# 三模數CRT的構造與唯一類 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-chinese-remainder-theorem/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-chinese-remainder-theorem-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 x≡2 mod3、3 mod5、2 mod7的全部整數解為23+105t。 正pairwise-coprime主例及noncoprime相容界線，所有算術精確。 ## 已知條件與符號 - calc - G1 — 模數3、5、7，residues依序2、3、2，t∈Z。 - M — 三模數乘積 - N_i,u_i — 權重與模逆元 ## 規則與來源 - calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。明示假設互質整數的Bezout恆等式。 - mko_definition · cited — residues正規化，使用modular inverses構造x並核全部congruences。唯一性是mod product而非integer unique。modulus0無效；noncoprime不在CRT假設內但可相容，需pairwise gcd compatibility且一般mod lcm唯一。 · mko-chinese-remainder-theorem ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 (m_1,m_2,m_3)=(3,5,7) 操作後 \gcd(3,5)=\gcd(3,7)=\gcd(5,7)=1,\quad M=105 條件：無 規則：calc · 依賴：G1 葉節點依據：calc 三對gcd均1且模數正，先完成CRT前提。 S02 · implies操作前 N_i=M/m_i 操作後 (N_1,N_2,N_3)=(35,21,15) 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S01 葉節點依據：calc 每個Nᵢ含另兩模數，因此對另兩者同餘0。 S03 · implies操作前 35\equiv2\pmod3,\quad21\equiv1\pmod5,\quad15\equiv1\pmod7 操作後 u_1=2,\quad u_2=1,\quad u_3=1 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S02 葉節點依據：calc 逐模逆元核35·2≡1 mod3、21·1≡1 mod5、15·1≡1 mod7。 S04 · implies操作前 x_*=\sum_{i=1}^3 a_iN_iu_i 操作後 x_*=2\cdot35\cdot2+3\cdot21+2\cdot15=233 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S02, S03 葉節點依據：calc 加權和在每個模數只留下對應residue，給同時解。 S05 · implies操作前 x_*=233 操作後 x_0=233-2\cdot105=23,\quad0\le23<105 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S01, S04 葉節點依據：calc 減去M倍數正規化，保留三個同餘。 S06 · implies操作前 x_0=23 操作後 23=7\cdot3+2=4\cdot5+3=3\cdot7+2 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S05 葉節點依據：calc 獨立逐式重驗全部三個residues。 S07 · implies操作前 m,n\mid d,\quad\gcd(m,n)=1,\quad um+vn=1 操作後 d=mk,\quad k=umk+vnk\Rightarrow n\mid k\Rightarrow mn\mid d 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S01, S06 葉節點依據：calc 用Bezout證互質兩整除者的乘積也整除差d；依序對3、5、7套用。 S08 · implies操作前 x,x'\text{ solve the system} 操作後 105\mid x-x';\quad x=23+105t,\quad t\in\mathbb Z 條件：無 規則：mko_definition · 依賴：G1, S01, S06, S07 葉節點依據：mko_definition 各模數整除兩解差，再由前步得到唯一mod105類；反向加105t保持所有方程。 S09 · implies操作前 x\equiv1\pmod4,\quad x\equiv3\pmod6 操作後 x=9+12t\text{ solves};\quad\gcd(4,6)=2,\ 1\equiv3\pmod2 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S08 葉節點依據：calc noncoprime仍可能相容；差需同mod gcd，這例週期lcm=12而非product24。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S09 · premise_audit · G1, S08 — x≡1 mod4、2 mod6則奇偶衝突；不可把所有noncoprime都說無解。 - S08 · premise_audit · G1, S01, S06, S07 — 唯一是residue class，不是唯一整數23。 - S07 · premise_audit · G1, S01, S06 — n|mk源自n|d，n|vnk顯然；這不是無條件把lcm當product。 - S06 · premise_audit · G1, S05 — 每個等式的商不同，不可只核模3便宣告全系統。 - S05 · premise_audit · G1, S01, S04 — 正規化範圍是模product105，不是最大單模數7。 - S04 · premise_audit · G1, S02, S03 — 三項都列出，沒有少一個congruence。 - S03 · premise_audit · G1, S02 — uᵢ屬自己模數，不可交換位置。 - S02 · premise_audit · G1, S01 — 整除105由明示乘積保證，無有理近似。 - S01 · premise_audit · G1 — residues已在各自0至mᵢ−1範圍內。 ## 錯誤控制與反例 逐式驗證23必分別核mod3、5、7。 唯一類product唯一性要pairwise-coprime；noncoprime另看gcd與lcm。 - 主例唯一整數解23。 → reject — 128=23+105也滿足全部方程。 - noncoprime模數必矛盾。 → reject — 9滿足1 mod4及3 mod6。 - 模數0可照主公式處理。 → reject — 要求正模數，M/mᵢ及同餘代表正規化在mᵢ=0無此意義。 ## 結論與限制 x≡2 mod3、3 mod5、2 mod7的全部整數解為23+105t。 ## 驗證及來源綁定 2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: ab307688f99c20980966f2ca78007d3dfe060ce98516b950fbbb6050f695a939 - original source SHA-256: ab307688f99c20980966f2ca78007d3dfe060ce98516b950fbbb6050f695a939 - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-chinese-remainder-theorem-01.json)