# 同law二次矩與中心矩交叉核對 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-estimator-variance/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-estimator-variance-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 對全部theta算variance並核對中心定義。 variance只量隨機散布，不代表估計正確。 ## 已知條件與符號 - work - G1 — Θ={1/4,3/4}，Ω={00,01,10,11}；P_(1/4)=(9,3,3,1)/16，P_(3/4)=(1,3,3,9)/16。 - G2 — U(x)=(x1+x2)/4，依Ω順序的total table為(0,1/4,1/4,1/2)，目標參數為g(theta)=theta。 - θ — 固定但未知參數 - U — 同一total statistic ## 規則與來源 - mko_definition · cited — sampling law、support與mean全部綁同一theta，精確核Var_theta(T)=E_theta[(T-E_thetaT)^2]=E_theta[T^2]-(E_thetaT)^2。零變異只代表該theta下幾乎必然常數，不代表等於theta或無偏。 · mko-estimator-variance - work · prerequisite — 有限law機率非負且總和一；statistic只依樣本，期望為所有outcomes的加權和。 Var(U)=E[(U-EU)^2]=E[U²]-(EU)²。 ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 P_{1/4}^U=(9,6,1)/16,\quad P_{3/4}^U=(1,6,9)/16 操作後 E_{1/4}U=1/8,\quad E_{3/4}U=3/8 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, work 葉節點依據：work 完整抽樣law先固定各自中心。 S02 · implies操作前 E_{1/4}U^2=(1/16)(6/16)+(1/4)(1/16) 操作後 E_{1/4}U^2=5/128 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S01, work 葉節點依據：work 平方的是U值，不是機率。 S03 · implies操作前 \operatorname{Var}_{1/4}U=E_{1/4}U^2-(E_{1/4}U)^2 操作後 5/128-(1/8)^2=3/128 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S02, work 葉節點依據：work 用同theta的mean平方扣除。 S04 · implies操作前 E_{1/4}(U-1/8)^2 操作後 (9/16)(1/8)^2+(6/16)(1/8)^2+(1/16)(3/8)^2=3/128 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S03, work 葉節點依據：work 以中心平方差完整三項獨立核第一variance。 S05 · implies操作前 E_{3/4}U^2=(1/16)(6/16)+(1/4)(9/16) 操作後 E_{3/4}U^2=21/128 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S04, work 葉節點依據：work 第二law重新使用末項9/16。 S06 · implies操作前 \operatorname{Var}_{3/4}U=21/128-(3/8)^2 操作後 \operatorname{Var}_{3/4}U=3/128 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S05, work 葉節點依據：work 第二variance恰與第一相同，但mean不同。 S07 · implies操作前 E_{3/4}(U-3/8)^2 操作後 (1/16)(3/8)^2+(6/16)(1/8)^2+(9/16)(1/8)^2=3/128 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S06, work 葉節點依據：work 用第二中心平方和再次核對。 S08 · implies操作前 V(x)\equiv0,\quad\theta\in\{1/4,3/4\} 操作後 \operatorname{Var}_\theta(V)=0,\quad E_\theta[V]\ne\theta 條件：無 規則：work · 依賴：G1, G2, S07, work 葉節點依據：work 常數estimator提供零variance但有偏的明示邊界。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · G1, G2, S07, work — 零variance只保證該law下a.s.常數。 - S07 · premise_audit · G1, G2, S06, work — 每項均非負，所以負variance必是計算錯誤。 - S06 · premise_audit · G1, G2, S05, work — 相同variance不代表相同sampling law。 - S05 · premise_audit · G1, G2, S04, work — 不混入第一law權重。 - S04 · premise_audit · G1, G2, S03, work — 零support值的中心偏差不是零。 - S03 · premise_audit · G1, G2, S02, work — 不可扣(3/8)平方。 - S02 · premise_audit · G1, G2, S01, work — 中間值1/4平方為1/16。 - S01 · premise_audit · G1, G2, work — 同一U可有不同中心。 ## 錯誤控制與反例 同law中心theta=1/4配1/8，theta=3/4配3/8。 雙公式中心平方和與二次矩扣mean平方獨立比對3/128。 - 第一variance可用第二mean3/8中心化。 → reject — 第一law mean為1/8，必須同law。 - 零variance一定無偏。 → reject — V≡0有零variance但對theta>0有偏。 - 兩variance相同則兩laws相同。 → reject — U=0質量9/16與1/16不同。 ## 結論與限制 兩個theta的variance皆3/128，已由中心矩與二次矩各自核對。 ## 驗證及來源綁定 3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: 2ad002b889b15f44b5c24941287a4fa911adb4a34398f427dbc154661eb2827b - original source SHA-256: f2bbc9ab007672ceca721f29145874a8a606c1b10236341756c3630da64cd582 - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-estimator-variance-01.json)