# 含正質量 tie 與全零似然欄的 MLE

[← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-maximum-likelihood-estimator/)

這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。

derivation-mko-finite-maximum-likelihood-estimator-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

完整算argmax及固定tie rule的total estimator。

有限exact模型，不推無偏、一致或posterior。





## 已知條件與符號


- work


- G1 — Θ={0,1,2}，Ω={a,b,c,d,z}。三列law依序為(1/2,1/8,1/8,1/4,0)、(1/8,1/2,1/8,1/4,0)、(1/8,1/8,1/2,1/4,0)。固定tie優先次序2、0、1，不依未知theta。


- A(x) — 完整argmax set
- hat θ — tie-broken MLE





## 規則與來源


- mko_definition · cited — 每個theta須有對完整observation carrier的normalized finite law。對observed x建立全參數likelihood table與完整argmax set；固定、theta-independent deterministic tie order後，對全部observations形成total estimator。tie與all-zero likelihood須各有明示witness。MLE最大化likelihood而非posterior，不假設unique，也不推出unbiased、consistent或asymptotically optimal。 · mko-finite-maximum-likelihood-estimator
- work · prerequisite — likelihood L(theta;x)=Ptheta(x)，argmax包含所有達最大參數；固定完整參數排列可決定tie。





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

P_0,P_1,P_2

操作後

\sum_xP_j(x)=1/2+1/8+1/8+1/4=1\quad(j=0,1,2)

條件：無

規則：work · 依賴：G1, work

葉節點依據：work

三列皆為非負機率，carrier共有五點包含z。



S02 · implies操作前

x=a,\quad L(\theta;a)

操作後

(L(0;a),L(1;a),L(2;a))=(1/2,1/8,1/8),\quad A(a)=\{0\}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S01, work

葉節點依據：work

逐參數比完整三值，最大唯一在0。



S03 · implies操作前

x=b

操作後

L(\theta;b)=(1/8,1/2,1/8),\quad A(b)=\{1\}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S02, work

葉節點依據：work

第二觀察有唯一maximizer1。



S04 · implies操作前

x=c

操作後

L(\theta;c)=(1/8,1/8,1/2),\quad A(c)=\{2\}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S03, work

葉節點依據：work

第三觀察完整比三值，maximizer2。



S05 · implies操作前

x=d

操作後

L(\theta;d)=(1/4,1/4,1/4),\quad A(d)=\{0,1,2\}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S04, work

葉節點依據：work

d在每law有正質量，提供真實tie witness。



S06 · implies操作前

x=z

操作後

L(\theta;z)=(0,0,0),\quad A(z)=\{0,1,2\}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S05, work

葉節點依據：work

在觀察 z 對應的全零似然欄中，所有參數都達到最大值 0，仍有完整 argmax set。



S07 · implies操作前

\widehat\theta(x)=\text{first element of }A(x)\text{ in }(2,0,1)

操作後

(\widehat\theta(a),\widehat\theta(b),\widehat\theta(c),\widehat\theta(d),\widehat\theta(z))=(0,1,2,2,2)

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S06, work

葉節點依據：work

固定tie order對兩種tie都選2，完成全部樣本。



S08 · implies操作前

\forall x\in\Omega:\ \widehat\theta(x)\in A(x)

操作後

\widehat\theta\text{ is a total finite MLE}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S07, work

葉節點依據：work

每個outcome的選值皆在完整argmax中。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S07, work — total性含不可能樣本z，但不對其作觀察後機率宣稱。
- S07 · premise_audit · G1, S06, work — tie order預先固定，不可偷看真theta。
- S06 · premise_audit · G1, S05, work — 不把0/0正規化為posterior。
- S05 · premise_audit · G1, S04, work — 不得默認MLE唯一。
- S04 · premise_audit · G1, S03, work — c已完成其獨立case。
- S03 · premise_audit · G1, S02, work — 不從a的結果沿用參數0。
- S02 · premise_audit · G1, S01, work — argmax是參數集合而非最大值1/2。
- S01 · premise_audit · G1, work — 零質量樣本仍屬total estimator定義域。





## 錯誤控制與反例

全列argmax每個樣本都比較0、1、2三參數。

兩種tie分開記d的正likelihood tie與z的全零tie。


- 全零似然欄沒有任何 maximizer。 → reject — 三參數皆達最大0。
- 在 d 的 likelihood 上，唯一達最大值的參數為 2。 → reject — argmax有三值；2只由tie order選出。
- 用真theta作tie優先順序。 → reject — estimator規則不能依未知theta。





## 結論與限制

argmax在d與z皆為Θ；固定order得到total table(0,1,2,2,2)。







## 驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: b70f7d0e33dd447f7ea1ecc0d95b7e12332b17dc0445dcd95ea962c56a1233e5
- original source SHA-256: fc9738f97fb73ca2a370a55d0540a368591e138d436c52e5271233f12285e7d6
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-finite-maximum-likelihood-estimator-01.json)