# within與between的精確分解

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derivation-mko-law-of-total-variance-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

用含null塊的完整law分解variance。

非空partition cells；所有條件值只在正質量cell做除法。





## 已知條件與符號


- work


- G1 — Ω={a,b,c,d,e}，質量(1/8,3/8,1/4,1/4,0)，X=(0,2,4,4,99)；B1={a,b}，B2={c,d}，B0={e}，G=σ({B1,B2,B0})。


- m_i,v_i — cell mean與variance
- μ — 全域mean





## 規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。


- mko_definition · cited — Var(X)=E[Var(X|G)]+Var(E[X|G])。partition cells兩兩不交、非空且union為全部outcomes；zero-mass cell仍是含零質量outcomes的非空事件。同一cell conditional mean與variance使用同一law；positive-mass cell才可除法。zero-mass cell條件值只a.s.決定，外層加權貢獻為0。within與between不可交換或漏項，不要求partition events independent。 · mko-law-of-total-variance
- work · prerequisite — 有限全期望、variance中心二次矩、平方展開；每個正質量cell的E[X-m_i|B_i]=0。





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

B_1=\{a,b\},B_2=\{c,d\},B_0=\{e\}

操作後

(P(B_1),P(B_2),P(B_0))=(1/2,1/2,0)

條件：無

規則：work · 依賴：G1, work

葉節點依據：work

三塊非空互斥且窮盡，B0含零質量原子e。



S02 · implies操作前

E[X]=2(3/8)+4(1/4+1/4)

操作後

\mu=11/4

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S01, work

葉節點依據：work

先固定此law的全域中心。



S03 · implies操作前

E[X^2]=4(3/8)+16(1/4+1/4)

操作後

\operatorname{Var}(X)=19/2-(11/4)^2=31/16

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S02, work

葉節點依據：work

由完整二次矩獨立取得全域variance。



S04 · implies操作前

P(a\mid B_1)=1/4,\ P(b\mid B_1)=3/4

操作後

m_1=3/2,\quad v_1=(1/4)(3/2)^2+(3/4)(1/2)^2=3/4

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S03, work

葉節點依據：work

第一塊先正規化，再以同一cell mean計算variance。



S05 · implies操作前

X|_{B_2}=4

操作後

m_2=4,\quad v_2=0

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S04, work

葉節點依據：work

第二塊恆定，因此cell variance零。



S06 · implies操作前

E[\operatorname{Var}(X\mid G)]

操作後

(1/2)(3/4)+(1/2)0=3/8

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S05, work

葉節點依據：work

within term是cell variances的外層加權平均。



S07 · implies操作前

\operatorname{Var}(E[X\mid G])

操作後

\tfrac12(3/2-11/4)^2+\tfrac12(4-11/4)^2=25/16

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S06, work

葉節點依據：work

between term以全域中心計算兩個cell means的variance。



S08 · implies操作前

X-\mu=(X-m_i)+(m_i-\mu)\quad\text{on }B_i

操作後

(X-\mu)^2=(X-m_i)^2+2(X-m_i)(m_i-\mu)+(m_i-\mu)^2

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S07, work

葉節點依據：work

逐cell展開完整平方，保留兩個純平方與cross term。



S09 · implies操作前

E[X-m_i\mid B_i]=m_i-m_i=0

操作後

E[(X-\mu)^2\mid B_i]=v_i+(m_i-\mu)^2

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S08, work

葉節點依據：work

把cell常數m_i-μ提出，cross term為2(m_i-μ)乘零。



S10 · implies操作前

\sum_{i:P(B_i)>0}P(B_i)E[(X-\mu)^2\mid B_i]

操作後

\operatorname{Var}(X)=\sum_iP(B_i)v_i+\sum_iP(B_i)(m_i-\mu)^2=3/8+25/16=31/16

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S09, work

葉節點依據：work

使用完整partition加權，第一和為within、第二和為between。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S10 · premise_audit · G1, S09, work — 兩項俱全並與直接31/16比對，沒有以獨立假設消cross term。
- S09 · premise_audit · G1, S08, work — 只在正質量cell取條件商；null cell外層貢獻零。
- S08 · premise_audit · G1, S07, work — 係數2不能漏掉，m_i在cell內是常數。
- S07 · premise_audit · G1, S06, work — null版本乘零，不改between項。
- S06 · premise_audit · G1, S05, work — 此項不是cell means的variance。
- S05 · premise_audit · G1, S04, work — B0的mean與variance保持版本選擇，不除零。
- S04 · premise_audit · G1, S03, work — 若以全域11/4中心化，得到的不是cell variance。
- S03 · premise_audit · G1, S02, work — mean平方為121/16，不是對mean再平方加權。
- S02 · premise_audit · G1, S01, work — e的99值以零質量加權。
- S01 · premise_audit · G1, work — 空集合不能冒充這裡指定的null cell。





## 錯誤控制與反例

同cell中心B1使用3/2，不用11/4計cell variance。

cross term以cell-centered誤差條件mean零消去，而非假設獨立。


- 只需within3/8。 → reject — cell means不同，between25/16不能漏。
- B0可用空集合代替。 → reject — 本模型B0={e}且carrier需完整partition。
- within是cell means的variance。 → reject — 那是between；within是加權cell variances。





## 結論與限制

全域variance31/16=within3/8+between25/16。







## 驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 668efe3c54e9427c01450e0e91f89eb655c95d12eb112772605e6dee4a187fe5
- original source SHA-256: d743eb39e9043e0455cec097334446bb62dc2ae0f693eb96b73f9a4a55b92452
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-law-of-total-variance-01.json)