# 有限variance IID的CLT資格與格點audit

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derivation-mko-central-limit-theorem-finite-variance-iid-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

清楚區分finite-n moments與named CLT應用。

CLT為明示named theorem前提；不宣稱此處完整證明。





## 已知條件與符號


- work


- G1 — 在一個已給定機率空間上，(X_i)_{i≥1}為無限IID序列，對任意有限不同indices的joint law都因子分解為Bernoulli(1/2)的乘積。此為全序列前提，不從有限資料估出。


- S_n — 部分和
- Z_n — 正確標準化
- Φ — standard normal CDF





## 規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。


- mko_definition · cited — 明示無限IID process certificate、共同finite law、mu與0<sigma^2<infinity。令S_n=sum_{i=1}^n X_i，標準化Z_n=(S_n-n*mu)/(sigma*sqrt(n))，則對標準常態CDF的連續點z有P(Z_n≤z)→Phi(z)。exact families完整重算finite law moments、Z_n的mean 0／variance 1與Bernoulli sum lattice；另有完整hypotheses-to-named-theorem symbolic application。有限binomial table不是normal approximation或convergence evidence；non-IID只表示本定理不可套用，zero variance使標準化失效，wrong scaling與finite histogram均不得冒充CLT。 · mko-central-limit-theorem-finite-variance-iid
- work · prerequisite — 明示named theorem前提：無限IID且0<σ²<∞時，中心化和除σ√n依分布收斂到standard normal；另假設獨立variance加法與binomial law。





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

X_i\sim\operatorname{Bernoulli}(1/2)

操作後

\mu=1/2,\quad\sigma^2=1/4\in(0,\infty)

條件：無

規則：work · 依賴：G1, work

葉節點依據：work

重算完整邊際law矩，核非退化。



S02 · implies操作前

S_n=\sum_{i=1}^nX_i

操作後

E[S_n]=n/2,\quad\operatorname{Var}(S_n)=n/4

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S01, work

葉節點依據：work

期望線性與獨立variance加法給和的矩。



S03 · implies操作前

Z_n=(S_n-n\mu)/(\sigma\sqrt n)

操作後

Z_n=\frac{S_n-n/2}{\sqrt n/2}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S02, work

葉節點依據：work

σ=1/2，故分母是sqrt(n)/2。



S04 · implies操作前

E[Z_n],\quad\operatorname{Var}(Z_n)

操作後

E[Z_n]=0,\quad\operatorname{Var}(Z_n)=\frac{n/4}{n/4}=1

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S03, work

葉節點依據：work

標準化矩精確成立於每n≥1。



S05 · implies操作前

n=4,\quad k\in\{0,1,2,3,4\}

操作後

P(S_4=k)=\binom4k/16=(1,4,6,4,1)_k/16

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S04, work

葉節點依據：work

完整列五個格點機率，不省tail點。



S06 · implies操作前

Z_4=S_4-2

操作後

Z_4\in\{-2,-1,0,1,2\},\quad P(Z_4=0)=3/8

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S05, work

葉節點依據：work

n=4的標準化仍是離散law，有正單點質量。



S07 · implies操作前

\text{infinite IID},\ E[X_i]=\mu,\ 0<\sigma^2<\infty

操作後

\forall z\in\mathbb R:\lim_{n\to\infty}P(Z_n\le z)=\Phi(z)\quad\text{(named CLT)}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S06, work

葉節點依據：work

假設named CLT並逐一對上IID與正有限variance；Φ處處連續。



S08 · implies操作前

P(Z_4=0)=3/8,\quad P(Z=0)=0\ (Z\sim N(0,1))

操作後

Z_n\Rightarrow N(0,1),\quad Z_4\not\sim N(0,1)

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S07, work

葉節點依據：work

同時保留極限結論與finite-n不相等邊界。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S07, work — 未給normal approximation誤差率，也未形式化CLT證明。
- S07 · premise_audit · G1, S06, work — 這個極限來自named theorem，不來自五格點表。
- S06 · premise_audit · G1, S05, work — standard normal無原子，所以不可能exact normal。
- S05 · premise_audit · G1, S04, work — 係數總和16來自四次Bernoulli乘積。
- S04 · premise_audit · G1, S03, work — 矩為0、1不會單獨識別normal law。
- S03 · premise_audit · G1, S02, work — 不是n/2；中心也必須扣n/2。
- S02 · premise_audit · G1, S01, work — variance加法依已宣告的全序列獨立。
- S01 · premise_audit · G1, work — 零variance會使標準化失效，不能省正性。





## 錯誤控制與反例

前提層次無限IID明列為前提，不把token當構造證明。

非退化與scaleσ²=1/4>0且分母σ√n；finite-n表保留離散性。


- n=4的五點law就是normal。 → reject — 它在0有3/8原子，而normal單點質量零。
- 分母用nσ也給variance1。 → reject — 會得1/n而不是1。
- 格點表驗過即證CLT。 → reject — finite-n資料不給無限CDF極限；此處依named theorem。





## 結論與限制

named CLT條件成立，故Z_n⇒N(0,1)；n=4的格點audit不證極限且不exact normal。







## 驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 3b87490489b4be576acff8199037a9cb5b933e355624ff89027db6b289b31c18
- original source SHA-256: 45953c182abd08cc1f8022fde9a4c32399f9ee79d64b005a7d3c12e73d5f5add
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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