# 不用分解公式的直接MSE計算

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derivation-mko-estimator-mean-squared-error-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

逐theta直接加權loss，保留bias-variance為後續。

完整有限scalar模型，不從單次loss估MSE。





## 已知條件與符號


- work


- G1 — Θ={1/4,3/4}，Ω={00,01,10,11}；P_(1/4)=(9,3,3,1)/16，P_(3/4)=(1,3,3,9)/16。
- G2 — U(x)=(x1+x2)/4，依Ω順序的total table為(0,1/4,1/4,1/2)，目標參數為g(theta)=theta。


- θ — 固定但未知參數
- U — 同一total statistic





## 規則與來源


- mko_definition · cited — 每個theta都必須有完整、正規化的finite sampling law，直接計算sum_t P_theta(T=t)(t-theta)^2；不可只由bias與variance間接取得，因bias–variance decomposition是下一節點。多theta table逐law分開。MSE=0恰當T=theta在P_theta下almost surely。單一observed estimate或sample squared error不是MSE；unbiased不推出zero MSE，MSE也不等同variance或推出consistency。本輪限scalar parameter與exact rational laws。 · mko-estimator-mean-squared-error
- work · prerequisite — 有限law機率非負且總和一；statistic只依樣本，期望為所有outcomes的加權和。 MSEtheta(U)=sum_u Ptheta(U=u)(u-theta)²；非負有限和為零恰所有正權項零。





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

U\in\{0,1/4,1/2\}

操作後

P_{1/4}^U=(9,6,1)/16,\quad P_{3/4}^U=(1,6,9)/16

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, work

葉節點依據：work

先完整列兩個抽樣laws，各列歸一。



S02 · implies操作前

\theta=1/4,\quad(U-\theta)^2

操作後

(1/16,0,1/16)

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S01, work

葉節點依據：work

對三個support值分別減1/4再平方。



S03 · implies操作前

\operatorname{MSE}_{1/4}(U)=\sum_uP_{1/4}(U=u)(u-1/4)^2

操作後

(9/16)(1/16)+(6/16)0+(1/16)(1/16)=5/128

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S02, work

葉節點依據：work

直接loss加權，不借bias-variance identity。



S04 · implies操作前

\theta=3/4,\quad(U-\theta)^2

操作後

(9/16,1/4,1/16)

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S03, work

葉節點依據：work

換theta後重新算全部loss，不能沿用前一列。



S05 · implies操作前

\operatorname{MSE}_{3/4}(U)

操作後

(1/16)(9/16)+(6/16)(1/4)+(9/16)(1/16)=21/128

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S04, work

葉節點依據：work

第二個完整law直接給MSE21/128。



S06 · implies操作前

\theta=1/4,\quad x=01

操作後

(U(01)-\theta)^2=0\ne5/128

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S05, work

葉節點依據：work

一次loss為零，期望loss仍正，構成明確比較。



S07 · implies操作前

\operatorname{MSE}_\theta(U)=0

操作後

(u-\theta)^2=0\text{ at every positive-mass }u

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S06, work

葉節點依據：work

非負有限和為零當且僅當每個正權項零。



S08 · implies操作前

(u-\theta)^2=0\iff u=\theta

操作後

\operatorname{MSE}_\theta(U)=0\iff U=\theta\quad P_\theta\text{-a.s.}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S07, work

葉節點依據：work

得到零MSE的精確a.s.語義，不要求每個零質量原子。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, G2, S07, work — 本例兩MSE皆正，亦不推一致性。
- S07 · premise_audit · G1, G2, S06, work — 已列出但機率權重為 0 的樣本點，即使有有限且非零的 loss，對 MSE 加權和的貢獻仍為 0。
- S06 · premise_audit · G1, G2, S05, work — 不是只用物件名稱差異否證數值相等。
- S05 · premise_audit · G1, G2, S04, work — 沒有把兩theta的MSE平均當pointwise MSE。
- S04 · premise_audit · G1, G2, S03, work — 1/4與3/4的差平方為1/4。
- S03 · premise_audit · G1, G2, S02, work — 中間loss雖零，其質量仍完整保留。
- S02 · premise_audit · G1, G2, S01, work — 目標theta不是mean1/8。
- S01 · premise_audit · G1, G2, work — 後續loss與權重必須來自同theta。





## 錯誤控制與反例

直接路徑三個loss逐項列出，不偷用後續decomposition。

參數對齊theta=3/4使用(9/16,1/4,1/16)loss配第二law。


- 01的loss零，故MSE零。 → reject — 第一law完整MSE為5/128。
- MSE以E[U]而非theta為target。 → reject — 那會是variance；此處目標明列theta。
- MSE零必須所有零質量原子也命中。 → reject — 非負和只約束正權項，因此是a.s.等式。





## 結論與限制

直接計得MSE_(1/4)=5/128、MSE_(3/4)=21/128，沒有使用分解公式。







## 驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 6b8dc75670c80b7c314c315d9ba0f05efd2bc67d8ee79d74ae4c39ae8edb70e6
- original source SHA-256: 5ba358558d2e86f84d7bddf9c595239e23b51aee26b3b923b284b2a70e7901b4
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-estimator-mean-squared-error-01.json)