# Catalan卷積與整除證書 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-catalan-numbers/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-catalan-numbers-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 從C0完整生成C4並核兩個closed forms。 n=4 exact例與一般整除identity；不證所有Catalan bijections。 ## 已知條件與符號 - work - G1 — C0=1，所有n≥0用C_(n+1)=sum_(i=0)^n C_i C_(n-i)。本例比較n=4的兩個已引用Catalan closed forms。 - C_n — 0-based Catalan序列 ## 規則與來源 - mko_definition · cited — C_(n+1)=sum_{i=0}^n C_i C_(n-i)；C_n=binomial(2n,n)/(n+1)=binomial(2n,n)-binomial(2n,n+1)。division前必須驗(n+1)整除binomial(2n,n)，不可依integer truncation。domain n≥0且不可混用C_0/C_1 index convention。 · mko-catalan-numbers - work · prerequisite — 有限卷積定義；binomial factorial identity與超過上標時comb=0 convention；Catalan兩closed forms以本MKO為已引用事實，非此例證明的一般定理。 ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 C_0=1 操作後 C_1=C_0C_0=1 條件：無 規則：work · 依賴：G1, work 葉節點依據：work 先固定從0起算，不混C1 convention。 S02 · implies操作前 C_2=C_0C_1+C_1C_0 操作後 C_2=2 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S01, work 葉節點依據：work n=1完整兩split。 S03 · implies操作前 C_3=C_0C_2+C_1C_1+C_2C_0 操作後 C_3=2+1+2=5 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S02, work 葉節點依據：work n=2的三split均列出。 S04 · implies操作前 C_4=C_0C_3+C_1C_2+C_2C_1+C_3C_0 操作後 C_4=5+2+2+5=14 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S03, work 葉節點依據：work n=3的四split完整求得14。 S05 · implies操作前 \binom84=8!/(4!4!) 操作後 \binom84=70,\quad70\bmod5=0 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S04, work 葉節點依據：work 先算central binomial並核餘數零，再允許整數除法。 S06 · implies操作前 \binom84/(4+1) 操作後 70/5=14=C_4 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S05, work 葉節點依據：work 有整除資格後核第一closed form在n=4的值。 S07 · implies操作前 \binom85=56 操作後 \binom84-\binom85=70-56=14 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S06, work 葉節點依據：work 第二closed form給同一整數並獨立核對。 S08 · implies操作前 \binom{2n}{n+1}=\binom{2n}{n}\frac{n}{n+1}\quad(n\ge0) 操作後 \binom{2n}{n}-\binom{2n}{n+1}=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}\in\mathbb Z 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S07, work 葉節點依據：work factorial比值給identity；整數差證一般整除性，n=0用comb(0,1)=0。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · G1, S07, work — 這證integrality，不把它誤稱卷積closed form的完整一般證明。 - S07 · premise_audit · G1, S06, work — 下標n+1=5不能誤用n-1。 - S06 · premise_audit · G1, S05, work — 此數值吻合不單獨證closed form對全部n。 - S05 · premise_audit · G1, S04, work — 不可用截斷商冒充整除證書。 - S04 · premise_audit · G1, S03, work — 不是只加左右兩端得10。 - S03 · premise_audit · G1, S02, work — 中間split不可漏。 - S02 · premise_audit · G1, S01, work — 兩項相同仍各有一個index。 - S01 · premise_audit · G1, work — 空物件的C0不是零。 ## 錯誤控制與反例 indexC4使用n=3的卷積與n=4的closed form。 exact除法先70 mod5=0，後70/5=14。 - C0=0仍給相同序列。 → reject — 第一卷積即給C1=0而不是1。 - 70//5可代替餘數檢查的一般責任。 → reject — 截斷運算本身不證整除，須另核remainder0。 - C4只需C0C3+C3C0=10。 → reject — 中間兩split各給2，正確14。 ## 結論與限制 C4=14，central coefficient70可被5整除，且70-56=14。 ## 驗證及來源綁定 4 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: 7522ef04029fd7f26aab4081199d43b82a2d2f70998d7d556d7c788ecb395599 - original source SHA-256: ed47d97d69cfdf0cb831c56ec2b237fbcd2f49986cf1490c20647d56623f8552 - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-catalan-numbers-01.json)