# 有平坦段的連續CDF [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-continuous-real-distribution-function/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-continuous-real-distribution-function-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 從knots完整構造CDF並核atomless性。 piecewise-linear exact family；不由連續性推一般density存在。 ## 已知條件與符號 - work - G1 — knots為(0,0)、(1,1/2)、(2,1/2)、(3,1)；相鄰間線性插值，左側0、右側1。 - F — 實數CDF - t — 任意實數門檻 ## 規則與來源 本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。 - mko_definition · cited — continuous CDF沒有jumps，所以每個singleton probability為0。這不等於sample-space上的random-variable map連續，也不推出density或absolute continuity；affine Cantor distribution提供continuous atomless singular boundary。CDF可有flat intervals，不必strictly increasing。 · mko-continuous-real-distribution-function - work · prerequisite — 分段線性函數在每段連續；接點左右值一致使全域連續；CDF存在定理與jump identity為前提。 ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 0<1<2<3,\quad0\le1/2\le1/2\le1 操作後 \text{strict knot order and nondecreasing levels} 條件：無 規則：work · 依賴：G1, work 葉節點依據：work 先核knots順序與CDF值合法範圍。 S02 · implies操作前 t\le0\text{ or }t\ge3 操作後 F(t)=0\ (t\le0),\quad F(t)=1\ (t\ge3) 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S01, work 葉節點依據：work 指定兩個尾端，完成全實軸定義的外部區間。 S03 · implies操作前 0\le t\le1 操作後 F(t)=t/2 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S02, work 葉節點依據：work 第一段斜率(1/2-0)/(1-0)=1/2。 S04 · implies操作前 1\le t\le2 操作後 F(t)=1/2 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S03, work 葉節點依據：work 中間段兩端值相同，為合法平坦區間。 S05 · implies操作前 2\le t\le3 操作後 F(t)=1/2+(t-2)/2=(t-1)/2 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S04, work 葉節點依據：work 末段也有斜率1/2，且終點為1。 S06 · implies操作前 t\in\{0,1,2,3\} 操作後 F(t^-)=F(t)=F(t^+) 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S05, work 葉節點依據：work 各線性段與尾端在四個knots接合，內部各自連續。 S07 · implies操作前 F\text{ nondecreasing and continuous, with tails }0,1 操作後 \exists X:\ F(t)=P(X\le t);\quad P(X=t)=F(t)-F(t^-)=0\quad(t\in\mathbb R) 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S06, work 葉節點依據：work 由各段非負斜率、尾端恆0與1及已證連續性，先套明示CDF存在定理前提取得law X，再用jump公式對所有t得零singleton mass。 S08 · implies操作前 \lim_{t\to-\infty}F(t)=0,\quad\lim_{t\to\infty}F(t)=1 操作後 F\text{ is a continuous CDF, not strictly increasing} 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S07, work 葉節點依據：work 單調、連續與尾端極限完成CDF資格；平坦段保留。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · G1, S07, work — 一般continuous CDF可能singular，如Cantor law；不能由本例外推density。 - S07 · premise_audit · G1, S06, work — 先取得law才談P(X=t)；無原子不等於區間機率零，例如P(0