# 平方偏差的Chebyshev推導 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-chebyshev-inequality/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-chebyshev-inequality-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 由Markov證Chebyshev並算exact例。 有限完整law；不需independence。 ## 已知條件與符號 - work - G1 — X取-2、0、2，質量1/4、1/2、1/4；epsilon=1。 - μ — 此law的mean - Y — 平方偏差 - ε — 正門檻 ## 規則與來源 - mko_definition · cited — epsilon>0且mean、variance有限。事件|X-mu|>=epsilon等同(X-mu)^2>=epsilon^2，對非負squared deviation套Markov。上界不等於actual tail，不需要independence；zero mass atoms與zero variance按a.s.語義處理。 · mko-chebyshev-inequality - work · prerequisite — Markov為已知前提：非負Y且a>0時P(Y≥a)≤E[Y]/a；variance定義為中心二次矩。 ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 1/4+1/2+1/4=1 操作後 \mu=E[X]=-2/4+2/4=0 條件：無 規則：work · 依賴：G1, work 葉節點依據：work 完整歸一law給mean零。 S02 · implies操作前 Y=(X-\mu)^2 操作後 Y\in\{4,0,4\},\quad Y\ge0 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S01, work 葉節點依據：work 先建立非負變數Y而非直接對X套Markov。 S03 · implies操作前 E[Y]=4/4+0/2+4/4 操作後 \operatorname{Var}(X)=E[Y]=2 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S02, work 葉節點依據：work 中心二次矩逐support計算。 S04 · implies操作前 \varepsilon>0 操作後 |X-\mu|\ge\varepsilon\iff Y\ge\varepsilon^2 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S03, work 葉節點依據：work 非負絕對偏差可平方而保持閾值等價。 S05 · implies操作前 P(Y\ge\varepsilon^2)\le E[Y]/\varepsilon^2 操作後 P(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le\operatorname{Var}(X)/\varepsilon^2 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S04, work 葉節點依據：work 對Y用Markov，再代入事件等價與variance定義。 S06 · implies操作前 \varepsilon=1 操作後 \operatorname{Var}(X)/\varepsilon^2=2 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S05, work 葉節點依據：work 本例原始Chebyshev界為2，允許大於1但很鬆。 S07 · implies操作前 \{|X|\ge1\}=\{-2,2\} 操作後 P(|X|\ge1)=1/2\le2 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S06, work 葉節點依據：work exact tail由兩端質量得1/2。 S08 · implies操作前 \varepsilon=2 操作後 P(|X|\ge2)=1/2=2/2^2 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S07, work 葉節點依據：work 另一閾值達等號，說明界可緊也可鬆。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · G1, S07, work — 這只是本law的等號例，不把等號推成一般事實。 - S07 · premise_audit · G1, S06, work — 中間0不在tail，端點事件採≥。 - S06 · premise_audit · G1, S05, work — 若需要機率範圍可另取min(1,2)，不可宣稱tail=2。 - S05 · premise_audit · G1, S04, work — Markov前提Y≥0與有限期望均已建立。 - S04 · premise_audit · G1, S03, work — epsilon須正，否則除epsilon平方失去資格。 - S03 · premise_audit · G1, S02, work — 中心為μ=0，不是觀測值或其他law的mean。 - S02 · premise_audit · G1, S01, work — Y的質量仍來自原X law。 - S01 · premise_audit · G1, work — 負值本身不妨礙Chebyshev，後面平方才套Markov。 ## 錯誤控制與反例 平方事件先證|X-μ|≥ε與Y≥ε²等價再套Markov。 同law中心mean、Y與variance全部使用同一完整law。 - Chebyshev需要多個變數互相獨立。 → reject — 此推導只用一個X的二次矩。 - 本例tail=2。 → reject — 2是鬆上界，tail為1/2。 - epsilon=0可照用公式。 → reject — 分母epsilon平方不得零。 ## 結論與限制 Chebyshev由平方偏差的Markov界得到；epsilon=1的exact tail為1/2。 ## 驗證及來源綁定 3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: 0bd2da48a49fb5d3544edcc75194ecfe281101c23dfc66699760f407b58858d2 - original source SHA-256: 740b165db0bc59f0b2d318f01da05196eceb990ec8921f46642cf8407f1c0144 - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-chebyshev-inequality-01.json)