# 每個無界端與奇點分別取極限

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derivation-mko-improper-integral-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

計算三種明示冪函數瑕積分，並區分 principal value。

只算完整 piecewise 冪函數；不由有限 cutoff 證一般可積性。





## 已知條件與符號


- algebra
- epsilon
- FTC
- definition_here
- log_integral_boundary


- G1 — 一側 f(x)=3/x^2，x≥2；兩側 g(x)=2/|x|^2（x≤-1）、0（-1<x<1）、3/x^2（x≥1）。
- G2 — 奇點例 h(x)=(-x)^(-1/2)（-1≤x<0）、2x^(-1/2)（0<x≤1），於 0 分拆。


- A,B,b — 獨立無界 cutoff
- \delta — 奇點一側 cutoff
- \operatorname{PV} — 對稱主值





## 規則與來源


- mko_definition · cited — 一側無界積分int_a^infinity f由b→infinity的有限區間積分極限定義；本輪明示f(x)=scale/x^p於[lower,infinity)。兩側無界exact family明示f(x)=left_scale/|x|^p於x≤-1、f(x)=0於-1<x<1、f(x)=right_scale/x^p於x≥1，左右tails必須獨立收斂。內部奇點family在[c-1,c+1]明示左右piecewise powers並於c左右分拆，兩側皆收斂。不能只靠symmetric principal value；absolute convergence充分但非必要，有限cutoffs看似穩定不足以證收斂。 · mko-improper-integral
- algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
- epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。
- FTC · prerequisite — 有限閉區間上連續冪函數可用微積分基本定理；(-c/x)'=c/x^2，(2sqrt(x))'=x^(-1/2)（x>0）。
- definition_here · prerequisite — 通常瑕積分要求每個無界端或內部奇點的每一側有限截斷積分各有有限極限，再相加；principal value 是另行綁定對稱 cutoff 的極限。
- log_integral_boundary · prerequisite — 在非零實數上 log|x| 導數為 1/x，且 log B 隨 B→infinity 發散至 infinity。





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

b>2

操作後

\int_2^b3x^{-2}\,dx=[-3/x]_2^b=3/2-3/b

條件：b>2

規則：FTC · 依賴：G1

葉節點依據：FTC

先只做合法有限區間積分，未直接操作無窮端點。



S02 · definition操作前

3/b\to0\quad(b\to\infty)

操作後

\int_2^\infty3x^{-2}\,dx=3/2

條件：無

規則：definition_here · 依賴：S01

葉節點依據：definition_here

任意 epsilon 取 b>3/epsilon 即嚴格控尾，按定義得一側瑕積分。



S03 · implies操作前

A>1,\ B>1

操作後

\int_{-A}^{-1}g=2-2/A,\quad\int_1^B g=3-3/B

條件：無

規則：FTC · 依賴：G1

葉節點依據：FTC

左邊以 u=-x 代換，右邊直接算；兩個 cutoff 獨立。



S04 · definition操作前

A\to\infty\text{ independently of }B\to\infty

操作後

\int_{-\infty}^{\infty}g=2+0+3=5

條件：無

規則：definition_here · 依賴：S03

葉節點依據：definition_here

左右尾各自存在，中段為零才可加總。



S05 · implies操作前

0<\delta<1

操作後

\int_{-1}^{-\delta}h=2-2\sqrt\delta,\quad\int_{\delta}^{1}h=4-4\sqrt\delta

條件：0<\delta<1

規則：FTC · 依賴：G2

葉節點依據：FTC

奇點左右各有自己的有限積分式；左側用 u=-x，右側有 scale 2。



S06 · definition操作前

\sqrt\delta\to0\quad(\delta\downarrow0)

操作後

\int_{-1}^{1}h=2+4=6

條件：無

規則：definition_here · 依賴：S05

葉節點依據：definition_here

sqrt(delta)<epsilon 可由 delta<epsilon^2 確保，兩側均有限後相加。



S07 · implies操作前

j(x)=1/x\quad(|x|\ge1),\qquad j(x)=0\quad(|x|<1)

操作後

\int_{-A}^{-1}j=-\log A,\quad\int_1^B j=\log B

條件：(\log|x|)'=1/x,\quad\log B\to\infty

規則：log_integral_boundary · 依賴：G1, log_integral_boundary

葉節點依據：log_integral_boundary

此對照函數的兩尾各發散；導數 log|x|=1/x 作為本反例的有限積分依據。



S08 · implies操作前

A=B\Longrightarrow-\log A+\log A=0

操作後

\operatorname{PV}\int j=0\text{ but the ordinary improper integral does not exist}

條件：無

規則：algebra · 依賴：S07

葉節點依據：algebra

對稱 principal value 的零不補救兩尾發散，所以不能冒充通常瑕積分。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · S07 — 只否定通常積分，並未否定此對稱極限的確為零。
- S07 · premise_audit · G1, log_integral_boundary — 此處只用已明示的 log 導數反例前提，未把它當新 exp/log 理論。
- S06 · premise_audit · S05 — 未把只在 0 的缺值當阻礙；真正責任是兩側可積極限。
- S05 · premise_audit · G2 — 同寫 delta 只是記號便利，兩側極限仍須分別存在。
- S04 · premise_audit · S03 — 對稱抵銷沒有參與，兩側責任獨立完成。
- S03 · premise_audit · G1 — 不能綁 A=B 才取得通常瑕積分資格。
- S02 · premise_audit · S01 — 不是只算若干 b 值見其接近。
- S01 · premise_audit · G1 — b>2 使 integrand 連續且分母正。





## 錯誤控制與反例

每端分帳無界端及奇點左右分別記錄極限。

主值分層對稱 cutoff 只證 principal value，不證獨立兩尾。


- 左右發散但抵銷就有通常積分。 → reject — j 兩個一側極限都不有限。
- 奇點左右只需一側收斂。 → reject — 通常瑕積分要求每個奇點兩側分別存在。
- 幾個大 cutoff 接近即證收斂。 → reject — 未給所有更遠 cutoff 的誤差界。





## 結論與限制

三個合格瑕積分分別為 3/2、5、6；對照 j 只有對稱主值 0。







## 驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: fb00245eacaaeb6218a92f36d27aed6067e63e73e73270089daeadae5933b7f9
- original source SHA-256: fb00245eacaaeb6218a92f36d27aed6067e63e73e73270089daeadae5933b7f9
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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