# 幾何與望遠鏡級數的完整尾項 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-infinite-series/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-infinite-series-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 用精確部分和與餘項證兩個級數收斂。 只處理明示全公式：從 0 起的 2^{-n} 及從 1 起的 1/[n(n+1)]。 ## 已知條件與符號 - algebra - epsilon - definition_here - G1 — S_N=sum_{n=0}^N 2^{-n}，T_N=sum_{n=1}^N 1/[n(n+1)]，N≥1。 - S_N,T_N — 兩種部分和 - R_N — 幾何餘項 ## 規則與來源 - mko_definition · cited — 本輪處理精確幾何級數與望遠鏡級數。保留起始index、partial sum與remainder；幾何級數只在|r|<1使用sum公式。長有限prefix與a_n→0皆不足以單獨證收斂。 · mko-infinite-series - algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。 - epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。 - definition_here · prerequisite — 無窮級數的和定義為依指定起點取的有限部分和之極限。 ## 逐步主鏈 S01 · equivalent操作前 S_N=\sum_{n=0}^{N}2^{-n} 操作後 S_N-\tfrac12S_N=1-2^{-(N+1)} 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 縮半後相減，除首尾外對應項完全抵銷，索引從 0 保留首項 1。 S02 · equivalent操作前 \tfrac12 S_N=1-2^{-(N+1)} 操作後 S_N=2-2^{-N} 條件：無 規則：algebra · 依賴：S01 葉節點依據：algebra 乘 2 得精確部分和。 S03 · equivalent操作前 R_N=2-S_N 操作後 R_N=2^{-N}>0 條件：無 規則：algebra · 依賴：S02 葉節點依據：algebra 餘項仍保留而非直接把有限和當無窮和。 S04 · implies操作前 2^N\ge N+1\quad(N\ge0) 操作後 01/epsilon，故部分和趨 2。 S05 · equivalent操作前 \frac1{n(n+1)} 操作後 \frac1n-\frac1{n+1} 條件：n\ge1 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 通分分子是 (n+1)-n=1，n≥1 使兩分母非零。 S06 · equivalent操作前 T_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right) 操作後 T_N=1-\frac1{N+1} 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1, S05 葉節點依據：algebra 每個負項與下一個正項相消，只留首項和最後餘項；可由 N 到 N+1 歸納核。 S07 · implies操作前 1-T_N=1/(N+1) 操作後 \forall\varepsilon>0\ \exists M\ \forall N\ge M:\ |T_N-1|<\varepsilon 條件：無 規則：epsilon · 依賴：S06 葉節點依據：epsilon 取整數 M>1/epsilon，得全部尾端嚴格界。 S08 · definition操作前 \lim S_N=2,\quad\lim T_N=1 操作後 \sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}=2,\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)}=1 條件：無 規則：definition_here · 依賴：S04, S07 葉節點依據：definition_here 無窮級數按部分和極限定義，兩個索引起點不同所以各自保留。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · S04, S07 — 沒有對 |r|≥1 使用幾何和收斂公式。 - S07 · premise_audit · S06 — 只因單項趨零並不足夠，此處已證部分和極限。 - S06 · inverse_equivalence · G1, S05 — 留最後負項 -1/(N+1)，不能刪掉。 - S05 · inverse_equivalence · G1 — 索引 n=0 不在此級數中。 - S04 · premise_audit · S03 — 全 N 歸納及全尾 epsilon 界，而非大 N 抽樣。 - S03 · inverse_equivalence · S02 — N 有限時餘項非零。 - S02 · inverse_equivalence · S01 — 乘數非零，故可反向還原。 - S01 · inverse_equivalence · G1 — 右尾指數是 N+1，不是 N。 ## 錯誤控制與反例 索引起點幾何從 0、望遠鏡從 1，首項不能混。 部分和與極限先給精確餘項再證趨零。 - 有限 S_N 已恰等於 2。 → reject — 餘項 2^{-N}>0。 - 單項趨零必使級數收斂。 → reject — 調和級數分塊每塊至少 1/2，仍發散。 - r=1 的幾何級數和仍為 1/(1-r)。 → reject — 分母零且部分和 N+1 發散。 ## 結論與限制 兩級數分別為 2 與 1；精確尾誤差分別為 2^{-N} 與 1/(N+1)。 ## 驗證及來源綁定 2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: 25a2460da5141a254a90cac613296ae05ae74dabff88232cf2d5997acececa66 - original source SHA-256: 25a2460da5141a254a90cac613296ae05ae74dabff88232cf2d5997acececa66 - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-infinite-series-01.json)