# prime因子的exact-order witnesses

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這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。

derivation-mko-cauchy-theorem-finite-groups-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

此六元素群的prime divisors2、3分別有s與r的exact-order witnesses；無order6元素。

完整指定有限模型的元素階窮舉，不以此取代一般Cauchy證明。





## 已知條件與符號


- calc


- G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。


- G — 六元素群載體
- r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
- p — prime divisor
- \operatorname{ord}(g) — 最小正identity回返冪





## 規則與來源


- calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
- mko_definition · cited — G須由完整Cayley table認證為有限群，p須為質數且p整除|G|。結論是存在g使g^p=e且對每個1≤k<p皆有g^k≠e，故ord(g)=p。本輪完整有限枚舉只為指定model產生element-order witness，不取代一般定理證明；不得外推為每個合數d整除|G|就必有order-d元素。 · mko-cauchy-theorem-finite-groups





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

操作後

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1

葉節點依據：calc

將給定配對公式逐36對展開，全部輸出在同一六元素載體，沒有缺格。



S02 · implies操作前

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

操作後

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01

葉節點依據：calc

兩種括號的座標公式相同，證全部216 triples結合律；(0,0)兩側中性，列出的逆元兩側乘回(0,0)。



S03 · implies操作前

|G|=6

操作後

6=2\cdot3,\quad2,3\text{ prime},\quad2\mid6,3\mid6

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01, S02

葉節點依據：calc

完整群有六元素，prime divisor只有2與3，兩個均符合定理前提。



S04 · implies操作前

p=2,\quad g=s

操作後

s^1=s\ne e,\quad s^2=e\Rightarrow\operatorname{ord}(s)=2

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01, S03

葉節點依據：calc

列出全部較小正冪k=1及第2冪回返，得到exact2而非僅g²=e。



S05 · implies操作前

p=3,\quad g=r

操作後

r^1=r\ne e,\quad r^2\ne e,\quad r^3=e\Rightarrow\operatorname{ord}(r)=3

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01, S03

葉節點依據：calc

兩個全部較小正冪都非identity，第3冪回返，得到exact3。



S06 · implies操作前

g=e,r,r^2,s,rs,r^2s

操作後

\operatorname{ord}(g)=1,3,3,2,2,2\text{ respectively}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01, S02, S04, S05

葉節點依據：calc

r²的冪為r²,r,e；三個reflection各第1冪非e、第2冪e，完整六項階表。



S07 · implies操作前

6\mid|G|,\quad6\notin\{1,2,3\}

操作後

\nexists g\in G:\operatorname{ord}(g)=6

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S03, S06

葉節點依據：calc

完整階表排除composite divisor6的元素，展示prime結論不可擴成任意divisor。



S08 · implies操作前

p\in\{2,3\}\text{ prime divisor of }6

操作後

\exists g\in G:\ g^p=e\text{ and }g^k\ne e\ (1\le k<p)

條件：無

規則：mko_definition · 依賴：G1, S03, S04, S05, S06, S07

葉節點依據：mko_definition

兩prime各有完整exact-order witness，認證此模型的Cauchy實例。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S03, S04, S05, S06, S07 — 一般每個有限群的定理仍需一般證明；此稿不把有限表代替。
- S07 · premise_audit · G1, S03, S06 — 這個不存在性由六元素完整窮舉成立，不是假借Cauchy converse。
- S06 · premise_audit · G1, S01, S02, S04, S05 — 每個元素都出現一次，非只測生成元r、s。
- S05 · premise_audit · G1, S01, S03 — 只寫r³=e不夠；e也滿足同式卻只有order1。
- S04 · premise_audit · G1, S01, S03 — s與e是不同table labels，排除了order1。
- S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — 6也整除6但不是prime，不能把它當Cauchy的p。
- S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
- S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。





## 錯誤控制與反例

同一群表全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。


- e^3=e故e有order3。 → reject — e^1=e，最小正回返是1。
- 6整除群階所以有order6元素。 → reject — 完整六項階表沒有6。
- 一個六元素例子已證一般Cauchy定理。 → reject — 只證指定model，所有群的全稱責任未被枚舉。





## 結論與限制

此六元素群的prime divisors2、3分別有s與r的exact-order witnesses；無order6元素。







## 驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 9540176dd0ce1cca78a7c16996e5fc3ace68a2130c439dd5bdcc4779f164108a
- original source SHA-256: 9540176dd0ce1cca78a7c16996e5fc3ace68a2130c439dd5bdcc4779f164108a
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-cauchy-theorem-finite-groups-01.json)