# 完整參數集合上的偏誤表 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-estimator-bias/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-estimator-bias-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 逐theta求EthetaU-theta，區分觀察誤差。 目標g(theta)=theta；不談漸近性質。 ## 已知條件與符號 - work - G1 — Θ={1/4,3/4}，Ω={00,01,10,11}；P_(1/4)=(9,3,3,1)/16，P_(3/4)=(1,3,3,9)/16。 - G2 — U(x)=(x1+x2)/4，依Ω順序的total table為(0,1/4,1/4,1/2)，目標參數為g(theta)=theta。 - θ — 固定但未知參數 - U — 同一total statistic ## 規則與來源 - mko_definition · cited — 在共同有限樣本空間與同一theta-independent total estimator上，逐theta由sampling distribution計算E_theta[T]並減theta。單一參數、sample或observed estimate不足以證unbiased；無偏也不推出零變異、一致、充分或最小MSE。 · mko-estimator-bias - work · prerequisite — 有限law機率非負且總和一；statistic只依樣本，期望為所有outcomes的加權和。 偏誤定義b(theta)=Etheta[U]-theta；無偏要求所有theta的bias零。 ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 U^{-1}(0),U^{-1}(1/4),U^{-1}(1/2) 操作後 \{00\},\{01,10\},\{11\} 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, work 葉節點依據：work 同一U的三個fibers供兩law共用。 S02 · implies操作前 P_{1/4}^U=(9/16,6/16,1/16) 操作後 E_{1/4}U=(1/4)(6/16)+(1/2)(1/16)=1/8 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S01, work 葉節點依據：work 完整三點抽樣law給第一mean。 S03 · implies操作前 b(1/4)=E_{1/4}U-1/4 操作後 b(1/4)=1/8-1/4=-1/8 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S02, work 葉節點依據：work 從同一 law 下的期望 E_theta[U] 減去指定 target theta，而不是減去 observed estimate。 S04 · implies操作前 P_{3/4}^U=(1/16,6/16,9/16) 操作後 E_{3/4}U=(1/4)(6/16)+(1/2)(9/16)=3/8 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S03, work 葉節點依據：work 第二law重新求mean。 S05 · implies操作前 b(3/4)=E_{3/4}U-3/4 操作後 b(3/4)=3/8-3/4=-3/8 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S04, work 葉節點依據：work 第二參數的偏誤也非零。 S06 · implies操作前 \text{unbiased}\iff\forall\theta\in\Theta:\ b(\theta)=0 操作後 U\text{ is biased on this model} 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S05, work 葉節點依據：work 任一非零bias已否定無偏，本例兩個都非零。 S07 · implies操作前 \theta=1/4,\quad x=01 操作後 U(01)-\theta=1/4-1/4=0\ne b(1/4) 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S06, work 葉節點依據：work 一次零誤差仍能與非零bias共存。 S08 · implies操作前 b=( -1/8,-3/8) 操作後 b(\theta)=-\theta/2\quad(\theta\in\Theta) 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S07, work 葉節點依據：work 在已完整兩點參數集合上核對簡式，不外推未給模型。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · G1, G2, S07, work — 一致性與最小MSE仍未被此bias表證明。 - S07 · premise_audit · G1, G2, S06, work — 觀察誤差沒有對sample law取期望。 - S06 · premise_audit · G1, G2, S05, work — 無偏是全參數條件，不是選一個theta合適即可。 - S05 · premise_audit · G1, G2, S04, work — 兩個theta已窮盡參數集合。 - S04 · premise_audit · G1, G2, S03, work — 最後質量9/16不可沿用1/16。 - S03 · premise_audit · G1, G2, S02, work — 偏誤有號，不能先取絕對值。 - S02 · premise_audit · G1, G2, S01, work — 零值項雖不影響mean，仍在law中。 - S01 · premise_audit · G1, G2, work — bias計算不能讓U依theta變動。 ## 錯誤控制與反例 target固定減theta，不減觀察值或其他law mean。 全參數兩個theta分開保留有號bias。 - 觀察01命中theta=1/4，故無偏。 → reject — 此law的期望1/8，bias=-1/8。 - bias必非負。 → reject — 本例兩個bias都負。 - 只核一個theta就證全模型無偏。 → reject — 全稱條件涵蓋所有theta；此例另一值也須計。 ## 結論與限制 bias表為-1/8、-3/8，因此U非無偏；一次estimate命中不改此結論。 ## 驗證及來源綁定 2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: d114601f2cd77f86c632babb6a0f10f4d14465a1b73f2a05799b3a8f9c90cbeb - original source SHA-256: a5d42a968e40f0a69ed6cc147607b52fd1f7dbdc6be2f7247051d81167c6668f - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-estimator-bias-01.json)