# 複數模與共軛：證明 z·z̄=|z|² 與共軛保持運算 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-complex-modulus-conjugate/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-complex-modulus-conjugate-01 · production-20261019-adopted-96 ## 目標與範圍 對 z=a+bi、w=c+di（a、b、c、d 為實數）證明：（一）z·z̄=(a²+b²)+0i，即模平方的實數嵌入；（二）共軛保持加法：(z+w)‾=z̄+w̄；（三）共軛保持乘法：(zw)‾=z̄·w̄；（四）由此得 |zw|²=|z|²|w|²。再以 z=3−4i、w=1+2i 精確核對，並區分模平方與模。 一般證明對實數分量成立；例子用整數有序對（MKO 假設 a1），只算共軛與模平方，不以小數平方根近似冒充精確模。僅在 |z|²=25 為完全平方數時說明 |z|=5。不處理 argument、極式或複可微性（MKO 假設 a2）；不改動 canonical MKO 或英文 edition。 ## 已知條件與符號 - mul_assoc - mul_comm - neg_mul - square_nonneg - numeric_evaluation - G1 — 一般情形：z=a+bi 對應 (a,b)，w=c+di 對應 (c,d)，a、b、c、d 為實數。 - G2 — 例子：z=3−4i 對應 (3,−4)，w=1+2i 對應 (1,2)。 - G3 — 答案以精確整數或有序對表示；非完全平方數的模平方保持原樣，不寫小數近似（MKO 假設 a1）。 - z=a+bi\leftrightarrow(a,b) — 複數與其有序對 - \overline{z}=a-bi — z 的共軛 - |z|^2=a^2+b^2 — z 的模平方 - |z|=\sqrt{a^2+b^2} — z 的模（非負平方根） - w=c+di — 第二個複數 ## 規則與來源 - mul_assoc · prerequisite — 乘法結合律：(uv)w=u(vw)。 - mul_comm · prerequisite — 乘法交換律：uv=vu（在交換的數系中，例如 ℤ、ℚ、ℝ、ℂ）。 - neg_mul · prerequisite — 負號與乘法：(−u)v=−(uv)，(−u)(−v)=uv。 - square_nonneg · prerequisite — 實數平方非負：對所有實數 u，u²≥0，且 u²=0 ⇔ u=0。 - numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。 - def_intro · prerequisite — 引入定義：可為一個命題、式子或物件取名；之後名稱與被定義者可互相替換。 - add_inverse · prerequisite — 加法反元素：每個 u 都有 −u，使 u+(−u)=0；u−v 定義為 u+(−v)。 - power_laws · prerequisite — 整數指數律（底數非零或指數為正整數）：a^m·a^n=a^{m+n}，(a^m)^n=a^{mn}，(ab)^n=a^n b^n，a^0=1。 - order_basics · prerequisite — 實數的序：任兩數恰有 uv 之一；u0 推出 uwvw。 - distributive · prerequisite — 分配律：u(v+w)=uv+uw；配合乘法交換律也有 (v+w)u=vu+wu。 - eq_replace · prerequisite — 等值代換：命題中的一個式子可換成與它相等的式子，命題的真假不變。 - sqrt_def · prerequisite — 主平方根：對 a≥0，√a 是唯一滿足 b≥0 且 b²=a 的實數 b。負數在實數中沒有平方根。 - case_analysis · prerequisite — 分情況論證：若 P∨Q 成立，且 P⇒R、Q⇒R 都已證，則 R 成立。所有情況必須涵蓋全部可能。 - and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。 - forall_intro · prerequisite — ∀引入（全稱推廣）：若某命題對一個「任意的」元素 x 證成，而證明沒有對 x 加任何額外假設，則它對論域中所有 x 成立。 - mko_modconj_def · cited — 對 z=a+bi，共軛為 a−bi，模平方為 a²+b²，且 z 乘共軛等於模平方的實數嵌入。共軛保持加法與乘法。 · mko-complex-modulus-conjugate - complex_mul_formula · cited — 複數乘法由分配律與 i²=−1 導出：(a+bi)(c+di) 的實部為 ac−bd，虛部係數為 ad+bc。 · mko-complex-number - complex_addsub · prerequisite — 逐分量加減：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。 - complex_pair_eq · prerequisite — 對實數 a、b、c、d：a+bi=c+di 當且僅當 a=c 且 b=d。 - real_embedding · prerequisite — 實數 r 嵌入為 r+0i，即有序對 (r,0)；兩個嵌入實數的乘積 (r,0)(s,0)=(rs,0)。 - modulus_def · prerequisite — 模 |z| 是模平方 a²+b² 的非負平方根：|z|=√(a²+b²)。 - L_conj_mul · lemma — 對所有複數 z、w：(zw)‾=z̄·w̄。 - L_modsq_mul · lemma — 對所有複數 z、w：|zw|²=|z|²·|w|²。 ## 逐步主鏈 S01 · definition操作前 z=a+bi\leftrightarrow(a,b) 操作後 \overline{z}=a-bi\leftrightarrow(a,-b),\ |z|^2=a^2+b^2 條件：無 規則：mko_modconj_def · 依賴：G1, mko_modconj_def 葉節點依據：mko_modconj_def + def_intro 依 MKO，共軛只把虛部係數變號、實部不變：(a,b) 變成 (a,−b)；模平方是兩個分量的平方和 a²+b²。模平方與模不同：模是它的非負平方根。 S02 · equivalent操作前 z\overline{z}=(a,b)\cdot(a,-b) 操作後 (a^2+b^2,\,0) 條件：無 規則：complex_mul_formula · 依賴：S01, complex_mul_formula 葉節點依據：complex_mul_formula + complex_pair_eq 以乘法公式（取 c=a、d=−b）計算 z·z̄：實部見 S02.1，虛部係數見 S02.2。 S03 · implies操作前 z\overline{z}=(a^2+b^2,\,0) 操作後 z\overline{z}=|z|^2\in\mathbb{R},\ |z|^2\ge 0 條件：無 規則：real_embedding · 依賴：S02, real_embedding, square_nonneg 葉節點依據：real_embedding + square_nonneg + order_basics (a²+b²,0) 正是實數 a²+b²=|z|² 的嵌入，所以 z·z̄ 等於模平方的實數嵌入，與 MKO 一致。又 a²≥0、b²≥0，所以 |z|²≥0，等號只在 a=b=0 時成立。 S04 · equivalent操作前 \overline{z+w}=\overline{(a+c)+(b+d)i} 操作後 (a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)=\overline{z}+\overline{w} 條件：無 規則：complex_addsub · 依賴：G1, complex_addsub, S01 葉節點依據：complex_addsub + complex_pair_eq + distributive z+w 的虛部係數是 b+d，共軛把它變成 −(b+d)=−b−d；而 z̄+w̄ 逐分量相加的虛部係數也是 −b+(−d)。兩邊實部都是 a+c，所以共軛保持加法。 S05 · equivalent操作前 \overline{zw} 操作後 \overline{z}\cdot\overline{w} 條件：無 規則：L_conj_mul · 依賴：S01, complex_mul_formula 葉節點依據：complex_mul_formula + complex_pair_eq + neg_mul 共軛保持乘法（引理 L_conj_mul）。證明在 S05.1、S05.2：分別算出兩邊的有序對，再逐分量比對。 S06 · equivalent操作前 |zw|^2 操作後 |z|^2\,|w|^2 條件：無 規則：L_modsq_mul · 依賴：S03, S05 葉節點依據：real_embedding + mul_assoc + mul_comm + complex_pair_eq 由 S03 與 S05 推出模平方可乘（引理 L_modsq_mul），證明在 S06.1、S06.2。N5 另以 (ac−bd)²+(ad+bc)²=(a²+b²)(c²+d²) 的多項式核對作獨立交叉核對。 S07 · equivalent操作前 z=3-4i\leftrightarrow(3,-4) 操作後 \overline{z}=3+4i\leftrightarrow(3,4) 條件：無 規則：mko_modconj_def · 依賴：G2, S01 葉節點依據：mko_modconj_def 只把虛部係數 −4 變號成 4，實部 3 不變。寫成 −3−4i 或 −3+4i 都是錯的（前者改了實部、後者等於 −z）。 S08 · implies操作前 |z|^2=3^2+(-4)^2,\ z\overline{z}=(3,-4)(3,4) 操作後 |z|^2=25,\ z\overline{z}=(3\cdot3-(-4)\cdot4,\,3\cdot4+(-4)\cdot3)=(25,0) 條件：無 規則：complex_mul_formula · 依賴：S07, S02, complex_mul_formula 葉節點依據：complex_mul_formula + numeric_evaluation 模平方 9+16=25。直接以乘法公式算 z·z̄：實部 9+16=25，虛部係數 12−12=0，得 (25,0)，即 25 的實數嵌入，與 S02、S03 的一般結論一致。 S09 · implies操作前 |z|^2=25 操作後 |z|=\sqrt{25}=5\neq 25 條件：5\ge 0 規則：sqrt_def · 依賴：S08, modulus_def, sqrt_def 葉節點依據：sqrt_def + modulus_def + numeric_evaluation 模是模平方的非負平方根。5≥0 且 5²=25，依平方根的唯一性，|z|=5。模平方 25 與模 5 是不同的數，這正是 MKO 指出的誤解。 S10 · implies操作前 w=1+2i 操作後 \overline{w}=1-2i,\ |w|^2=5,\ |w|=\sqrt5\notin\mathbb{Z} 條件：無 規則：mko_modconj_def · 依賴：G2, G3, S01 葉節點依據：mko_modconj_def + order_basics + case_analysis + numeric_evaluation w̄=(1,−2)，|w|²=1+4=5。5 不是完全平方數：非負整數 n≤2 時 n²≤4，n≥3 時 n²≥9，沒有整數平方等於 5。所以 |w|=√5 不是整數；依 G3 保持精確的模平方 5，不寫 2.236 之類的小數。 S11 · equivalent操作前 zw=(3,-4)(1,2) 操作後 (3\cdot1-(-4)\cdot2,\,3\cdot2+(-4)\cdot1)=(11,2) 條件：無 規則：complex_mul_formula · 依賴：G2, complex_mul_formula 葉節點依據：complex_mul_formula + numeric_evaluation 實部 3+8=11，虛部係數 6−4=2，所以 zw=11+2i。 S12 · implies操作前 \overline{zw}\ \text{vs}\ \overline{z}\,\overline{w}=(3,4)(1,-2) 操作後 (11,-2)=(3\cdot1-4\cdot(-2),\,3\cdot(-2)+4\cdot1) 條件：無 規則：complex_mul_formula · 依賴：S11, S07, S10, S05 葉節點依據：complex_mul_formula + complex_pair_eq + numeric_evaluation 左邊：(zw)‾=(11,−2)。右邊：z̄·w̄=(3,4)(1,−2)，實部 3+8=11，虛部係數 −6+4=−2。兩邊相同，是 S05 的實例。 S13 · implies操作前 |zw|^2=11^2+2^2 操作後 125=25\cdot5=|z|^2|w|^2 條件：無 規則：L_modsq_mul · 依賴：S11, S08, S10, S06 葉節點依據：L_modsq_mul + numeric_evaluation 121+4=125，而 |z|²|w|²=25·5=125，兩者相同，是 S06 的實例。即使 |w| 不是整數，模平方仍保持精確整數。 S14 · implies操作前 \overline{z+w}=\overline{(4,-2)} 操作後 (4,2)=(3,4)+(1,-2)=\overline{z}+\overline{w} 條件：無 規則：complex_addsub · 依賴：G2, S04, S07, S10 葉節點依據：complex_addsub + numeric_evaluation z+w=(3+1, −4+2)=(4,−2)，共軛為 (4,2)；z̄+w̄=(3+1, 4−2)=(4,2)。兩邊相同，是 S04 的實例。 S15 · implies操作前 z=a+bi,\ w=c+di 操作後 z\overline{z}=(|z|^2,0),\ \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w},\ \overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w},\ |zw|^2=|z|^2|w|^2 條件：無 規則：and_intro_elim · 依賴：S03, S04, S05, S06 葉節點依據：and_intro_elim + forall_intro 合併四個一般結論；它們對所有實數分量成立，S07 到 S14 的整數例只是核對。 ## 局部子步與引理 S02.1 · equivalent操作前 \operatorname{Re}(z\overline{z})=a\cdot a-b\cdot(-b) 操作後 a^2+b^2 條件：無 規則：neg_mul · 依賴：complex_mul_formula, neg_mul 葉節點依據：neg_mul + add_inverse + power_laws 實部 ac−bd 中 c=a、d=−b：a·a−b·(−b)。因 b·(−b)=−b²，減去 −b² 等於加上 b²，得 a²+b²。正號正是來自 i²=−1 與共軛的負號相乘。 S02.2 · equivalent操作前 \operatorname{Im}(z\overline{z})=a\cdot(-b)+b\cdot a 操作後 0 條件：無 規則：mul_comm · 依賴：complex_mul_formula, mul_comm 葉節點依據：mul_comm + neg_mul + add_inverse 虛部係數 ad+bc 中 d=−b、c=a：a·(−b)+b·a=−ab+ab=0（交換律使 ba=ab）。所以 z·z̄ 的虛部為零，結果是實數。 S05.1 · equivalent操作前 \overline{zw}=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i} 操作後 (ac-bd,\,-(ad+bc)) 條件：無 規則：complex_mul_formula · 依賴：complex_mul_formula, S01 葉節點依據：complex_mul_formula + mko_modconj_def 先依乘法公式寫出 zw=(ac−bd)+(ad+bc)i，再取共軛：實部不變，虛部係數變號。 S05.2 · equivalent操作前 \overline{z}\cdot\overline{w}=(a,-b)\cdot(c,-d) 操作後 (ac-(-b)(-d),\,a(-d)+(-b)c)=(ac-bd,\,-(ad+bc)) 條件：無 規則：neg_mul · 依賴：S05.1, complex_mul_formula, neg_mul 葉節點依據：neg_mul + distributive + complex_pair_eq 對 (a,−b) 與 (c,−d) 用乘法公式：實部 ac−(−b)(−d)=ac−bd（兩個負號相乘得正）；虛部係數 a(−d)+(−b)c=−ad−bc=−(ad+bc)。兩個分量都與 S05.1 相同，依有序對相等得 (zw)‾=z̄·w̄。S05.1 與 S05.2 合起來證得引理 L_conj_mul。 S06.1 · equivalent操作前 (|zw|^2,0)=(zw)\,\overline{zw} 操作後 (zw)(\overline{z}\,\overline{w})=(z\overline{z})(w\overline{w}) 條件：無 規則：mul_assoc · 依賴：S03, S05, mul_assoc, mul_comm 葉節點依據：eq_replace + mul_assoc + mul_comm 對複數 zw 套用 S03：(zw)·(zw)‾ 是 |zw|² 的嵌入。依 S05 把 (zw)‾ 換成 z̄·w̄，再用 ℂ 乘法的結合與交換律重排四個因子成 (z z̄)(w w̄)。 S06.2 · implies操作前 (z\overline{z})(w\overline{w})=(|z|^2,0)(|w|^2,0) 操作後 (|z|^2|w|^2,\,0)\ \Rightarrow\ |zw|^2=|z|^2|w|^2 條件：無 規則：real_embedding · 依賴：S06.1, S03, real_embedding, complex_pair_eq 葉節點依據：real_embedding + complex_pair_eq 依 S03，z z̄ 與 w w̄ 分別是 |z|² 與 |w|² 的嵌入；兩個嵌入實數相乘得 (|z|²|w|²,0)。比較實部得 |zw|²=|z|²|w|²。S06.1 與 S06.2 合起來證得引理 L_modsq_mul。 ## 逐步反向審查 - S15 · sufficient_goal_reduction · S03, S04, S05, S06, and_intro_elim — 目標 G：四個一般命題。足夠條件 H：S03、S04、S05、S06 各自已對任意 a、b、c、d 證明；H⇒G 由合取引入。沒有把 G 當作前提，也沒有用例子代替證明。 - S14 · premise_audit · S04, complex_addsub, numeric_evaluation — 實例核對，一般結論來自 S04。 - S13 · premise_audit · L_modsq_mul, numeric_evaluation — 實例只核對計算（N17）；一般結論來自 S06。 - S12 · premise_audit · S05, complex_mul_formula, numeric_evaluation — 實例只核對計算（N15、N16），一般結論來自 S05。 - S11 · inverse_equivalence · complex_mul_formula, numeric_evaluation — 公式的精確求值（N13、N14），兩邊同一個數。 - S10 · premise_audit · mko_modconj_def, order_basics, numeric_evaluation — 非完全平方的論證只分 n≤2 與 n≥3 兩種情形並涵蓋所有非負整數；本稿不宣稱 √5 的其他性質。 - S09 · premise_audit · modulus_def, sqrt_def, numeric_evaluation — 需要 25 是完全平方數，才能寫出精確整數 5；對 w 不成立（S10）。 - S08 · premise_audit · S02, complex_mul_formula, numeric_evaluation — 這是一般定理的一個實例（N6 到 N8），用來核對計算，不取代 S02 的證明。 - S07 · inverse_equivalence · mko_modconj_def — 共軛兩次回到原數：(3,4) 的共軛是 (3,−4)=z。 - S06.2 · premise_audit · S03, real_embedding, complex_pair_eq — 比較實部用到有序對相等；此步只取等式的實部，不宣稱其他推論。 - S06.1 · inverse_equivalence · S03, S05, mul_assoc, mul_comm — 等值代換與重排都是等式，反向依序還原。 - S06 · inverse_equivalence · L_modsq_mul — 兩邊是同一個實數，雙向成立。 - S05.2 · inverse_equivalence · neg_mul, complex_pair_eq, distributive — 符號規則與分配律都是恆等式（N3、N4 以多項式格點核對），雙向成立。 - S05.1 · inverse_equivalence · complex_mul_formula, mko_modconj_def — 公式與共軛定義都是等式；再取一次共軛即回到 zw。 - S05 · inverse_equivalence · L_conj_mul — 引理是等式，兩邊是同一個複數，雙向成立。 - S04 · inverse_equivalence · complex_addsub, complex_pair_eq, neg_mul — 每個等號都是恆等改寫（−(b+d)=−b−d），兩個分量相等，雙向成立。 - S03 · premise_audit · S02, real_embedding, square_nonneg — 非負性用到平方非負；此步不宣稱每個非負實數都是某個整數對的模平方。 - S02.2 · inverse_equivalence · mul_comm, neg_mul, add_inverse — 恆等式（N2），雙向成立。 - S02.1 · inverse_equivalence · neg_mul, add_inverse — 對所有實數成立的恆等式（N1 以多項式格點核對），雙向成立。 - S02 · inverse_equivalence · complex_mul_formula, complex_pair_eq — 公式是等式，兩個分量分別相等即有序對相等，雙向成立。 - S01 · premise_audit · G1, mko_modconj_def — 此步只寫出定義，不推出新事實。 ## 錯誤控制與反例 共軛只改虛部的符號MKO 指出的誤解之一是只改實部符號。3−4i 的共軛是 3+4i；寫成 −3−4i 改錯了分量，寫成 −3+4i 則是 −z 而非 z̄。 分清模平方與模MKO 的另一個誤解是把模平方當成模。|3−4i|²=25 而 |3−4i|=5；|1+2i|²=5 而 |1+2i|=√5 不是整數。寫成 2.236 只是近似：2.236²=4.999696≠5（N18）。本稿依 MKO 保留精確的模平方。 z·z̄ 的實部是 a²+b²，不是 a²−b²套用平方差 (a+bi)(a−bi)=a²−(bi)² 時，最容易漏掉 (bi)²=b²i²=−b²，於是誤得 a²−b²；對 z=3−4i 會得 9−16=−7。S02.1 顯示正號來自 −b·(−b)=+b²。 - 3−4i 的共軛是 −3−4i → reject — 共軛只改虛部係數的符號：3+4i。 - |3−4i|=25 → reject — 25 是模平方；模是 √25=5。 - |1+2i|=2.236 是精確值 → reject — 2.236²=4.999696≠5；精確的模平方是 5，模是 √5。 - (3−4i)(3+4i)=9−16=−7 → reject — i²=−1 使結果為 9+16=25，且 z·z̄ 恆非負。 ## 結論與限制 對所有實數 a、b、c、d：z·z̄=(a²+b²)+0i 是模平方的實數嵌入且非負；共軛保持加法與乘法；|zw|²=|z|²|w|²。例子 z=3−4i、w=1+2i：z̄=3+4i，|z|²=25，z·z̄=(25,0)，|z|=5（與模平方 25 不同）；w̄=1−2i，|w|²=5（|w|=√5 不是整數，保持精確模平方）；zw=11+2i，(zw)‾=11−2i=z̄·w̄，|zw|²=125=25·5。 - ℂ 中乘法的結合與交換律（S06.1 使用）是前提，沒有在本稿由有序對定義推出；本稿不處理複數除法、argument 與極式（MKO 的 formal next）。 - N1 到 N5 是多項式恆等式的格點核對，屬交叉核對；一般結論由 S02 到 S06 的代數論證證明。 ## 驗證及來源綁定 19 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f - adopted source SHA-256: 4d35d95477cfaf8ae77bb1db462786967900da76e6b8489990bb52fed2f61c28 - original source SHA-256: 4d35d95477cfaf8ae77bb1db462786967900da76e6b8489990bb52fed2f61c28 - Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/production-20261019/guides/derivation-mko-complex-modulus-conjugate-01.json)