# 完整orbits與partition

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derivation-mko-finite-group-orbit-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

X的全部互異orbits為{0,1,2}與{3}，同orbit關係是等價關係。

同一完整六元素四點作用，遍歷全部g，不用單generator有界步。





## 已知條件與符號


- calc


- G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。點載體X={0,1,2,3}；(i,j)作用x<3為i+(−1)^j x mod3，並固定3。


- G — 六元素群載體
- r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
- G\cdot x — 指定point的全部群像





## 規則與來源


- calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
- mko_definition · cited — 在完整已認證有限群作用上，G·x={g·x:g∈G}須遍歷全部群元素。x約y iff存在g送x到y形成等價關係，不同orbits相等或不交並覆蓋carrier。單次作用結果、單generator有限步或stabilizer都不是orbit。 · mko-finite-group-orbit





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

操作後

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1

葉節點依據：calc

將給定配對公式逐36對展開，全部輸出在同一六元素載體，沒有缺格。



S02 · implies操作前

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

操作後

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01

葉節點依據：calc

兩種括號的座標公式相同，證全部216 triples結合律；(0,0)兩側中性，列出的逆元兩側乘回(0,0)。



S03 · implies操作前

X=\{0,1,2,3\}

操作後

\begin{array}{c|cccc}\cdot&0&1&2&3\\\hline e&0&1&2&3\\r&1&2&0&3\\r^2&2&0&1&3\\s&0&2&1&3\\rs&1&0&2&3\\r^2s&2&1&0&3\\\end{array}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02

葉節點依據：calc

全部24個作用值由同一公式展開。對x<3，g·(h·x)=i+(−1)^j k+(−1)^{j+l}x=(gh)·x；3兩邊皆固定。e逐點固定。



S04 · implies操作前

g=e,r,r^2,s,rs,r^2s

操作後

g\cdot0=0,1,2,0,1,2\Rightarrow G\cdot0=\{0,1,2\}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S03

葉節點依據：calc

完整0-column遍歷全部六群元素，再去重得完整orbit。



S05 · implies操作前

g\in G

操作後

g\cdot3=3\Rightarrow G\cdot3=\{3\}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S03

葉節點依據：calc

完整3-column全部固定3，故orbit只有自身。



S06 · implies操作前

x\sim y\iff\exists g:\ g\cdot x=y

操作後

e\cdot x=x;\quad g\cdot x=y\Rightarrow g^{-1}\cdot y=x;\quad h\cdot y=z\Rightarrow(hg)\cdot x=z

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02, S03

葉節點依據：calc

identity、inverse與composition分別證反身、對稱、傳遞，故同orbit為等價關係。



S07 · implies操作前

g\cdot1=1,2,0,2,0,1;\quad g\cdot2=2,0,1,1,2,0

操作後

G\cdot1=G\cdot2=\{0,1,2\}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S03, S04, S06

葉節點依據：calc

另兩columns也完整去重，確定全部四點的orbit已列完。



S08 · implies操作前

O=\{0,1,2\},\quad P=\{3\}

操作後

O\cap P=\varnothing,\quad O\cup P=X,\quad X/G=\{O,P\}

條件：無

規則：mko_definition · 依賴：G1, S04, S05, S07

葉節點依據：mko_definition

全部互異orbits非空、互斥且覆蓋X，直接認證partition。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S04, S05, S07 — 這是point的子集partition，不是群元素的stabilizer或cosets。
- S07 · premise_audit · G1, S03, S04, S06 — 同orbit的不同起點可有相同集合，不應重算成三個互異orbits。
- S06 · premise_audit · G1, S02, S03 — 兩個witness的組合順序是hg，因先g再h。
- S05 · premise_audit · G1, S03 — orbit非空因e·3=3；固定point並不表示沒有orbit。
- S04 · premise_audit · G1, S03 — 只取e或單一次r·0=1都不是完整orbit。
- S03 · premise_audit · G1, S02 — 表格對每個g與每個point恰有一值；相容式涵蓋全部6²·4=144 triples，不是只核每列像排列。
- S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
- S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。





## 錯誤控制與反例

同一群表全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。


- r·0=1就是orbit。 → reject — orbit是全體像的集合{0,1,2}，不是單一point1。
- point3沒有orbit因不動。 → reject — orbit恰為{3}。
- orbit0與orbit1互斥。 → reject — 兩者皆為{0,1,2}，完全相等。





## 結論與限制

X的全部互異orbits為{0,1,2}與{3}，同orbit關係是等價關係。







## 驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 15c74347343414557ec306e3bda093c9fb53df12da58f4a045f551f1a6c45b11
- original source SHA-256: 15c74347343414557ec306e3bda093c9fb53df12da58f4a045f551f1a6c45b11
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-finite-group-orbit-01.json)