# 逐參數coverage、平均與selection

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derivation-mko-finite-confidence-interval-coverage-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

完整計算固定區間程序的pointwise及worst-case coverage。

頻率coverage非觀察後posterior；selection須重新納入。





## 已知條件與符號


- work


- G1 — Θ={0,1}，Ω={a,b,c}，P0=(1/2,1/4,1/4)，P1=(1/4,1/4,1/2)。預先固定I(a)=[0,0]、I(b)=[0,1]、I(c)=[0,0]。


- I(x) — 預先固定區間程序
- C(θ) — 逐參數coverage
- A — selection事件





## 規則與來源


- mko_definition · cited — 完整finite parametric laws逐theta normalized；procedure I(x)=[L(x),U(x)]在全部sample上total、預先固定、不依未知theta，且逐x有L≤U。逐參數coverage為sum_x P_theta(x)1{L(x)≤theta≤U(x)}，worst-case coverage是有限theta集合上的minimum。average-only boundary須明示至少兩個不同pointwise coverages及target，使average≥target而minimum<target；posterior probability不是coverage。selection若已納入完整procedure可重新計算，錯誤在忽略selection仍沿用舊coverage。 · mko-finite-confidence-interval-coverage
- work · prerequisite — C(theta)=sum_x Ptheta(x)1{L(x)≤theta≤U(x)}；worst case取min；正質量selection條件機率為intersection商。





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

P_0,P_1

操作後

1/2+1/4+1/4=1,\quad1/4+1/4+1/2=1

條件：無

規則：work · 依賴：G1, work

葉節點依據：work

完整兩law均歸一；每樣本的區間皆已預定。



S02 · implies操作前

I(a),I(b),I(c)

操作後

L(x)\le U(x)\quad\text{for all }x\in\Omega

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S01, work

葉節點依據：work

三個closed interval都有有序端點，procedure total。



S03 · implies操作前

\theta=0:\quad\mathbf1\{0\in I(x)\}

操作後

(1,1,1),\quad C(0)=1

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S02, work

葉節點依據：work

零在所有closed intervals內，故完整coverage一。



S04 · implies操作前

\theta=1:\quad\mathbf1\{1\in I(x)\}

操作後

(0,1,0),\quad C(1)=P_1(b)=1/4

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S03, work

葉節點依據：work

一只在b的區間內，取第二law的b質量。



S05 · implies操作前

\min_{\theta\in\Theta}C(\theta)

操作後

\min(1,1/4)=1/4

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S04, work

葉節點依據：work

有限參數集合的worst-case coverage取最小，不取平均。



S06 · implies操作前

\overline C=(C(0)+C(1))/2,\quad q=1/2

操作後

\overline C=5/8\ge1/2>1/4=\min C

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S05, work

葉節點依據：work

明列average-only邊界：平均達標但pointwise保證失敗。



S07 · implies操作前

A=\{a,b\}\text{ selected},\quad\theta=1

操作後

P_1(1\in I(X)\mid A)=\frac{P_1(b)}{P_1(a)+P_1(b)}=1/2

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S06, work

葉節點依據：work

若只在a、b報告，需重新算conditional coverage，與原1/4不同。



S08 · implies操作前

x_{\rm obs}=b,\quad I(b)=[0,1]

操作後

\mathbf1\{\theta\in I(b)\}=1\quad(\theta=0,1)

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S07, work

葉節點依據：work

觀察後這個固定區間對兩個允許theta都包含，不能把程序coverage1/4當此區間posterior。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S07, work — posterior需要prior與資料更新；本例未供prior。
- S07 · premise_audit · G1, S06, work — selection分母1/2正；零選中質量則條件coverage未定義。
- S06 · premise_audit · G1, S05, work — 此平均只是指定均權摘要，不是自動頻率保證或prior。
- S05 · premise_audit · G1, S04, work — 兩個theta都已完整計算。
- S04 · premise_audit · G1, S03, work — 即使 P_0(b) 與 P_1(b) 數值相同，也不能因此混淆 law 的角色；此處必須使用 P_1(b)。
- S03 · premise_audit · G1, S02, work — 端點等號必須包含。
- S02 · premise_audit · G1, S01, work — 兩個單點區間[0,0]合法。
- S01 · premise_audit · G1, work — 不能依真theta另換區間程序。





## 錯誤控制與反例

完整程序a、b、c區間先固定再對兩law加權。

selection重算選後分子、分母都在同theta law計算。


- 平均5/8故每theta coverage≥1/2。 → reject — theta=1的coverage只有1/4。
- 選中a、b後coverage仍1/4。 → reject — theta=1的conditional coverage重新算為1/2。
- 觀察b後theta在I(b)的posterior機率是1/4。 → reject — I(b)包含全部Θ，任何合法posterior都給1；原1/4是程序pointwise coverage。





## 結論與限制

C(0)=1、C(1)=1/4，worst case1/4；平均5/8不給1/2的全參數保證。







## 驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 4107037a3f83077f1cc2a7fa2b5b455a7cdbabb0e3e44d2397157a1118baea32
- original source SHA-256: e02e1138c369c28009b17a65c10da3c0ca5a8b024ccd40f5a3df260cadf99b8b
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-finite-confidence-interval-coverage-01.json)