# 兩條獨立路徑核Euler判準 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-criterion-quadratic-residue/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-euler-criterion-quadratic-residue-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 p=7,a=−4時Legendre值−1且a³≡6≡−1 mod7；2則給+1。 完整square-table與獨立repeated-squaring路徑，只認證p=7實例。 ## 已知條件與符號 - calc - G1 — p=7，a=−4；先規範a≡3 mod7，再獨立計Legendre值與a^{(p−1)/2}。 - Q_7 — 完整nonzero squares - (a/7) — signed Legendre值 ## 規則與來源 本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。 - calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。假設平方根trial division的prime判準；Legendre三值依zero及完整nonzero square table定義。 - mko_definition · cited — domain先要求odd prime p及a mod p非零。Legendre值必須由完整nonzero square table獨立重算；modular exponent以repeated squaring獨立計算，再把p-1解讀為-1。residue case輸出+1，nonresidue輸出-1。完整有限square table只核指定p與a，不能取代全體奇質數上的一般定理證明。p=2、composite modulus與a≡0 mod p不屬本定理domain；不得反過來用Euler criterion定義Legendre symbol，composite modulus也無此一般converse。 · mko-euler-criterion-quadratic-residue ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 p=7,\quad a=-4 操作後 7\text{ odd prime},\quad a\equiv3\ne0\pmod7,\quad(p-1)/2=3 條件：無 規則：calc · 依賴：G1 葉節點依據：calc 2不整除7且3²>7，prime domain通過；指數3為整數。 S02 · implies操作前 x=1,2,3,4,5,6 操作後 \begin{array}{c|rrrrrr}x&1&2&3&4&5&6\\\hline x^2\bmod7&1&4&2&2&4&1\end{array} 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S01 葉節點依據：calc 全部非零平方直接由六次乘法取得，完全不用half-power公式。 S03 · implies操作前 \begin{array}{c|rrrrrr}x&1&2&3&4&5&6\\\hline x^2\bmod7&1&4&2&2&4&1\end{array} 操作後 Q_7=\{1,2,4\},\quad(3/7)=-1,\quad(2/7)=1 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S02 葉節點依據：calc 3不在完整平方值中，2有根3；因此兩個符號獨立定義。 S04 · implies操作前 a\equiv3\pmod7 操作後 3^2=9\equiv2\pmod7 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S01 葉節點依據：calc 模冪路徑先平方base，僅用整數取餘。 S05 · implies操作前 3^2\equiv2\pmod7 操作後 3^3\equiv2\cdot3=6\equiv-1\pmod7 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S04 葉節點依據：calc 再乘一次base得到half-power6，正規化餘數6對應signed−1。 S06 · implies操作前 (a/7)=-1,\quad a^3\equiv6\pmod7 操作後 a^{(7-1)/2}\equiv(a/7)\pmod7 條件：無 規則：mko_definition · 依賴：G1, S01, S03, S05 葉節點依據：mko_definition 兩條獨立證書在同一a、p上相符，核此nonresidue實例。 S07 · implies操作前 b=2,\quad(2/7)=1 操作後 2^2\equiv4,\quad2^3\equiv4\cdot2\equiv1\pmod7 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S03 葉節點依據：calc 獨立模冪也核residue分支+1，而非只測一種符號。 S08 · implies操作前 a=1,2,3,4,5,6 操作後 a^3\bmod7=1,1,6,1,6,6;\quad(a/7)=1,1,-1,1,-1,-1 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S02, S03, S04, S05, S07 葉節點依據：calc 逐個平方再乘base得到完整六項對照表，核指定prime7全部非零類。 S09 · implies操作前 a\equiv0\pmod7\text{ or }p=2\text{ or }p\text{ composite} 操作後 \text{outside this criterion's qualified domain} 條件：無 規則：calc · 依賴：G1, S01, S06, S08 葉節點依據：calc 三個界線先擋住；例如zero的half-power0不是+1或−1。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S09 · premise_audit · G1, S01, S06, S08 — 未擴張成Jacobi、quadratic reciprocity或合數平方根算法。 - S08 · premise_audit · G1, S02, S03, S04, S05, S07 — 完整表仍只涵蓋p=7，不證所有奇prime的抽象定理。 - S07 · premise_audit · G1, S03 — root witness3²≡2來自S02，非從本冪結果推出。 - S06 · premise_audit · G1, S01, S03, S05 — 必保留模7：整數6不等於−1，只有同餘。 - S05 · premise_audit · G1, S04 — 不能把餘數6當Legendre的第4種值；符號值仍是−1。 - S04 · premise_audit · G1, S01 — 此計算未讀Q₇分類，與平方根表的用途不同。 - S03 · premise_audit · G1, S02 — 沒有從a³結果反過來定義符號。 - S02 · premise_audit · G1, S01 — 這條路徑提供獨立Legendre分類基礎。 - S01 · premise_audit · G1 — zero類不在本定理domain，不可只看prime條件。 ## 錯誤控制與反例 兩路徑先從完整squares定Legendre，另以平方乘法計half-power。 符號與residuemod7的6對signed−1，不是整數相等。 - 模7的zero類應輸出+1。 → reject — 0³=0且本判準要求非零。 - Legendre值就是整數6。 → reject — 6是−1的mod7代表，符號值是−1。 - 這個有限表證所有odd primes。 → reject — 表格只含p=7，各prime尚有獨立全稱責任。 ## 結論與限制 p=7,a=−4時Legendre值−1且a³≡6≡−1 mod7；2則給+1。 ## 驗證及來源綁定 3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: bfc2a00296ec4845bb2bac52d8d35b1658baa23430ee96f708f9268d434e17b8 - original source SHA-256: 2f805577c16cb2f7cbc2ff07f2140cb59c25f78198341aa58674efdb3cd73780 - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-euler-criterion-quadratic-residue-01.json)