# 全部左陪集的Lagrange計數

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derivation-mko-lagrange-theorem-finite-groups-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

H={e,s}有三個互異左陪集，每個大小2，所以6=[G:H]|H|=3·2。

完整六元素表與完整coset partition；subset反例不聲稱同階subgroup不存在。





## 已知條件與符號


- calc


- G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。


- G — 六元素群載體
- r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
- H — 指定order2 subgroup
- [G:H] — 互異左陪集個數





## 規則與來源


- calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
- mko_definition · cited — H須由完整Cayley table認證為subgroup。全部left cosets gH必須相等或不交並完整覆蓋G；h↦gh給出H到gH的bijection，所以每個coset大小為|H|。結論|G|=[G:H]|H|。本輪converse family只證d整除|G|不表示任意指定d-element subset是subgroup；不以該witness證明或否定某個order-d subgroup是否存在。 · mko-lagrange-theorem-finite-groups





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

操作後

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1

葉節點依據：calc

將給定配對公式逐36對展開，全部輸出在同一六元素載體，沒有缺格。



S02 · implies操作前

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

操作後

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01

葉節點依據：calc

兩種括號的座標公式相同，證全部216 triples結合律；(0,0)兩側中性，列出的逆元兩側乘回(0,0)。



S03 · implies操作前

H=\{e,s\}

操作後

e\in H;\quad ee=e,es=s,se=s,ss=e;\quad e^{-1}=e,s^{-1}=s

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01, S02

葉節點依據：calc

全部四乘積與兩逆元留在H，先直接認證子群。



S04 · implies操作前

g=e,r,r^2,s,rs,r^2s

操作後

eH=sH=\{e,s\};\quad rH=(rs)H=\{r,rs\};\quad r^2H=(r^2s)H=\{r^2,r^2s\}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01, S03

葉節點依據：calc

全部六個g的左陪集都列出，再去重為三組。



S05 · implies操作前

C_0=\{e,s\},C_1=\{r,rs\},C_2=\{r^2,r^2s\}

操作後

C_i\cap C_j=\varnothing\ (i\ne j),\quad C_0\cup C_1\cup C_2=G

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02, S03, S04

葉節點依據：calc

三個明列sets互斥覆蓋；一般重疊gh₁=kh₂亦推出k⁻¹g=h₂h₁⁻¹∈H，故兩cosets相等。



S06 · implies操作前

L_g:H\to gH,\quad h\mapsto gh

操作後

L_g^{-1}(k)=g^{-1}k\Rightarrow |gH|=|H|=2

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02, S03, S04

葉節點依據：calc

左平移的逆映射明確，因此三個cosets均與H等大。



S07 · implies操作前

G=C_0\sqcup C_1\sqcup C_2,\quad |C_i|=2

操作後

[G:H]=3,\quad|G|=3\cdot2=6,\quad|H|\mid|G|

條件：無

規則：mko_definition · 依賴：G1, S05, S06

葉節點依據：mko_definition

完整不交partition與等大證書給Lagrange計數。



S08 · implies操作前

K=\{e,r,s\},\quad|K|=3\mid6

操作後

rr=r^2\notin K\Rightarrow K\text{ not subgroup};\quad\{e,r,r^2\}\le G

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01, S03, S07

葉節點依據：calc

指定三元素subset雖有divisor大小卻不封閉；同群仍有另一個order3 subgroup，避免錯誤存在性推論。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S01, S03, S07 — K失敗只否證K；不能宣稱所有三元素候選都失敗。
- S07 · premise_audit · G1, S05, S06 — 整除來自實際subgroup cosets，不是僅看數字6和2。
- S06 · premise_audit · G1, S02, S03, S04 — g⁻¹k回到H源自k∈gH，且兩方向復合皆identity。
- S05 · premise_audit · G1, S02, S03, S04 — 相等或不交用H的乘法及逆元封閉，不依隨意分組。
- S04 · premise_audit · G1, S01, S03 — 不能只列eH和rH而漏掉r²H的兩個group元素。
- S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — 大小2整除6本身不是subgroup證書；此處已核closure。
- S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
- S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。





## 錯誤控制與反例

同一群表全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。


- K大小3整除6所以K是subgroup。 → reject — r²不在K但r·r=r²。
- K失敗證G無order3 subgroup。 → reject — {e,r,r²}由完整表確是order3 subgroup。
- 只列兩個cosets也完成partition。 → reject — r²與r²s仍未覆蓋。





## 結論與限制

H={e,s}有三個互異左陪集，每個大小2，所以6=[G:H]|H|=3·2。







## 驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 69a1f66a1aae765143e62e40fb90126333ae697e9503310f59d7ba0e97a5a2b2
- original source SHA-256: 69a1f66a1aae765143e62e40fb90126333ae697e9503310f59d7ba0e97a5a2b2
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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