i\le n\}}x^{n-|S|}y^{|S|} 條件：無 規則：work · 依賴：G1, work 葉節點依據：work 每個factor選x或y，以選y的位置集合S索引完整分配展開。 S02 · implies操作前 |S|=k 操作後 \#\{S:|S|=k\}=\binom nk,\quad x^{n-|S|}y^{|S|}=x^{n-k}y^k 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S01, work 葉節點依據：work 按y因子數k分組，每組有comb(n,k)項。 S03 · implies操作前 k\in\{j\in\mathbb Z:0\le j\le n\} 操作後 (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk x^{n-k}y^k 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S02, work 葉節點依據：work 所有子集依大小partition，包含k=0與k=n兩端。 S04 · implies操作前 n=4,\quad k=0,1,2,3,4 操作後 \binom40,\binom41,\binom42,\binom43,\binom44=1,4,6,4,1 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S03, work 葉節點依據：work 以factorial組合公式完整求五個係數。 S05 · implies操作前 (x+y)^4 操作後 x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S04, work 葉節點依據：work 將全部係數與正確指數配對。 S06 · implies操作前 x=2,\quad y=-1 操作後 (2-1)^4=16-32+24-8+1=1 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S05, work 葉節點依據：work 有負y的exact evaluation核符號與端點。 S07 · implies操作前 n=0 操作後 (x+y)^0=1=\binom00x^0y^0 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S06, work 葉節點依據：work 空乘積與唯一空子集給constant1。 S08 · implies操作前 xy\ne yx\quad\text{(outside scope)} 操作後 (x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2\text{ need not equal }x^2+2xy+y^2 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S07, work 葉節點依據：work 列出noncommuting邊界，定位分組所需假設。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · G1, S07, work — 不把commutative證明外推矩陣。 - S07 · premise_audit · G1, S06, work — 這是polynomial identity，包含x+y=0時的常數多項式約定。 - S06 · premise_audit · G1, S05, work — 奇次y項負、偶次項正。 - S05 · premise_audit · G1, S04, work — 每monomial總degree皆4。 - S04 · premise_audit · G1, S03, work — 中間係數6不是4。 - S03 · premise_audit · G1, S02, work — 指數由選y的k決定，不交換角色。 - S02 · premise_audit · G1, S01, work — commutativity讓不同位置選擇合併為同一monomial。 - S01 · premise_audit · G1, work — index set是全部1≤i≤n整數；每個factor選擇都保留。 ## 錯誤控制與反例 指數k個y對應x^(n-k)y^k。 完整係數五項包括兩個端點；exact polynomial grid僅核n=4 identity。 - (x+y)^4只有x4+y4。 → reject — x=y=1時左16、右2。 - n=-1仍是同一有限展開。 → reject — n屬N0是必要scope，負指數不是此polynomial。 - 任意矩陣x、y也可合併xy與yx。 → reject — 不交換時xy與yx可不同。 ## 結論與限制 按子集完整證二項公式；n=4係數為1、4、6、4、1。 ## 驗證及來源綁定 2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: ee47015e5d6cac87bd69650c5b71ea2b0a20f9578bdc2c3e785bdccb17535ada - original source SHA-256: a2fc26decd1525ce395cef607d62fc498d1cac913a33f9d6de68ffd0ffe794d8 - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-binomial-theorem-01.json)