# 座標梯度、駐點與可微的區別 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gradient-vector/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-gradient-vector-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 求指定二元多項式梯度並核兩個常見錯誤推論。 固定 standard Euclidean 座標順序 (x,y)；不自帶最優或下降證書。 ## 已知條件與符號 - algebra - polynomial - definition_here - G1 — f(x,y)=x^2+xy+2y^2-4x+2y，座標依 (x,y)，評估點 p=(1,-1)。 - \nabla f — 固定順序梯度 - p — 精確評估點 ## 規則與來源 - mko_definition · cited — 來源語義轉述：固定座標順序，梯度由每個座標偏導數組成；偏導存在與駐點都不自動給可微或極值。 · mko-gradient-vector - algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。 - polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。 - definition_here · prerequisite — 固定 standard Euclidean 座標下，梯度是每個座標偏導依順序組成的向量；駐點指所有梯度座標為零。 ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 f=x^2+xy+2y^2-4x+2y 操作後 \partial_x f=2x+y-4 條件：無 規則：polynomial · 依賴：G1 葉節點依據：polynomial 對 x 微分時 y 固定，各項次序依原座標。 S02 · implies操作前 f=x^2+xy+2y^2-4x+2y 操作後 \partial_y f=x+4y+2 條件：無 規則：polynomial · 依賴：G1 葉節點依據：polynomial 對 y 微分時 x 固定，混合項給 x。 S03 · definition操作前 \nabla f=(\partial_x f,\partial_y f) 操作後 \nabla f(x,y)=(2x+y-4,x+4y+2) 條件：無 規則：definition_here · 依賴：S01, S02 葉節點依據：definition_here 以固定順序組成兩座標向量，維度恰與來源 R^2 一致。 S04 · implies操作前 p=(1,-1) 操作後 \nabla f(p)=(-3,-1)\ne(0,0) 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1, S03 葉節點依據：algebra 精確代入每一座標，此點不是駐點。 S05 · equivalent操作前 2x+y=4,\quad x+4y=-2 操作後 (x,y)=(18/7,-8/7),\quad\nabla f=0 條件：無 規則：algebra · 依賴：S03 葉節點依據：algebra 消元得唯一駐點：y=4-2x 代入第二式得 -7x=-18。 S06 · implies操作前 s(x,y)=x^2-y^2 操作後 \nabla s(0,0)=0,\quad s(t,0)>0>s(0,t)\ (t\ne0) 條件：無 規則：polynomial · 依賴：G1 葉節點依據：polynomial 明示 saddle 反例，任意鄰域都有正負值，故零梯度不足以極值。 S07 · implies操作前 h(x,y)=x^3/(x^2+y^2)\ ((x,y)\ne0),\quad h(0,0)=0 操作後 \partial_xh(0,0)=1,\quad\partial_yh(0,0)=0 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 沿 x 軸 h(t,0)=t，沿 y 軸 h(0,t)=0，差商分別為 1 與 0。 S08 · implies操作前 h(t,t)=t/2,\quad Dh_{\text{candidate}}(t,t)=t 操作後 \frac{|h(t,t)-t|}{\|(t,t)\|_2}=\frac1{2\sqrt2}\not\to0 條件：t\ne0 規則：algebra · 依賴：S07 葉節點依據：algebra 若可微，導數由偏導固定為 (1,0)，但對角線正規化餘項不消失，故不可微。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · S07 — 使用全微分的必要餘項條件，明確否定偏導存在⇒可微。 - S07 · premise_audit · G1 — 偏導逐一存在，但尚未證任意方向的線性餘項。 - S06 · premise_audit · G1 — 不是只稱 saddle 而不給兩方向值。 - S05 · inverse_equivalence · S03 — 这里只證駐點，未因梯度零直接稱最小值。 - S04 · premise_audit · G1, S03 — 梯度非零沒有被轉成未給定的下降步或最優分類。 - S03 · premise_audit · S01, S02 — 不能只給一個偏導就稱完整梯度。 - S02 · premise_audit · G1 — 4y 來自 2y^2，沒有漏係數 2。 - S01 · premise_audit · G1 — 2y^2 和 2y 對 x 導數為零。 ## 錯誤控制與反例 座標順序每次 symbolic differentiation 與點值都依 (x,y)。 責任分離駐點、可微、極值及 global optimum 不混為一談。 - 梯度只需一個座標。 → reject — 來源 R^2 要兩個按序偏導。 - 零梯度必最小。 → reject — s=x^2-y^2 在原點兩側異號。 - 所有偏導存在就可微。 → reject — S07-S08 的對角餘項不趨零。 ## 結論與限制 梯度為 (2x+y-4,x+4y+2)，p 處 (-3,-1)；零梯度與偏導存在各不足以推出極值與可微。 ## 驗證及來源綁定 4 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: 5d7de98af659977808b6bdfbc360956ccd0ca6a6d166fe2b4f428078f3673915 - original source SHA-256: 5d7de98af659977808b6bdfbc360956ccd0ca6a6d166fe2b4f428078f3673915 - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-gradient-vector-01.json)