# 全部交換rows認證群中心

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derivation-mko-finite-group-center-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

Z(G)={e}，直接驗subgroup及normal；G非abelian，r雖與自身交換卻不central。

完整六乘六commutation table、閉性與全共軛；不宣稱characteristic或class equation。





## 已知條件與符號


- calc


- G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。


- G — 六元素群載體
- r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
- T,F — 完整交換測試的真偽
- Z(G) — 所有全T rows的元素





## 規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。


- calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
- mko_definition · cited — 由完整 Cayley table 建立每個候選元素對所有 g 的 commutation row，Z(G) 是所有 row 全真者。需直接驗 identity、product、inverse closure 形成 subgroup，再對所有 g,z 驗 gzg^{-1} 仍在 Z(G) 以證 normal。z 的共軛類為單元素集，當且僅當 z∈Z(G)；Z(G)=G，當且僅當 G 為交換群。中心的定義要求與每個群元素交換，不能一般地用單一元素的 centralizer 取代；特定群中兩個集合可能相等。本輪不宣稱 characteristic 或 class equation。 · mko-finite-group-center





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

操作後

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1

葉節點依據：calc

將給定配對公式逐36對展開，全部輸出在同一六元素載體，沒有缺格。



S02 · implies操作前

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

操作後

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01

葉節點依據：calc

兩種括號的座標公式相同，證全部216 triples結合律；(0,0)兩側中性，列出的逆元兩側乘回(0,0)。



S03 · implies操作前

z,g=e,r,r^2,s,rs,r^2s

操作後

\begin{array}{c|cccccc}gx=xg&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&T&T&T&T&T&T\\r&T&T&T&F&F&F\\r^2&T&T&T&F&F&F\\s&T&F&F&T&F&F\\rs&T&F&F&F&T&F\\r^2s&T&F&F&F&F&T\\\end{array}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01, S02

葉節點依據：calc

完整36個boolean記錄zg=gz；每個row與全部六個g比較。



S04 · implies操作前

Z(G)=\{z:\ zg=gz\ \forall g\in G\}

操作後

Z(G)=\{e\}

條件：無

規則：mko_definition · 依賴：G1, S03

葉節點依據：mko_definition

只有e-row全T，其餘五row各有F，故完整中心只有identity。



S05 · implies操作前

Z=\{e\}

操作後

e\in Z,\quad ee=e\in Z,\quad e^{-1}=e\in Z\Rightarrow Z\le G

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02, S04

葉節點依據：calc

singleton載體的identity、全部一個product與全部一個inverse都直接核。



S06 · implies操作前

g=e,r,r^2,s,rs,r^2s,\quad z=e

操作後

geg^{-1}=e,e,e,e,e,e\text{ respectively}\Rightarrow Z\trianglelefteq G

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02, S04, S05

葉節點依據：calc

全部六個conjugations保留唯一中心元素，直接證normal。



S07 · equivalent操作前

gxg^{-1}=x\ \forall g

操作後

gx=xg\ \forall g\iff x\in Z(G)\iff\operatorname{Cl}(x)=\{x\}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02, S03, S04

葉節點依據：calc

右乘g及反向右乘g⁻¹證singleton class與centrality等價；本例唯一e符合。



S08 · implies操作前

rs\ne sr=r^2s

操作後

G\text{ not abelian};\quad Z(G)\ne G;\quad Z(G)=G\iff G\text{ abelian}

條件：無

規則：mko_definition · 依賴：G1, S01, S03, S04, S07

葉節點依據：mko_definition

明示不交換pair否證abelian；一般等價是把全部z與g交換的同一句定義重寫。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S01, S03, S04, S07 — 只與固定r交換的集合{e,r,r²}比中心大，不能把單元素centralizer當Z(G)。
- S07 · inverse_equivalence · G1, S02, S03, S04 — 不需要class-size公式或class equation，只用全稱交換定義。
- S06 · premise_audit · G1, S02, S04, S05 — normal與subgroup是兩層核對，前一步不能單獨代替此步。
- S05 · premise_audit · G1, S02, S04 — 中心子群性不是從名稱跳過，完整有限責任已滿足。
- S04 · premise_audit · G1, S03 — r-row對e、r、r²為T仍不足，對s為F已否證central。
- S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — T必來自同表兩個product相等，不是只看某一個g。
- S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
- S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。





## 錯誤控制與反例

同一群表全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。


- r與r交換，所以r central。 → reject — r與s不交換，central要求全部g。
- Z(G)={e,r,r²}。 → reject — 這是與r交換的集合；r、r²皆不與s交換。
- 群有限便abelian。 → reject — 此完整六元素表有rs≠sr。





## 結論與限制

Z(G)={e}，直接驗subgroup及normal；G非abelian，r雖與自身交換卻不central。







## 驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: a09d76035cc0fb9c7b94984a4710a247026139a690e8d946c8fb33de53d58b04
- original source SHA-256: b8003d263c41d04f2bf8df3d9db33a054c738be3d16e50080408676978cb6c9f
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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