# 正則乘數與完整平方距離解 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-lagrange-multiplier-condition/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-lagrange-multiplier-condition-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 minimize ‖x-(1,2)‖^2 subject to x_1+x_2=0，求點、乘數並獨立證最小。 固定正號 grad f=J_g^T lambda；一般乘數只必要，這個特定平方距離問題另有充分性證明。 ## 已知條件與符號 - algebra - polynomial - lagrange_regular - G1 — f(x_1,x_2)=(x_1-1)^2+(x_2-2)^2，g=x_1+x_2；J_g 的 rows 依唯一 constraint 排序。 - J_g — 依 constraint 排序的 row Jacobian - \lambda — 正號 convention 乘數 - v — 任意可行點差 ## 規則與來源 - mko_definition · cited — 來源語義轉述：可行局部極值在鄰域可微及約束 Jacobian 滿列秩時，必有唯一乘數使梯度等於約束梯度列的線性組合；這只是必要條件。 · mko-lagrange-multiplier-condition - algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。 - polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。 - lagrange_regular · prerequisite — 若可行點為局部極值、f 與等式約束在鄰域可微、Jacobian rows 線性獨立，則存在唯一 lambda 使 grad f=J_g^T lambda；此為必要條件。 ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 n=2,\quad m=1,\quad J_g=(1\ \ 1) 操作後 \operatorname{rank}J_g=1=m,\quad f,g\text{ differentiable on }\mathbb R^2 條件：無 規則：polynomial · 依賴：G1 葉節點依據：polynomial 非零唯一列向量確滿 row rank；完整多項式給鄰域可微。 S02 · definition操作前 \nabla f=(2(x_1-1),2(x_2-2)) 操作後 2(x_1-1)=\lambda,\quad2(x_2-2)=\lambda,\quad x_1+x_2=0 條件：無 規則：lagrange_regular · 依賴：G1, S01, lagrange_regular 葉節點依據：lagrange_regular 先把必要條件與可行性聯立成候選方程；此時不因解方程就預先稱最小。 S03 · equivalent操作前 x_1=1+\lambda/2,\quad x_2=2+\lambda/2 操作後 3+\lambda=0\Longrightarrow\lambda=-3 條件：無 規則：algebra · 依賴：S02 葉節點依據：algebra 代回單一線性 constraint 得乘數唯一值。 S04 · equivalent操作前 \lambda=-3 操作後 x^*=(-1/2,1/2) 條件：無 規則：algebra · 依賴：S03 葉節點依據：algebra 代回兩座標候選式。 S05 · implies操作前 g(x^*)=-1/2+1/2 操作後 g(x^*)=0,\quad\nabla f(x^*)=(-3,-3)=J_g^T(-3) 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1, S01, S04 葉節點依據：algebra 候選點的 feasibility 與 stationarity residual 重新獨立核，滿秩資格仍有效。 S06 · implies操作前 z=(1,2),\quad x^*-z=(-3/2,-3/2) 操作後 f(x^*)=9/4+9/4=9/2 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1, S04, S05 葉節點依據：algebra 精確算平方距離，為後續比較點界準備。 S07 · implies操作前 y=x^*+v\text{ feasible}\Longrightarrow v_1+v_2=0 操作後 f(y)=\|x^*-z\|^2+2(x^*-z)\cdot v+\|v\|^2=9/2+\|v\|^2\ge9/2 條件：y\text{ feasible} 規則：algebra · 依賴：G1, S04, S06 葉節點依據：algebra x*-z 平行 constraint normal (1,1)，與每個可行切向差 v 正交，交叉項零。等號迫 v=0，另證唯一 global minimizer。 S08 · implies操作前 F(u,v)=u^3,\quad G(u,v)=v,\quad(u,v)=(0,0) 操作後 \nabla F=0=J_G^T\cdot0,\quad\operatorname{rank}J_G=1;\quad F(t,0)=t^3\text{ has both signs} 條件：無 規則：polynomial · 依賴：G1 葉節點依據：polynomial 正則可行且 stationarity 成立仍可不是極值，明示必要非充分。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · G1 — 主平方距離例之最小已由 S07 獨立證；不與反例混淆。 - S07 · premise_audit · G1, S04, S06 — 充分與 global 證書來自此平方分解，不是一般 Lagrange 必要定理。 - S06 · premise_audit · G1, S04, S05 — 此數值本身不證最小。 - S05 · premise_audit · G1, S01, S04 — 不只解出 lambda 而漏掉 constraint。 - S04 · inverse_equivalence · S03 — 中心是 (1,2) 而不是原點。 - S03 · inverse_equivalence · S02 — 乘數解不等於所有一般問題都唯一 primal point。 - S02 · premise_audit · G1, S01, lagrange_regular — 正號 convention 固定，沒有偷偷換成 grad f+lambda grad g=0。 - S01 · premise_audit · G1 — m≤n 及 row/column convention 都已核。 ## 錯誤控制與反例 regularity 先行先核 feasibility、鄰域可微及 full row rank 才應用必要定理。 充分性另證本 global minimum 由所有可行 y 的平方分解，不由 lambda 本身。 - 解出乘數必最小。 → reject — S08 正則 stationary 例不是極值。 - rank deficient 表示沒有極值。 → reject — 一維 g(x)=x^2=0 只有可行點 0，f(x)=x 在該集合仍達極值；g'(0)=0 只阻定理。 - 本等式條件等同含不等式的 KKT。 → reject — 沒有不等式乘數符號與 complementary slackness。 ## 結論與限制 x*=(-1/2,1/2)、lambda=-3、最小平方距離 9/2；唯一 global 性另由正交平方分解證。 ## 驗證及來源綁定 2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: 9dfb066e1160c3636dc41e2ce2e4263a60a1d24ba863f56867789a1f48c7bef4 - original source SHA-256: 9dfb066e1160c3636dc41e2ce2e4263a60a1d24ba863f56867789a1f48c7bef4 - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-lagrange-multiplier-condition-01.json)