# 模10的完整unit排列

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derivation-mko-euler-theorem-number-theory-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

對a=−3,n=10，φ(10)=4且a⁴≡1 mod10。

指定unit base的完整reduced代表系證書與獨立powmod；不作primality test。





## 已知條件與符號


- calc


- G1 — n=10，a=−3；代表1至10，全部gcd精確。


- U_{10} — 完整unit代表系
- P — unit乘積





## 規則與來源


- calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。
- mko_definition · cited — exact列舉reduced residue system並核乘a造成permutation，或用safe modular exponentiation核a^phi(n) mod n=1。負a先正規化。nonunit不適用，單次congruence沒有primality converse；Fermat小定理是prime modulus特例。 · mko-euler-theorem-number-theory





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

n=10,\quad a=-3

操作後

n\ge2,\quad a\equiv7\pmod{10},\quad\gcd(7,10)=1

條件：無

規則：calc · 依賴：G1

葉節點依據：calc

先核正模數與unit前提，負base正規化為7。



S02 · implies操作前

k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

操作後

\gcd(k,10)=1,2,1,2,5,2,1,2,1,10

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01

葉節點依據：calc

完整十項gcd清單，不漏偶數或終點。



S03 · implies操作前

U_{10}=\{1,3,7,9\}

操作後

\varphi(10)=4,\quad7U_{10}\pmod{10}=(7,1,9,3)

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02

葉節點依據：calc

四個units各被命中一次，乘7為完整排列。



S04 · implies操作前

P=1\cdot3\cdot7\cdot9=189

操作後

7^4P\equiv P\pmod{10},\quad P\equiv9,\quad9^{-1}\equiv9\pmod{10}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S03

葉節點依據：calc

排列乘積不變，P的逆9由9²≡1直接驗證。



S05 · implies操作前

7^4\cdot9\equiv9\pmod{10}

操作後

7^4\equiv1\pmod{10}\Rightarrow(-3)^4\equiv1\pmod{10}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01, S04

葉節點依據：calc

乘逆9消去P，回到原負代表a。



S06 · implies操作前

7^2=49

操作後

7^2\equiv9,\quad7^4\equiv9^2\equiv1\pmod{10}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S03, S05

葉節點依據：calc

獨立平方乘法核Euler結果。



S07 · implies操作前

a=2,\quad\gcd(2,10)=2

操作後

2^{\varphi(10)}=16\equiv6\not\equiv1\pmod{10}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S03

葉節點依據：calc

nonunit不符合假設，明示同餘失敗，不能無條件套公式。



S08 · implies操作前

10=2\cdot5\text{ composite},\quad(-3)^4\equiv1\pmod{10}

操作後

\text{Euler congruence holds for this composite modulus}

條件：無

規則：mko_definition · 依賴：G1, S03, S05, S06, S07

葉節點依據：mko_definition

正例本就使用合數10，足以說明通過Euler不代表prime。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S03, S05, S06, S07 — Fermat是prime模數時φ(p)=p−1的特例，不是反向判質數。
- S07 · premise_audit · G1, S03 — 此例不反駁Euler，因unit門檻未過。
- S06 · premise_audit · G1, S03, S05 — φ值由完整S02取得，不用指數測試反推φ。
- S05 · premise_audit · G1, S01, S04 — 得到mod10同餘，不是整數81=1。
- S04 · premise_audit · G1, S03 — 乘積可逆才可消去，不能把非units一併乘入。
- S03 · premise_audit · G1, S02 — 這裡核對的排列是同一個 unit 載體上的排列；本證書沒有枚舉全部十個 residues 的排列。
- S02 · premise_audit · G1, S01 — 只將gcd=1者選為units。
- S01 · premise_audit · G1 — gcd(7,10)=1由10=7+3、7=2·3+1確證。





## 錯誤控制與反例

unit前提必先gcd(a,n)=1，再做排列或消去。

範圍這裡n≥2，n=1慣例不延伸到此定理。


- 對任何a都可套Euler。 → reject — 2模10非unit且2⁴≡6。
- a⁴≡1證10質數。 → reject — 10=2·5。
- φ(10)=10。 → reject — 完整units只有1、3、7、9。





## 結論與限制

對a=−3,n=10，φ(10)=4且a⁴≡1 mod10。







## 驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 977d1dd55d45a5003a9f4880a149b3a8e21831959802a95451cfcdc9712cf56d
- original source SHA-256: e86f8dc2f3762aa9623aba948725f0429f19ae3a77d5522ab19d3138d2124453
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-euler-theorem-number-theory-01.json)