# 有限模型的條件機率：正分母、兩個方向與零機率條件

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derivation-mko-conditional-probability-01 · production-20261019-adopted-96



## 目標與範圍

在 S={1,2,3,4,5,6}、權重 w=(1,2,3,2,4,0)/12 的有限模型中，設 A={2,3}、B={3,4,5,6}、Z={6}。驗證模型合法，計算 P(A|B) 與 P(B|A)，與等可能計數比 |A∩B|/|B| 及乘積 P(A)P(B) 比較，並判定 P(A|Z) 是否有定義。

在 MKO 的範圍內工作：非空有限樣本空間、全冪集事件族、已歸一化的非負有理權重。只在 P(B)>0 時定義 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，並證明一個加法小引理（E⊆E′ 時 P(E′)=P(E)+P(E′∖E)）以說明 0≤P(A|B)≤1。不定義零機率條件化；不討論事件獨立性、貝氏定理或無限樣本空間；不改動 canonical MKO 或英文 edition。





## 已知條件與符號


- prob_axioms
- set_operations_def
- subset_def
- frac_rules
- numeric_evaluation
- weight_model


- G1 — S={1,2,3,4,5,6}，事件族 F=𝒫(S)，權重 w(1)=1/12、w(2)=2/12、w(3)=3/12、w(4)=2/12、w(5)=4/12、w(6)=0；P(E)=Σ_{s∈E} w(s)。此模型未宣告為等可能。
- G2 — 事件 A={2,3}、B={3,4,5,6}、Z={6}。
- G3 — 待辦：驗證模型與事件資格；求 P(A|B)、P(B|A)；比較 |A∩B|/|B| 與 P(A)P(B)；判定 P(A|Z)。


- S — 樣本空間 {1,2,3,4,5,6}
- w(s) — 樣本點 s 的權重
- P(E) — 事件 E 的機率 Σ_{s∈E} w(s)
- P(A\mid B) — 在 B 之下 A 的條件機率，即 C(A,B)
- A^{c} — S∖A





## 規則與來源


- prob_axioms · prerequisite — 機率公理：P(A)≥0；P(Ω)=1；兩兩互斥事件的（可數）聯集機率等於各機率之和。由此 P(∅)=0、P(Aᶜ)=1−P(A)。
- set_operations_def · prerequisite — 集合運算：x∈A∪B ⇔ x∈A 或 x∈B；x∈A∩B ⇔ x∈A 且 x∈B；x∈A∖B ⇔ x∈A 且 x∉B；在全集 U 中 Aᶜ=U∖A。
- subset_def · prerequisite — 子集：A⊆B 表示 A 的每個元素都是 B 的元素，即 ∀x (x∈A⇒x∈B)。
- frac_rules · prerequisite — 分數運算（分母皆非零）：a/c+b/c=(a+b)/c；(a/b)(c/d)=(ac)/(bd)；(a/b)/(c/d)=(ad)/(bc)（另需 c≠0）；a/b=(ak)/(bk)（k≠0）。
- numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
- finite_sum_rules · prerequisite — 有限和：Σ_{i=1}^{0} a_i=0、Σ_{i=1}^{n+1} a_i=Σ_{i=1}^{n} a_i + a_{n+1}；Σ(a_i+b_i)=Σa_i+Σb_i；Σ c·a_i=c·Σa_i。
- order_basics · prerequisite — 實數的序：任兩數恰有 u<v、u=v、u>v 之一；u<v 且 v<w 推出 u<w；u<v 推出 u+w<v+w；u<v 且 w>0 推出 uw<vw；u<v 且 w<0 推出 uw>vw。
- set_extensionality · prerequisite — 集合相等：A=B 當且僅當 A⊆B 且 B⊆A，即兩者有相同元素。
- mul_inverse_nonzero · prerequisite — 非零數的倒數：在 ℚ、ℝ、ℂ 中，若 u≠0，存在 1/u 使 u·(1/u)=1；對 u≠0 定義 v/u 為 v·(1/u)。u=0 時沒有倒數，v/0 不定義。
- and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
- mko_cond_prob_def · cited — 在非空有限樣本空間 S、全冪集事件族 F=𝒫(S) 與已歸一化非負有理權重下，對 A、B⊆S 且 P(B)>0，定義 C(A,B)=P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。若 P(B)=0，本條目不定義這個條件機率，即使 B 非空。 · mko-conditional-probability
- weight_model · prerequisite — 有限權重模型：w:S→ℚ，對每個 s 有 w(s)≥0，且 Σ_{s∈S} w(s)=1；事件 E⊆S 的機率是 P(E)=Σ_{s∈E} w(s)（空和為 0）。
- L_split · lemma — 在有限權重模型中，若 E⊆E′⊆S，則 P(E′)=P(E)+P(E′∖E)，因此 P(E)≤P(E′)。





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

w=\left(\tfrac{1}{12},\tfrac{2}{12},\tfrac{3}{12},\tfrac{2}{12},\tfrac{4}{12},0\right)

操作後

w(s)\ge 0,\quad \sum_{s\in S}w(s)=\tfrac{12}{12}=1

條件：無

規則：weight_model · 依賴：G1, weight_model

葉節點依據：weight_model + finite_sum_rules + numeric_evaluation

MKO 假設 a1 要求模型合法：每個權重是非負有理數，總和為 1。逐項：1/12、2/12、3/12、2/12、4/12、0 都 ≥0；總和 (1+2+3+2+4+0)/12=12/12=1（N1）。所以這是合法的有限權重模型。w(6)=0 是允許的：樣本點可以存在但權重為零。



S02 · implies操作前

A=\{2,3\},\ B=\{3,4,5,6\},\ Z=\{6\}

操作後

A,B,Z\subseteq S

條件：無

規則：subset_def · 依賴：G1, G2, subset_def

葉節點依據：subset_def

事件資格：A、B、Z 的每個元素都在 S={1,2,3,4,5,6} 中，所以三者都是 S 的子集合，屬於事件族 𝒫(S)。



S03 · equivalent操作前

P(B)=w(3)+w(4)+w(5)+w(6)

操作後

P(B)=\tfrac{3+2+4+0}{12}=\tfrac{9}{12}=\tfrac{3}{4}

條件：無

規則：weight_model · 依賴：S01, S02, weight_model

葉節點依據：weight_model + finite_sum_rules + frac_rules + numeric_evaluation

MKO 第一段：先算 B 中的機率質量。P(B) 是 B 的四個樣本點權重之和：(3+2+4+0)/12=9/12=3/4（N2）。



S04 · implies操作前

P(B)=\tfrac{3}{4}

操作後

P(B)>0,\ \text{so}\ P(A\mid B)\ \text{is defined}

條件：P(B)>0

規則：mko_cond_prob_def · 依賴：S03, mko_cond_prob_def

葉節點依據：mko_cond_prob_def + order_basics

依 MKO，P(A|B) 只在 P(B)>0 時定義。3/4>0，所以可以條件化在 B 上。這個判斷必須在任何除法之前做。



S05 · equivalent操作前

A\cap B

操作後

\{3\}

條件：無

規則：set_operations_def · 依賴：G2, set_operations_def

葉節點依據：set_operations_def + set_extensionality

x∈A∩B 當且僅當 x∈A 且 x∈B。A 的元素是 2 與 3：2∉B，3∈B。所以 A∩B={3}。



S06 · equivalent操作前

P(A\cap B)=P(\{3\})

操作後

w(3)=\tfrac{3}{12}=\tfrac{1}{4}

條件：無

規則：weight_model · 依賴：S05, weight_model

葉節點依據：weight_model + frac_rules + numeric_evaluation

MKO 第一段的第二步：算 A∩B 中的質量。A∩B={3}，所以 P(A∩B)=w(3)=3/12=1/4（N3）。



S07 · equivalent操作前

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

操作後

\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}

條件：P(B)=\tfrac{3}{4}\neq 0

規則：mko_cond_prob_def · 依賴：S04, S06, mko_cond_prob_def

葉節點依據：mko_cond_prob_def + frac_rules + mul_inverse_nonzero + numeric_evaluation

最後相除：P(A|B)=(1/4)/(3/4)=(1/4)·(4/3)=1/3（N4）。除以 3/4 需要 3/4≠0，S04 已確認。



S08 · equivalent操作前

\frac{3/12}{9/12}

操作後

\frac{3}{9}=\frac{1}{3}

條件：12\neq 0; 9\neq 0

規則：frac_rules · 依賴：S03, S06, frac_rules

葉節點依據：frac_rules + numeric_evaluation

MKO 第一段：共同正分母可以約掉。兩個質量都以同一模型的十二分之幾表示：P(A∩B)=3/12、P(B)=9/12；依分數規則 (3/12)/(9/12)=(3·12)/(12·9)=3/9=1/3（N6、N7）。與 S07 一致。能這樣約分，前提是兩者來自同一個已驗證的權重模型，且事件資格已確認。



S09 · theorem_application操作前

A\cap B\subseteq B

操作後

P(A\cap B)\le P(B),\ \text{so}\ 0\le P(A\mid B)\le 1

條件：P(B)>0

規則：L_split · 依賴：S05, S07, L_split

葉節點依據：weight_model + finite_sum_rules + order_basics + set_operations_def

A∩B⊆B，依引理 L_split，P(B)=P(A∩B)+P(B∖(A∩B))≥P(A∩B)。兩邊除以正數 P(B)，得 P(A|B)≤1；分子、分母都非負，得 P(A|B)≥0。本例 1/4≤3/4（N18），1/3 確實在 [0,1] 中。



S10 · implies操作前

B\setminus(A\cap B)=A^{c}\cap B=\{4,5,6\}

操作後

P(A^{c}\cap B)=\tfrac{1}{2},\ P(A\mid B)+P(A^{c}\mid B)=\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}=1

條件：P(B)>0

規則：L_split · 依賴：S03, S06, S07, L_split, G2

葉節點依據：weight_model + set_operations_def + frac_rules + numeric_evaluation

交叉核對：B∖(A∩B)={4,5,6}=Aᶜ∩B，質量 (2+4+0)/12=1/2（N8）。依 L_split，P(A∩B)+P(Aᶜ∩B)=1/4+1/2=3/4=P(B)（N9），吻合。P(Aᶜ|B)=(1/2)/(3/4)=2/3（N10），與 P(A|B) 相加得 1（N11）：在 B 之下，A 與 Aᶜ 的條件機率加總為 1。



S11 · implies操作前

P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}

操作後

P(A)=\tfrac{5}{12}>0,\quad P(B\mid A)=\frac{1/4}{5/12}=\frac{3}{5}\neq\frac{1}{3}

條件：P(A)>0

規則：mko_cond_prob_def · 依賴：S06, G1, G2, mko_cond_prob_def

葉節點依據：mko_cond_prob_def + set_operations_def + frac_rules + numeric_evaluation

反方向要另外確認分母：P(A)=w(2)+w(3)=(2+3)/12=5/12>0（N12），所以 P(B|A) 有定義。B∩A=A∩B={3}，P(B|A)=(1/4)/(5/12)=(1/4)·(12/5)=3/5（N13）。3/5≠1/3（N14）：兩個方向的條件機率一般不同，因為分母不同。



S12 · implies操作前

\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{4}

操作後

\frac{1}{4}\neq\frac{1}{3}=P(A\mid B)

條件：無

規則：mko_cond_prob_def · 依賴：S05, S07, G1

葉節點依據：mko_cond_prob_def + weight_model + numeric_evaluation

若誤把模型當成等可能，會用計數比 |A∩B|/|B|=1/4。但本模型權重不相等（例如 w(5)=4/12≠w(6)=0），而且沒有宣告等可能（MKO 假設 a2），所以計數比不是這個模型的條件機率；正確值是 1/3（N15）。



S13 · implies操作前

P(A)P(B)=\tfrac{5}{12}\cdot\tfrac{3}{4}

操作後

\tfrac{5}{16}\neq\tfrac{1}{3}=P(A\mid B)

條件：無

規則：frac_rules · 依賴：S03, S07, S11

葉節點依據：frac_rules + numeric_evaluation

條件機率不是把 P(A) 乘上 P(B)：P(A)P(B)=(5/12)(3/4)=15/48=5/16（N16），而 P(A|B)=1/3，兩者不等（N17）。正確的乘法關係是 P(A∩B)=P(A|B)·P(B)=(1/3)(3/4)=1/4（S07 的反向核對）。



S14 · implies操作前

Z=\{6\}\neq\varnothing,\ P(Z)=w(6)

操作後

P(Z)=0,\ \text{so}\ P(A\mid Z)\ \text{is undefined}

條件：無

規則：mko_cond_prob_def · 依賴：G1, G2, mko_cond_prob_def, mul_inverse_nonzero

葉節點依據：mko_cond_prob_def + mul_inverse_nonzero + weight_model

Z 非空（6∈Z），但 P(Z)=w(6)=0。MKO 明示：P(B)=0 時本條目不定義條件機率，即使 B 非空。式子 P(A∩Z)/P(Z) 的分母為 0，而 0 沒有倒數，所以 P(A|Z) 沒有定義；答案不是 0，也不是 1。



S15 · implies操作前

\text{S01 to S14}

操作後

P(A\mid B)=\tfrac{1}{3},\ P(B\mid A)=\tfrac{3}{5},\ P(A\mid Z)\ \text{undefined}

條件：無

規則：and_intro_elim · 依賴：S01, S07, S09, S11, S12, S13, S14

葉節點依據：and_intro_elim

彙整：模型合法（S01）；P(B)=3/4>0，P(A|B)=1/3（S07），且在 [0,1] 中（S09）；P(A)=5/12>0，P(B|A)=3/5≠1/3（S11）；計數比 1/4 與乘積 5/16 都不是 P(A|B)（S12、S13）；P(Z)=0，P(A|Z) 無定義（S14）。







## 局部子步與引理

S09.1 · implies操作前

E\subseteq E'\subseteq S

操作後

P(E')=P(E)+P(E'\setminus E)\ge P(E)

條件：w(s)\ge 0

規則：finite_sum_rules · 依賴：weight_model, set_operations_def, finite_sum_rules

葉節點依據：weight_model + set_operations_def + finite_sum_rules + order_basics

E⊆E′ 時，E′ 的每個元素恰屬於 E 或 E′∖E 之一（集合運算定義），兩者互斥。所以有限和 Σ_{s∈E′} w(s) 拆成 Σ_{s∈E} w(s)+Σ_{s∈E′∖E} w(s)，即 P(E′)=P(E)+P(E′∖E)。每個權重 ≥0，所以 P(E′∖E)≥0，得 P(E)≤P(E′)。這證得引理 L_split。







## 逐步反向審查


- S15 · sufficient_goal_reduction · S01, S07, S11, S12, S13, S14, and_intro_elim — 目標 G：題目各項。足夠條件 H：所列各步的結論；H⇒G 只是合取，H 由 G1、G2 正向證成，沒有把 G 當作前提。
- S14 · premise_audit · mko_cond_prob_def, mul_inverse_nonzero — 判定只依 P(Z)=0；非空不足以條件化。不宣稱其他理論中零機率條件化的處理。
- S13 · premise_audit · frac_rules, numeric_evaluation — 只需精確比較兩個有理數；本稿不由此推論任何獨立性結論。
- S12 · premise_audit · mko_cond_prob_def, weight_model — 只需一組不相等的權重就說明模型不是等可能；此步只排除錯誤算法。
- S11 · premise_audit · mko_cond_prob_def, set_operations_def, frac_rules — 兩個方向各自需要正分母（MKO 第三段）；交集可交換，但分母不能互換。
- S10 · premise_audit · L_split, S03, S06, frac_rules — 這是獨立的一致性檢查，不是 P(A|B) 的推導所必需。
- S09.1 · premise_audit · weight_model, set_operations_def, finite_sum_rules, order_basics — 需要互斥拆分與權重非負；若允許負權重，不等式部分就不成立。
- S09 · premise_audit · L_split, order_basics — 除以正數保持不等式方向，所以需要 P(B)>0；引理在 S09.1 證明。
- S08 · inverse_equivalence · frac_rules — 分數規則在分母非零時是等式，雙向成立。
- S07 · inverse_equivalence · frac_rules, mul_inverse_nonzero — 反向：P(A|B)·P(B)=(1/3)·(3/4)=1/4=P(A∩B)（N5）；乘以 3/4 與除以 3/4 互為反運算，前提是 3/4≠0。
- S06 · inverse_equivalence · weight_model, frac_rules — 精確求值，兩向成立。
- S05 · inverse_equivalence · set_operations_def, set_extensionality — 兩個集合有相同元素，依集合相等兩向成立。
- S04 · premise_audit · mko_cond_prob_def, order_basics — 需要的是 P(B) 嚴格大於零，不是 B 非空（見 S14）。
- S03 · inverse_equivalence · weight_model, frac_rules, numeric_evaluation — 有理數的精確求值，兩邊是同一個數。
- S02 · premise_audit · subset_def — 逐元素核對即可；不宣稱反向。
- S01 · premise_audit · weight_model, numeric_evaluation — 兩個條件（非負、總和 1）都必須核對；之後所有機率都依賴這一步。





## 錯誤控制與反例

非空不等於正機率MKO 指出的第一個誤解是把非空當正機率。Z={6} 非空，但 w(6)=0，所以 P(Z)=0，不能在 Z 上條件化（S14）。條件化前要檢查的是 P(B)>0（S04），不是 B≠∅。

零機率條件不給零答案MKO 的第二個誤解是對零機率條件給零答案。P(A|Z) 的式子分母為 0，0 沒有倒數，所以本條目中 P(A|Z) 沒有定義；寫成 0 或 1 都是錯的。

兩個方向不能混同MKO 的第三個誤解是混同兩個方向。P(A|B)=1/3 以 P(B) 為分母，P(B|A)=3/5 以 P(A) 為分母（S07、S11），兩者不同，且各自都要先確認分母為正。同樣，條件機率不是 P(A)P(B)=5/16（S13），在非等可能模型中也不是計數比 1/4（S12）。


- Z={6} 非空，所以 P(A|Z) 有定義 → reject — P(Z)=w(6)=0；MKO 要求分母嚴格大於零。
- P(Z)=0，所以 P(A|Z)=0 → reject — 分母為 0 時式子沒有定義，不是 0。
- P(B|A)=P(A|B)=1/3 → reject — P(B|A)=(1/4)/(5/12)=3/5≠1/3。
- P(A|B)=|A∩B|/|B|=1/4 → reject — 模型不是等可能（w(5)=4/12、w(6)=0）；正確值 3/9=1/3。
- P(A|B)=P(A)P(B)=5/16 → reject — 條件機率是 P(A∩B)/P(B)=1/3，不是兩個機率的乘積。





## 結論與限制

權重 (1,2,3,2,4,0)/12 構成合法的有限模型。P(B)=3/4>0，P(A∩B)=1/4，所以 P(A|B)=1/3；P(A)=5/12>0，所以 P(B|A)=3/5，兩個方向不同。等可能計數比 1/4 與乘積 P(A)P(B)=5/16 都不是 P(A|B)。Z={6} 非空但 P(Z)=0，所以 P(A|Z) 在本條目中沒有定義。


- 本稿不討論事件獨立性；S13 只比較數值，不據此宣稱 A、B 是否獨立。
- 零機率條件化在其他理論（例如以極限或測度論的條件期望）中另有處理，不在本條目範圍。





## 驗證及來源綁定

18 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
- adopted source SHA-256: 0c101f249b943132cf4ae7daef5fdcdd38e0b9d888feacc77fc0a88e0e9198d3
- original source SHA-256: 0c101f249b943132cf4ae7daef5fdcdd38e0b9d888feacc77fc0a88e0e9198d3
- Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/production-20261019/guides/derivation-mko-conditional-probability-01.json)