# 四次多項式的全部導數階

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derivation-mko-higher-order-derivative-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

由低到高係數 [2,-3,0,5,-2] 計算所有階導數。

完整多項式；不推一般光滑函數的解析性。





## 已知條件與符號


- polynomial
- algebra
- definition_here


- G1 — f(x)=2-3x+5x^3-2x^4，定義域 R，階數 k∈N_0。


- f^{(k)} — 第 k 階導數
- c_j — 低到高多項式係數





## 規則與來源


- mko_definition · cited — n∈N_0且每一中間階都須在宣告domain可再微分。存在第n階不推出第n+1階。多項式exact family用falling-factorial coefficients；order超過degree後為zero。高階導數存在不推出analytic或Taylor series convergence。 · mko-higher-order-derivative
- polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。
- algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
- definition_here · prerequisite — 零階導數是原函數；第 k+1 階是第 k 階函數在宣告域內的導數，須該導數存在。





## 逐步主鏈

S01 · definition操作前

f^{(0)}

操作後

f^{(0)}(x)=f(x)=2-3x+5x^3-2x^4

條件：無

規則：definition_here · 依賴：G1

葉節點依據：definition_here

零階導數按慣例是原函數，係數陣列中二次項確為零。



S02 · implies操作前

(f^{(0)})'

操作後

f'(x)=-3+15x^2-8x^3

條件：無

規則：polynomial · 依賴：G1, S01

葉節點依據：polynomial

常數消失，指數逐項乘下並減一。



S03 · implies操作前

(f')'

操作後

f''(x)=30x-24x^2

條件：無

規則：polynomial · 依賴：S02

葉節點依據：polynomial

對上一階而非原函數重新微分。



S04 · implies操作前

(f'')'

操作後

f^{(3)}(x)=30-48x

條件：無

規則：polynomial · 依賴：S03

葉節點依據：polynomial

二階多項式在 R 上再次可微。



S05 · implies操作前

(f^{(3)})'

操作後

f^{(4)}(x)=-48

條件：無

規則：polynomial · 依賴：S04

葉節點依據：polynomial

四階得到常數，不可漏掉負號。



S06 · implies操作前

(f^{(4)})'=0

操作後

f^{(k)}=0\quad\forall k\ge5

條件：無

規則：polynomial · 依賴：S05

葉節點依據：polynomial

五階為零；零多項式再微分仍零，以歸納涵蓋所有更高階。



S07 · equivalent操作前

f''(2)=30\cdot2-24\cdot2^2

操作後

f''(2)=-36

條件：無

規則：algebra · 依賴：S03

葉節點依據：algebra

在階數和點確定後才代值。



S08 · implies操作前

f(x)=\sum_{j=0}^{4}c_jx^j

操作後

f^{(k)}(x)=\sum_{j=k}^{4}c_j\frac{j!}{(j-k)!}x^{j-k}\ (0\le k\le4)

條件：0\le k\le4

規則：polynomial · 依賴：G1, S02, S06

葉節點依據：polynomial

連續 k 次降冪乘數是 falling factorial；k>4 已另證零。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S02, S06 — j≥k 才使用 (j-k)!，不引入負 factorial。
- S07 · inverse_equivalence · S03 — 二次冪作用在 2 上，未將 24 也平方。
- S06 · premise_audit · S05 — 此結論依完整多項式，而不是一般第 k 階存在推出下一階。
- S05 · premise_audit · S04 — 上一階全域存在，才可談其導數。
- S04 · premise_audit · S03 — 係數 24 乘指數 2 得 48。
- S03 · premise_audit · S02 — -3 的導數為零。
- S02 · premise_audit · G1, S01 — 每個中間結果仍是多項式，下一階可微前提成立。
- S01 · premise_audit · G1 — 不能把零階誤作零函數。





## 錯誤控制與反例

中間階每階以前一階多項式可微為依據。

階數零與超次數零階回 f，超過 degree 才為零。


- 零階導數是 0。 → reject — 定義為原函數 f。
- f''(2)=60-48。 → reject — 第二項是 -24*2^2=-96。
- 此 f 的第五階導數是常數 1。 → reject — 第四階是常數 -48，其導數為零，所有更高階也零。





## 結論與限制

一至四階如列，五階以上皆零，二階在 2 為 -36。







## 驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 615b09a85c29b8a1f99a598929f470b21db66cd8637938659f3f62523c06ab25
- original source SHA-256: 615b09a85c29b8a1f99a598929f470b21db66cd8637938659f3f62523c06ab25
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-higher-order-derivative-01.json)