# 完整共軛作用與三個classes

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derivation-mko-finite-group-conjugacy-class-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

全部共軛類是{e}、{r,r²}、{s,rs,r²s}；r與s不共軛。

完整Cayley導出共軛action、全部orbits與partition；不用centralizer或class-size公式。





## 已知條件與符號


- calc


- G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。


- G — 六元素群載體
- r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
- \operatorname{Cl}(x) — element x的共軛類





## 規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。


- calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
- mko_definition · cited — 必須從完整 Cayley table 與 inverse 建立完整 conjugation action table，逐一驗 identity/action composition。指定 x 的 class 是所有 gxg^{-1} 的完整集合；全部 classes 兩兩相等或不交且 union 為 G。singleton class 恰表示 x 與所有 g commute。明示 y 不在 class(x) 即可證兩元素 nonconjugate。共軛類、coset 與 conjugate subgroup 是不同構造，不應混同；特定情況下其底層集合可以恰好相等。本輪不使用 class-size=[G:C_G(x)]，因此不引入 centralizer 或額外 orbit-stabilizer 結論。 · mko-finite-group-conjugacy-class





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

操作後

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1

葉節點依據：calc

將給定配對公式逐36對展開，全部輸出在同一六元素載體，沒有缺格。



S02 · implies操作前

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

操作後

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01

葉節點依據：calc

兩種括號的座標公式相同，證全部216 triples結合律；(0,0)兩側中性，列出的逆元兩側乘回(0,0)。



S03 · implies操作前

g,x\in G,\quad c_g(x)=gxg^{-1}

操作後

\begin{array}{c|cccccc}gxg^{-1}&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&e&r&r^2&r^2s&s&rs\\r^2&e&r&r^2&rs&r^2s&s\\s&e&r^2&r&s&r^2s&rs\\rs&e&r^2&r&r^2s&rs&s\\r^2s&e&r^2&r&rs&s&r^2s\\\end{array}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01, S02

葉節點依據：calc

由父表及全部逆元計出完整36格conjugation table，載體仍G。



S04 · implies操作前

c_e(x)=exe^{-1}=x

操作後

c_{gh}(x)=(gh)x(h^{-1}g^{-1})=g(hxh^{-1})g^{-1}=c_g(c_h(x))

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02, S03

葉節點依據：calc

群律證單位與全部composition相容，所以這是已認證的共軛作用。



S05 · implies操作前

\operatorname{Cl}(x)=\{c_g(x):g\in G\}

操作後

\operatorname{Cl}(e)=\{e\},\quad\operatorname{Cl}(r)=\operatorname{Cl}(r^2)=\{r,r^2\}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S03, S04

葉節點依據：calc

完整e、r、r² columns去重得到identity類與rotation類。



S06 · implies操作前

x=s,rs,r^2s

操作後

\operatorname{Cl}(s)=\operatorname{Cl}(rs)=\operatorname{Cl}(r^2s)=\{s,rs,r^2s\}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S03, S04, S05

葉節點依據：calc

其餘三columns完整遍歷同一reflection集合，全部六個元素的classes都已列。



S07 · implies操作前

C_0=\{e\},C_1=\{r,r^2\},C_2=\{s,rs,r^2s\}

操作後

C_i\cap C_j=\varnothing\ (i\ne j),\quad C_0\cup C_1\cup C_2=G

條件：無

規則：mko_definition · 依賴：G1, S05, S06

葉節點依據：mko_definition

三個互異classes直接互斥覆蓋，亦符合群作用orbits相等或不交。



S08 · equivalent操作前

\operatorname{Cl}(x)=\{x\}

操作後

gxg^{-1}=x\ \forall g\iff gx=xg\ \forall g

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02, S05, S06, S07

葉節點依據：calc

右乘g與反向右乘g⁻¹證singleton恰當與每個g交換；本例只有e類singleton。



S09 · implies操作前

s\notin\operatorname{Cl}(r)=\{r,r^2\}

操作後

r\text{ and }s\text{ nonconjugate}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S03, S05, S07

葉節點依據：calc

完整r-column未含s，已排除所有g，認證nonconjugacy。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S09 · premise_audit · G1, S03, S05, S07 — 一個g不能送r到s不足否證；這裡使用完整column。
- S08 · inverse_equivalence · G1, S02, S05, S06, S07 — 這只用共軛定義，不引入class-size或其他後續定理。
- S07 · premise_audit · G1, S05, S06 — 這是classes的partition，不使用任何centralizer計數。
- S06 · premise_audit · G1, S03, S04, S05 — 多個元素共享同一class，去重後只有一個reflection類。
- S05 · premise_audit · G1, S03, S04 — 未只看r自己共軛自己，還包含全部reflections給的r²。
- S04 · premise_audit · G1, S02, S03 — (gh)⁻¹=h⁻¹g⁻¹需反序，否則相容式會錯。
- S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — 每列g、每column x的角色明示，不把subgroup conjugate gHg⁻¹混入。
- S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
- S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。





## 錯誤控制與反例

同一群表全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。


- r的class只有{r}。 → reject — srs⁻¹=r²，亦在class。
- r與s共軛因同屬G。 → reject — 完整Cl(r)只有r、r²，不含s。
- 每個conjugacy class都是subgroup。 → reject — {r,r²}不含identity e。





## 結論與限制

全部共軛類是{e}、{r,r²}、{s,rs,r²s}；r與s不共軛。







## 驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 18e9a1b4f67b6f1182f4512c4416da956b0d05cdac22fa05cd0d5f38ac074087
- original source SHA-256: a76c966c381c514457e23c2308b223bd35aee8d53f4c9b6b577beb4dce19d883
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-finite-group-conjugacy-class-01.json)