# 含非空零質量塊的全期望

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derivation-mko-law-of-total-expectation-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

完整核partition並以兩條路計算E[X]。

有限law；null cell不做條件除法。





## 已知條件與符號


- work


- G1 — Ω={a,b,c,d,e}，質量(1/8,3/8,1/4,1/4,0)，X=(0,2,4,4,99)；B1={a,b}，B2={c,d}，B0={e}，G=σ({B1,B2,B0})。


- G — partition生成的σ代數
- Y — 條件期望版本
- k — null塊版本值





## 規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。


- mko_definition · cited — 令G為完整partition生成的sigma-algebra，tower identity為E(E(X|G))=E(X)。partition兩兩不交且union為sample space；positive-mass cells使用P(B_i)E[X|B_i]，zero-mass cell conditional value只a.s.決定且weighted contribution為0，禁止division by zero。不需independence也不混同Bayes。 · mko-law-of-total-expectation
- work · prerequisite — 正質量塊的條件mean定義為塊內加權和除質量；零質量塊的版本任取有限值；有限和可重排。





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

\{B_1,B_2,B_0\}

操作後

B_i\cap B_j=\varnothing\ (i\ne j),\quad\bigcup_iB_i=\Omega

條件：無

規則：work · 依賴：G1, work

葉節點依據：work

三塊非空、互斥且包含所有五個原子。



S02 · implies操作前

P(B_1),P(B_2),P(B_0)

操作後

(P(B_1),P(B_2),P(B_0))=(1/2,1/2,0)

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S01, work

葉節點依據：work

逐塊加總質量並先辨識零分母。



S03 · implies操作前

E[X\mid B_1]=\frac{0/8+2(3/8)}{1/2}

操作後

E[X\mid B_1]=3/2

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S02, work

葉節點依據：work

以正質量1/2正規化第一塊。



S04 · implies操作前

E[X\mid B_2]=\frac{4/4+4/4}{1/2}

操作後

E[X\mid B_2]=4

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S03, work

葉節點依據：work

第二塊值恆4，條件mean也為4。



S05 · implies操作前

P(B_0)=0

操作後

Y=E[X\mid G]=(3/2,3/2,4,4,k),\quad k\in\mathbb R

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S04, work

葉節點依據：work

在null塊任取有限版本值k，沒有0/0商。



S06 · implies操作前

E[Y]=\tfrac12\tfrac32+\tfrac12 4+0k

操作後

E[Y]=11/4

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S05, work

葉節點依據：work

完整外層加權包含null塊的零貢獻。



S07 · implies操作前

E[X]=0/8+2(3/8)+4/4+4/4+99(0)

操作後

E[X]=11/4

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S06, work

葉節點依據：work

直接五原子求和與條件路徑一致。



S08 · implies操作前

\sum_{i:P(B_i)>0}P(B_i)\frac{\sum_{\omega\in B_i}p_\omega X(\omega)}{P(B_i)}

操作後

\sum_{\omega\in\Omega}p_\omega X(\omega)=E[X]

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S07, work

葉節點依據：work

取消正分母並以partition重排有限和，得到tower identity。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S07, work — null原子的原始加權和也是零，故沒有遺漏貢獻。
- S07 · premise_audit · G1, S06, work — 99乘零不是把99當條件mean的必要選擇。
- S06 · premise_audit · G1, S05, work — 任何有限k都給相同外層mean。
- S05 · premise_audit · G1, S04, work — 版本在e可異，但只影響零質量集合。
- S04 · premise_audit · G1, S03, work — 分子2除1/2才得到4。
- S03 · premise_audit · G1, S02, work — 不可把分子3/4當條件mean。
- S02 · premise_audit · G1, S01, work — B0是{e}而非空集合。
- S01 · premise_audit · G1, work — e不可因質量零而從carrier漏掉。





## 錯誤控制與反例

零塊先算cell質量，再決定是否能除。

兩路核對以11/4比對直接sum與outer conditional sum。


- E[X|B0]=0/0=0。 → reject — 0/0未定義；只能選版本，不能以商定義。
- partition各塊必須獨立。 → reject — 全期望只需互斥與窮盡，非獨立。
- 漏掉b仍是同一partition。 → reject — b有正質量3/8且carrier覆蓋會失敗。





## 結論與限制

E(E[X|G])=E[X]=11/4，與null塊的版本值無關。







## 驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 24bfde5c0b3950c83c7e98fb04fbc75973b2b5a7422e8b9f5843de4153da3a73
- original source SHA-256: 743b092227a8a2ca350616cc5f1b13f4b757db1ac765c638dd10d4dd33fe489d
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-law-of-total-expectation-01.json)