# 獨立平方表定義三值Legendre符號

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derivation-mko-legendre-symbol-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

模7符號對0、1、2、3、4、5、6依序為0、1、1、−1、1、−1、−1。

odd prime7的完整平方表分類，不使用Euler判準或Jacobi擴張。





## 已知條件與符號


- calc


- G1 — p=7；L(a)=(a/7)；a先取0至6的標準代表。


- L(a) — Legendre值(a/7)
- p — 固定odd prime7





## 規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。


- calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。假設完整trial division的質數判準。
- mko_definition · cited — 先把a normalize modulo odd prime p。若p|a則(a/p)=0；若a是nonzero quadratic residue則為1；否則為-1。Classification由完整nonzero square table或root witness取得，不提前使用Euler criterion。p=2與composite modulus不在本節點domain；少量multiplicativity samples也不構成一般證明。 · mko-legendre-symbol





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

p=7

操作後

7\text{ odd prime};\quad L(a)=L(a\bmod7)

條件：無

規則：calc · 依賴：G1

葉節點依據：calc

2不整除7且3²>7，核prime domain，再把符號綁residue類。



S02 · implies操作前

x=1,2,3,4,5,6

操作後

\begin{array}{c|rrrrrr}x&1&2&3&4&5&6\\\hline x^2\bmod7&1&4&2&2&4&1\end{array}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01

葉節點依據：calc

不經Euler判準，直接完整計全部六個平方。



S03 · implies操作前

a\equiv0\pmod7

操作後

L(a)=0

條件：無

規則：mko_definition · 依賴：G1, S01

葉節點依據：mko_definition

先判zero分支，不把0平方的事實誤歸+1。



S04 · implies操作前

a\bmod7\in\{1,2,4\}

操作後

L(1)=L(2)=L(4)=1

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02, S03

葉節點依據：calc

完整表有非零根，分別可取1、3、2，故值+1。



S05 · implies操作前

a\bmod7\in\{3,5,6\}

操作後

L(3)=L(5)=L(6)=-1

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02, S03, S04

葉節點依據：calc

這三個非零類不在全部平方值內，故值−1。



S06 · implies操作前

a=0,1,2,3,4,5,6

操作後

L(a)=0,1,1,-1,1,-1,-1\text{ respectively}

條件：無

規則：mko_definition · 依賴：G1, S03, S04, S05

葉節點依據：mko_definition

三分支構成全部七個類的完整符號表。



S07 · implies操作前

-4\equiv3,\quad9\equiv2,\quad14\equiv0\pmod7

操作後

L(-4)=-1,\quad L(9)=1,\quad L(14)=0

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S06

葉節點依據：calc

以同一完整表核負數、大正數與zero類，展示normalize先行。



S08 · implies操作前

L(2)=1,\quad L(3)=-1,\quad2\cdot3=6

操作後

L(6)=-1=L(2)L(3)\text{ in this instance}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S06, S07

葉節點依據：calc

可核一個乘法性例子，但它不是一般乘法性定理證明。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S06, S07 — 整個分類未用half-power congruence，沒有以Euler判準循環定義。
- S07 · premise_audit · G1, S06 — 9有平方整數外觀不是理由；值+1是因residue2有root3。
- S06 · premise_audit · G1, S03, S04, S05 — 0、+1、−1三值無重疊，每類恰分類一次。
- S05 · premise_audit · G1, S02, S03, S04 — 不能只測x=1、2就宣告不存在根。
- S04 · premise_audit · G1, S02, S03 — 根只是witness；完整表還確定其他類的absence。
- S03 · premise_audit · G1, S01 — a=14是zero類，仍值0。
- S02 · premise_audit · G1, S01 — 完整表同時支援root witness與nonresidue absence。
- S01 · premise_audit · G1 — 符號的分母不是除法，a可負但p固定odd prime。





## 錯誤控制與反例

zero優先normalize後先判p|a，再分非零平方與非平方。

非循環本稿符號來自完整squares，不用Euler criterion定義。


- (14/7)=1因14≡0是平方。 → reject — zero分支專門輸出0。
- 同樣表直接定義Legendre符號(a/8)。 → reject — 8不是odd prime，不在本符號domain。
- 一次乘法例子證一般乘法性。 → reject — 只證2、3這一組，其他全稱量詞未處理。





## 結論與限制

模7符號對0、1、2、3、4、5、6依序為0、1、1、−1、1、−1、−1。







## 驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: bf6613da5aa41f52a17e16f75b5886f4fb614337c244c624146c4ed59148ad74
- original source SHA-256: 90e7d3c68f6ec4970520bf9ddc0f5ddc1a6905fc6b9958fe26e324b623ca2856
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-legendre-symbol-01.json)