# 有限離散機率分布：核 PMF 資格、事件機率、期望與推前分布

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derivation-mko-finite-discrete-probability-distribution-01 · production-20261019-adopted-96



## 目標與範圍

隨機變數 X 取值 −1、0、1、2，質量 p(−1)=1/6、p(0)=1/3、p(1)=1/4、p(2)=1/4。（一）先核 p 是否為合格 PMF；（二）求 P(X≥1)；（三）求 E[X]；（四）求 Y=X² 的推前分布、證明它仍是 PMF，求 E[Y] 並以 Σx²p(x) 交叉核對；（五）判定兩個候選 q、r 不是 PMF：q 每項介於 0 與 1 但總和不為 1，r 總和為 1 但有負項。

只處理有限值域、值互異、質量為精確有理數的數學分布（MKO 假設 a1）；不宣稱分布來自樣本估計、資料擬合或真實族群（MKO 假設 a2）。推前分布與重組求和的兩個引理對任意有限值域證明；其餘計算只對給定數字。不處理聯合分布或 Markov 鏈；不改動 canonical MKO 或英文 edition。





## 已知條件與符號


- frac_rules
- finite_sum_rules
- prob_axioms
- numeric_evaluation


- G1 — X 的值域 R_X={−1,0,1,2}，四個值互異；p(−1)=1/6，p(0)=1/3，p(1)=1/4，p(2)=1/4，都是精確有理數。
- G2 — g(x)=x²，Y=g(X)。
- G3 — 同一值域上的兩個候選：q(−1)=1/2、q(0)=1/3、q(1)=1/4、q(2)=0；r(−1)=1/2、r(0)=2/3、r(1)=−1/6、r(2)=0。
- G4 — 這些分布都是給定的數學分布，不是由觀測資料估計或擬合而來（MKO 假設 a2）。


- R_X=\{-1,0,1,2\} — X 的有限值域
- p(x) — X 的機率質量函數
- P(X\in A) — 事件 A 的機率
- E[X] — X 的期望
- g(x)=x^2,\ Y=g(X) — 推前所用的函數與新隨機變數
- p_Y(y) — Y 的推前質量





## 規則與來源


- frac_rules · prerequisite — 分數運算（分母皆非零）：a/c+b/c=(a+b)/c；(a/b)(c/d)=(ac)/(bd)；(a/b)/(c/d)=(ad)/(bc)（另需 c≠0）；a/b=(ak)/(bk)（k≠0）。
- finite_sum_rules · prerequisite — 有限和：Σ_{i=1}^{0} a_i=0、Σ_{i=1}^{n+1} a_i=Σ_{i=1}^{n} a_i + a_{n+1}；Σ(a_i+b_i)=Σa_i+Σb_i；Σ c·a_i=c·Σa_i。
- prob_axioms · prerequisite — 機率公理：P(A)≥0；P(Ω)=1；兩兩互斥事件的（可數）聯集機率等於各機率之和。由此 P(∅)=0、P(Aᶜ)=1−P(A)。
- numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
- finite_counting_basics · prerequisite — 有限計數：互斥有限集合 A、B 有 |A∪B|=|A|+|B|；|A×B|=|A|·|B|；有限集之間存在雙射 ⇔ 元素個數相同。
- order_basics · prerequisite — 實數的序：任兩數恰有 u<v、u=v、u>v 之一；u<v 且 v<w 推出 u<w；u<v 推出 u+w<v+w；u<v 且 w>0 推出 uw<vw；u<v 且 w<0 推出 uw>vw。
- and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
- set_builder · prerequisite — 集合建構式：x∈{y∈A ∣ P(y)} 當且僅當 x∈A 且 P(x)。
- neg_mul · prerequisite — 負號與乘法：(−u)v=−(uv)，(−u)(−v)=uv。
- mul_zero · prerequisite — 乘以零：u·0=0。理由：u·0=u·(0+0)=u·0+u·0，兩邊同減 u·0 得 0=u·0。
- image_preimage_def · prerequisite — 像與原像：f(S)={f(a) ∣ a∈S}；f⁻¹(T)={a∈A ∣ f(a)∈T}。原像記號不預設 f 有反函數。
- function_def · prerequisite — 函數：f:A→B 對每個 a∈A 指定恰好一個 f(a)∈B。兩函數相等 ⇔ 定義域、對應域相同且對每個 a 都有相同值。
- distributive · prerequisite — 分配律：u(v+w)=uv+uw；配合乘法交換律也有 (v+w)u=vu+wu。
- eq_replace · prerequisite — 等值代換：命題中的一個式子可換成與它相等的式子，命題的真假不變。
- mko_pmf_def · cited — 有限離散隨機變數的機率質量函數 p 對每個有限值域元素指定非負機率，且所有質量和為 1。事件機率由相應質量相加，期望為值與質量的加權和。 · mko-finite-discrete-probability-distribution
- event_sum · prerequisite — 對值域的子集 A，P(X∈A)=Σ_{x∈A} p(x)；A 以外的值不加入。
- expectation_def · prerequisite — 有限值域的期望：E[X]=Σ_{x∈R_X} x·p(x)。
- pushforward_def · prerequisite — 對函數 g，Y=g(X) 的值域是 R_Y=g(R_X)，推前質量 p_Y(y)=Σ_{x∈R_X, g(x)=y} p(x)，即把映到同一新值的原質量相加。
- sum_over_partition · prerequisite — 若有限集合 S 是兩兩不交的子集 S_y（y∈Y）的聯集，則 Σ_{x∈S} a_x=Σ_{y∈Y} Σ_{x∈S_y} a_x（有限和的結合與交換律）。
- L_pushforward_total · lemma — 若 p 是有限值域 R_X 上的 PMF、g 是定義在 R_X 上的函數，則推前質量 p_Y 是 R_Y=g(R_X) 上的 PMF。
- L_regroup · lemma — 在 L_pushforward_total 的設定下，Σ_{y∈R_Y} y·p_Y(y)=Σ_{x∈R_X} g(x)·p(x)。





## 逐步主鏈

S01 · definition操作前

p:R_X\to\mathbb{Q}

操作後

p\ \text{is a PMF}\iff \forall x\in R_X:\ p(x)\ge 0\ \land\ \sum_{x\in R_X}p(x)=1

條件：無

規則：mko_pmf_def · 依賴：mko_pmf_def, G1

葉節點依據：mko_pmf_def + prob_axioms

依 MKO，PMF 的資格有兩項：每個質量非負，且全部質量和恰為 1。MKO 第一段要求先核資格；不合格時不能繼續把它當機率分布求事件機率或期望。



S02 · implies操作前

R_X=\{-1,0,1,2\}

操作後

|R_X|=4,\ \text{values distinct}

條件：無

規則：finite_counting_basics · 依賴：G1

葉節點依據：finite_counting_basics

四個值 −1、0、1、2 兩兩相異，值域有限，每個值恰有一個質量。這是 MKO 假設 a1 的要求：若同一值出現兩次，總和會重複計算。



S03 · implies操作前

p(-1)=\tfrac16,\ p(0)=\tfrac13,\ p(1)=\tfrac14,\ p(2)=\tfrac14

操作後

\forall x\in R_X:\ p(x)\ge 0

條件：無

規則：order_basics · 依賴：G1

葉節點依據：order_basics + frac_rules

四個質量都是正分子除以正分母，所以都大於 0，當然非負。四個值逐一核完。



S04 · equivalent操作前

\sum_{x\in R_X}p(x)=\tfrac16+\tfrac13+\tfrac14+\tfrac14

操作後

1

條件：無

規則：frac_rules · 依賴：G1, S02

葉節點依據：frac_rules + finite_sum_rules + numeric_evaluation

因值互異（S02），總和恰是四個質量各加一次。通分到 12 再相加，見子步 S04.1、S04.2。



S05 · implies操作前

p\ge 0,\ \sum p=1

操作後

p\ \text{is a PMF on } R_X

條件：無

規則：mko_pmf_def · 依賴：S01, S03, S04

葉節點依據：mko_pmf_def + and_intro_elim

S03 給非負，S04 給總和恰為 1，依 S01 的資格條件，p 是合格的 PMF，之後才可以求事件機率與期望。



S06 · equivalent操作前

A=\{x\in R_X\mid x\ge 1\}

操作後

A=\{1,2\}

條件：無

規則：set_builder · 依賴：G1

葉節點依據：set_builder + order_basics

逐一判定值域中的值是否滿足 x≥1：−1 否、0 否、1 是（等號成立）、2 是。所以事件 X≥1 對應 A={1,2}。



S07 · equivalent操作前

P(X\ge 1)=\sum_{x\in A}p(x)

操作後

\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12

條件：無

規則：event_sum · 依賴：S05, S06, event_sum

葉節點依據：event_sum + frac_rules + numeric_evaluation

事件機率是事件所含值的質量和（MKO 第二段）：p(1)+p(2)=1/4+1/4=1/2；事件外的 −1 與 0 不加入。



S08 · implies操作前

P(X\in R_X\setminus A)=\tfrac16+\tfrac13

操作後

\tfrac12,\quad P(A)+P(R_X\setminus A)=1

條件：無

規則：event_sum · 依賴：S05, S06, S07, event_sum

葉節點依據：event_sum + prob_axioms + numeric_evaluation

核對：補事件 {−1,0} 的機率是 1/6+1/3=1/2；兩者相加為 1，符合機率公理中 P(Aᶜ)=1−P(A)。



S09 · equivalent操作前

E[X]=\sum_{x\in R_X}x\,p(x)

操作後

\tfrac{7}{12}

條件：無

規則：expectation_def · 依賴：S05, expectation_def

葉節點依據：expectation_def + frac_rules + numeric_evaluation

期望是值與質量的加權和（MKO）。逐項相乘見 S09.1，相加見 S09.2。



S10 · implies操作前

g(-1)=1,\ g(0)=0,\ g(1)=1,\ g(2)=4

操作後

R_Y=\{0,1,4\};\ g^{-1}(0)=\{0\},\ g^{-1}(1)=\{-1,1\},\ g^{-1}(4)=\{2\}

條件：無

規則：image_preimage_def · 依賴：G1, G2, pushforward_def

葉節點依據：image_preimage_def + function_def + numeric_evaluation

逐一計算 g(x)=x²：(−1)²=1，0²=0，1²=1，2²=4。新值域是像集 {0,1,4}；每個新值的原像是映到它的原值集合。−1 與 1 都映到 1。



S11 · equivalent操作前

p_Y(y)=\sum_{x\in g^{-1}(y)}p(x)

操作後

p_Y(0)=\tfrac13,\ p_Y(1)=\tfrac16+\tfrac14=\tfrac{5}{12},\ p_Y(4)=\tfrac14

條件：無

規則：pushforward_def · 依賴：S10, G1, pushforward_def

葉節點依據：pushforward_def + frac_rules + numeric_evaluation

依推前定義把映到同一新值的原質量相加（MKO 第三段）：p_Y(1)=p(−1)+p(1)=2/12+3/12=5/12；其餘兩個原像各只有一個元素。



S12 · theorem_application操作前

p_Y\ \text{on } R_Y=\{0,1,4\}

操作後

p_Y\ \text{is a PMF};\ \tfrac13+\tfrac{5}{12}+\tfrac14=1

條件：無

規則：L_pushforward_total · 依賴：S05, S11

葉節點依據：L_pushforward_total + numeric_evaluation

依引理 L_pushforward_total（證明在 S12.1、S12.2，對任意有限值域成立），由 p 是 PMF 推出 p_Y 是 PMF。直接核對：4/12+5/12+3/12=12/12=1，與引理一致。



S13 · equivalent操作前

E[Y]=\sum_{y\in R_Y}y\,p_Y(y)

操作後

0\cdot\tfrac13+1\cdot\tfrac{5}{12}+4\cdot\tfrac14=\tfrac{17}{12}

條件：無

規則：expectation_def · 依賴：S11, S12, expectation_def

葉節點依據：expectation_def + frac_rules + numeric_evaluation

p_Y 已是 PMF（S12），可求期望：0+5/12+1=5/12+12/12=17/12。



S14 · equivalent操作前

\sum_{y\in R_Y}y\,p_Y(y)

操作後

\sum_{x\in R_X}x^2p(x)=\tfrac16+0+\tfrac14+1=\tfrac{17}{12}

條件：無

規則：L_regroup · 依賴：S12, S13

葉節點依據：L_regroup + frac_rules + numeric_evaluation

交叉核對：依引理 L_regroup（證明在 S14.1），Y 的期望也可以直接在 X 的值域上算 Σx²p(x)=1·(1/6)+0·(1/3)+1·(1/4)+4·(1/4)=2/12+0+3/12+12/12=17/12，與 S13 相同。



S15 · implies操作前

\sum_{x}q(x)=\tfrac12+\tfrac13+\tfrac14+0

操作後

\tfrac{13}{12}\neq 1;\ q\ \text{is not a PMF}

條件：無

規則：mko_pmf_def · 依賴：G3, S01

葉節點依據：mko_pmf_def + frac_rules + numeric_evaluation

q 的每一項都介於 0 與 1 之間，但總和為 6/12+4/12+3/12+0=13/12≠1，不符合資格，所以 q 不是 PMF，不能拿它求事件機率或期望。



S16 · implies操作前

r(1)=-\tfrac16,\ \sum_x r(x)=1

操作後

r\ \text{is not a PMF}

條件：無

規則：mko_pmf_def · 依賴：G3, S01

葉節點依據：mko_pmf_def + order_basics + numeric_evaluation

r 的總和 3/6+4/6−1/6+0=6/6=1，但 r(1)=−1/6<0，違反非負，所以 r 不是 PMF。資格的兩項條件互相獨立，缺一不可。







## 局部子步與引理

S04.1 · equivalent操作前

\tfrac16+\tfrac13+\tfrac14+\tfrac14

操作後

\tfrac{2}{12}+\tfrac{4}{12}+\tfrac{3}{12}+\tfrac{3}{12}

條件：2,4,3\neq 0

規則：frac_rules · 依賴：frac_rules

葉節點依據：frac_rules

分子分母同乘非零整數不改變分數：1/6=2/12（乘 2），1/3=4/12（乘 4），1/4=3/12（乘 3）。



S04.2 · equivalent操作前

\tfrac{2}{12}+\tfrac{4}{12}+\tfrac{3}{12}+\tfrac{3}{12}

操作後

\tfrac{12}{12}=1

條件：12\neq 0

規則：frac_rules · 依賴：S04.1, frac_rules

葉節點依據：frac_rules + numeric_evaluation

同分母相加只加分子：2+4+3+3=12，得 12/12=1。總和恰為 1，不是約等於 1。



S09.1 · equivalent操作前

\sum_{x\in R_X}x\,p(x)

操作後

(-1)\cdot\tfrac16+0\cdot\tfrac13+1\cdot\tfrac14+2\cdot\tfrac14

條件：無

規則：finite_sum_rules · 依賴：G1, expectation_def

葉節點依據：finite_sum_rules

依值域的四個值展開有限和，每個值乘上它自己的質量。值 0 的項為 0，但仍屬於和的一項。



S09.2 · equivalent操作前

(-1)\cdot\tfrac16+0\cdot\tfrac13+1\cdot\tfrac14+2\cdot\tfrac14

操作後

-\tfrac{2}{12}+0+\tfrac{3}{12}+\tfrac{6}{12}=\tfrac{7}{12}

條件：無

規則：frac_rules · 依賴：S09.1, frac_rules

葉節點依據：frac_rules + neg_mul + mul_zero + numeric_evaluation

各項為 −1/6=−2/12、0、1/4=3/12、2/4=6/12；分子相加 −2+0+3+6=7，得 7/12。期望不必是值域中的值。



S12.1 · implies操作前

p(x)\ge 0\ \forall x

操作後

p_Y(y)=\sum_{x\in g^{-1}(y)}p(x)\ge 0

條件：無

規則：order_basics · 依賴：pushforward_def, order_basics

葉節點依據：order_basics + finite_sum_rules

對任意 y∈R_Y，p_Y(y) 是若干非負數之和，非負數之和仍非負（依序與加法相容，逐項累加）。這證明了推前質量的非負性。



S12.2 · equivalent操作前

\sum_{y\in R_Y}p_Y(y)=\sum_{y\in R_Y}\sum_{x\in g^{-1}(y)}p(x)

操作後

\sum_{x\in R_X}p(x)=1

條件：無

規則：sum_over_partition · 依賴：S12.1, pushforward_def, sum_over_partition

葉節點依據：sum_over_partition + function_def + prob_axioms

因 g 是函數，每個 x∈R_X 恰屬於一個原像 g⁻¹(g(x))：原像兩兩不交，聯集為 R_X。依分割求和，雙重和等於對 R_X 的和，而 p 是 PMF，所以等於 1。S12.1 與 S12.2 合起來證得引理 L_pushforward_total。



S14.1 · equivalent操作前

\sum_{y\in R_Y}y\sum_{x\in g^{-1}(y)}p(x)

操作後

\sum_{y\in R_Y}\sum_{x\in g^{-1}(y)}g(x)p(x)=\sum_{x\in R_X}g(x)p(x)

條件：無

規則：sum_over_partition · 依賴：pushforward_def, sum_over_partition, distributive

葉節點依據：distributive + eq_replace + sum_over_partition + finite_sum_rules

把 p_Y(y) 的定義代入後，用分配律把 y 乘進內層和；內層的每個 x 都滿足 g(x)=y，所以 y 可換成 g(x)；最後依分割求和把雙重和合併成對 R_X 的和。S14.1 證得引理 L_regroup。







## 逐步反向審查


- S16 · sufficient_goal_reduction · G3, mko_pmf_def, order_basics — 目標 G：r 不是 PMF。足夠條件 H：有一項為負；H⇒G 由定義。H 直接由 G3 讀出（N13），沒有把 G 當作前提。
- S15 · sufficient_goal_reduction · G3, mko_pmf_def, numeric_evaluation — 目標 G：q 不是 PMF。足夠條件 H：總和不為 1；H⇒G 由定義。H 由精確求和得到（N10、N11），沒有把 G 當作前提。
- S14.1 · inverse_equivalence · distributive, eq_replace, sum_over_partition — 分配律、等值代換與分割求和都是等式，反向依序還原。
- S14 · inverse_equivalence · L_regroup, numeric_evaluation — 引理是等式，雙向成立；兩條獨立算法得到同一個 17/12（N8、N9）。
- S13 · inverse_equivalence · expectation_def, frac_rules, numeric_evaluation — 精確求值（N8），兩邊同一個數。
- S12.2 · inverse_equivalence · sum_over_partition, function_def — 分割求和是等式，兩個方向都成立；關鍵條件是每個 x 恰在一個區塊中，這由 g 是函數保證。
- S12.1 · premise_audit · pushforward_def, order_basics — 只用 p 的非負性；不宣稱 p_Y(y)>0，也不宣稱反向。
- S12 · premise_audit · S05, L_pushforward_total — 引理的前提是 p 為 PMF（S05）與 g 為函數（G2）；數值核對 N7 是一致性檢查，不取代引理。
- S11 · inverse_equivalence · pushforward_def, frac_rules, numeric_evaluation — 每個 p_Y(y) 都是定義式的精確求值（N6），雙向成立。
- S10 · premise_audit · image_preimage_def, G2 — 三個原像兩兩不交且聯集為 R_X，這是 S12.2 會用到的分割性質；g 不是單射，所以不能把 Y 的值一對一對回 X。
- S09.2 · inverse_equivalence · frac_rules, numeric_evaluation — 精確有理數運算，可獨立重算。
- S09.1 · inverse_equivalence · finite_sum_rules — 有限和的展開與收回互為反向。
- S09 · inverse_equivalence · expectation_def, numeric_evaluation — 精確求值（N5），兩邊同一個數。
- S08 · premise_audit · S07, event_sum, prob_axioms — 這是一致性核對，不是新的推論；它確認 S07 沒有漏算或多算。
- S07 · inverse_equivalence · event_sum, frac_rules, numeric_evaluation — 精確求值，兩邊同一個數（N3）。前提是 S05 已確認 p 是 PMF。
- S06 · inverse_equivalence · set_builder — 集合建構記號的成員條件是雙向的；四個值都逐一判定過。
- S05 · sufficient_goal_reduction · S03, S04, mko_pmf_def — 目標 G：p 是 PMF。足夠條件 H：非負且總和為 1；H⇒G 由定義。H 由 S03、S04 正向證成，沒有把 G 當作前提。
- S04.2 · inverse_equivalence · frac_rules, numeric_evaluation — 整數加法與分數規則都是等式，可獨立重算（N2）。
- S04.1 · inverse_equivalence · frac_rules — 約分即反向，前提是乘數不為零。
- S04 · inverse_equivalence · frac_rules, numeric_evaluation — 精確有理數求值，兩邊是同一個數（N1），雙向成立。
- S03 · premise_audit · G1, order_basics — 非負只是資格的一半；它不推出總和為 1。
- S02 · premise_audit · G1, finite_counting_basics — 只核值域的形狀；不涉及質量的大小。
- S01 · premise_audit · mko_pmf_def, prob_axioms — 此步只寫出資格條件，不推出新事實；兩項條件對應機率公理的非負與總機率為 1。





## 錯誤控制與反例

每項介於 0 與 1 不代表總和為 1MKO 指出的誤解是只因每項介於 0 與 1 就忽略總和。q 的每一項都在 [0,1] 內，總和卻是 13/12；r 總和為 1 卻有負項。資格必須同時核兩項，並且用精確分數相加，不用小數近似。

理論分布不是資料擬合MKO 的另一個誤解是把理論 PMF 冒充資料擬合結果。本稿的 1/6、1/3、1/4、1/4 是給定的數學分布（G4），沒有任何觀測資料；說「12 次試驗中恰有 2 次得到 −1」或「這是由樣本估計的分布」都超出本稿能支持的範圍。推前分布也只是精確的數學轉換。

推前要合併同值的質量−1 與 1 都映到 1，所以 p_Y(1)=1/6+1/4=5/12。若只取 p(1)=1/4，或把值 1 列兩次，總和就不是 1 或值不再互異。另外 E[X²]=17/12 與 (E[X])²=49/144 不同：平方的期望一般不等於期望的平方。


- q 的每一項都介於 0 與 1，所以 q 是 PMF → reject — q 的總和是 13/12≠1。
- r 的總和為 1，所以 r 是 PMF → reject — r(1)=−1/6<0，違反非負。
- P(X≥1)=p(2)=1/4，因為只有 2 大於 1 → reject — 事件是 x≥1，包含 1；P(X≥1)=1/4+1/4=1/2。
- E[X²]=(E[X])²=49/144 → reject — E[X²]=17/12，與 49/144 不同。
- p_Y(1)=p(1)=1/4，因為 g(1)=1 → reject — g(−1)=1 也映到 1，必須相加：p_Y(1)=5/12。





## 結論與限制

p 非負且總和恰為 1，是合格的 PMF。P(X≥1)=p(1)+p(2)=1/2；E[X]=7/12。Y=X² 的推前分布為 p_Y(0)=1/3、p_Y(1)=5/12、p_Y(4)=1/4，仍是 PMF（對任意有限值域證明），E[Y]=17/12，與 Σx²p(x) 一致。q 每項介於 0 與 1 但總和 13/12，r 總和為 1 但 r(1)=−1/6，兩者都不是 PMF。


- 引理 L_pushforward_total 與 L_regroup 只對有限值域證明；可數或連續情形需要級數或積分，本稿不處理。
- 本稿不處理聯合分布、離散隨機過程或有限 Markov 鏈（MKO 的 formal next），也不做任何統計推論。





## 驗證及來源綁定

14 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
- adopted source SHA-256: c76a1162145f6b40efb60946aa3c825a45dc36a902c036a45e633fa39245b697
- original source SHA-256: c76a1162145f6b40efb60946aa3c825a45dc36a902c036a45e633fa39245b697
- Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/production-20261019/guides/derivation-mko-finite-discrete-probability-distribution-01.json)