# 第一個回到1的冪

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derivation-mko-multiplicative-order-mod-n-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

ord₈(−5)=ord₈(3)=2，φ(8)=4且2整除4，但order不等φ。

bounded modulus8的完整首回返與unit枚舉，另列undefined與order1。





## 已知條件與符號


- calc


- G1 — n=8，a=−5，使用乘法階的最小正回返定義。


- m — 最小正回返指數
- U_8 — 完整units





## 規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。


- calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。
- mko_definition · cited — 先核n≥2並normalize a mod n，gcd(a,n)=1。從k=1逐次建立完整power table到first return 1，禁止把任意return exponent當order。以完整residue enumeration計phi(n)，驗ord_n(a)|phi(n)。noncoprime與n<2時undefined；a≡1有order1，negative a先normalize。不自動宣稱order=phi、primitive root或混同additive order。 · mko-multiplicative-order-mod-n





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

n=8,\quad a=-5

操作後

a\equiv3\pmod8,\quad\gcd(3,8)=1,\quad n\ge2

條件：無

規則：calc · 依賴：G1

葉節點依據：calc

先正規化且核unit，Euclid8=2·3+2、3=2+1給gcd1。



S02 · implies操作前

k=1

操作後

3^1\equiv3\not\equiv1\pmod8

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01

葉節點依據：calc

從k=1而非k=0開始，第一個正冪未回返。



S03 · implies操作前

k=2

操作後

3^2=9\equiv1\pmod8

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S02

葉節點依據：calc

下一冪回到1，結合前步排除所有較小正指數。



S04 · implies操作前

3^1\ne1,\quad3^2=1\quad(\bmod8)

操作後

\operatorname{ord}_8(3)=2=\operatorname{ord}_8(-5)

條件：無

規則：mko_definition · 依賴：G1, S01, S02, S03

葉節點依據：mko_definition

首回返證書確定最小值2，而不是任意後續回返4。



S05 · implies操作前

k=1,2,3,4,5,6,7,8

操作後

\gcd(k,8)=1,2,1,4,1,2,1,8;\quad U_8=\{1,3,5,7\},\ \varphi(8)=4

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01

葉節點依據：calc

完整八項gcd清單確定φ4，不由order猜測。



S06 · implies操作前

m=\operatorname{ord}_n(a),\quad a^k\equiv1,\quad k=qm+r,\ 0\le r<m

操作後

1\equiv a^k\equiv(a^m)^qa^r\equiv a^r\Rightarrow r=0\Rightarrow m\mid k

條件：a is a unit; m is the least positive return; k is a positive return

規則：calc · 依賴：G1, S04, S05

葉節點依據：calc

帶餘除法與最小性證任何回返指數皆被order整除；本例k=φ8=4為回返。



S07 · implies操作前

m=2,\quad\varphi(8)=4

操作後

2\mid4,\quad2<4,\quad3^4\equiv1\pmod8

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S03, S05, S06

葉節點依據：calc

完整核divisibility但不相等；後續回返4不能替換order2。



S08 · implies操作前

a\equiv1\pmod8;\quad a=2\text{ or }n=1

操作後

\operatorname{ord}_8(1)=1;\quad\operatorname{ord}_8(2),\ \operatorname{ord}_1(a)\text{ undefined here}

條件：無

規則：calc · 依賴：G1, S01, S04, S07

葉節點依據：calc

1的第一正冪已回返故order1；非unit2及n<2不在本定義域。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S01, S04, S07 — undefined不是order0，也不混用模8的加法階。
- S07 · premise_audit · G1, S03, S05, S06 — 本例不自動宣稱primitive root或最大階。
- S06 · premise_audit · G1, S04, S05 — q≥0且r=0可成立；若r>0會與首回返最小性矛盾。
- S05 · premise_audit · G1, S01 — 4只是unit個數，不必等於此base的最小回返。
- S04 · premise_audit · G1, S01, S02, S03 — 負base與3同類，order只依類。
- S03 · premise_audit · G1, S02 — 這裡完整較小指數集合只有{1}，無漏檢。
- S02 · premise_audit · G1, S01 — a⁰=1不能被誤報order0。
- S01 · premise_audit · G1 — 非unit不啟動此order搜尋。





## 錯誤控制與反例

首回返從正指數1開始，列出到首個1前全部冪。

乘法非加法模8加法下3的階是8，但乘法階2，運算不可混淆。


- ord₈(3)=4因3⁴≡1。 → reject — 3²已回返，4不是最小。
- 每個unit階都等於φ(n)。 → reject — 本例2<4。
- ord₈(2)=0。 → reject — 2不是unit，本稿定義undefined。





## 結論與限制

ord₈(−5)=ord₈(3)=2，φ(8)=4且2整除4，但order不等φ。







## 驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: ce541cbfb8a5edcfd8f8ac31cb69007abb271f7722aee1a86a2a3de8d979582d
- original source SHA-256: a7c2b4919c706f641010eca03abbb0ccf5ca4a241cd70ff96070b6ead7244523
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-multiplicative-order-mod-n-01.json)