# 半徑、端點與完整係數律 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-series-radius-of-convergence/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-power-series-radius-of-convergence-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 對幾何係數 2^n 求 R，並展示端點及 0/infinity 邊界。 完整係數公式才給半徑證書；有限前綴不足。 ## 已知條件與符號 - algebra - epsilon - geom - harmonic_boundaries - G1 — 主級數 sum_{n≥0}2^n(x-1)^n；另考慮 endpoint law 2^n/(n+1)。 - R — 允許 0 或 infinity 的半徑 - r — 完整幾何比 ## 規則與來源 本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。 - mko_definition · cited — 對sum_{n≥0} a_n(x-c)^n，R可為0、有限正數或infinity。若|x-c|R則發散；|x-c|=R時不能由R單獨判定。本輪geometric law固定a_n=q^n；endpoint law固定a_n=R^(-n)/(n+1)^p；prefix boundary的兩序列在0≤n≤N皆為0，之後分別為q_1^(n-N-1)與q_2^(n-N-1)。Ratio test只在相應極限存在時可用，不能當一般定義。有限coefficient prefix不足以決定一般radius，且不得以只支援bounded-real supremum的規則排除R=0或infinity。 · mko-power-series-radius-of-convergence - algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。 - epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。 - geom · prerequisite — 有限幾何和為 (1-r^(N+1))/(1-r)（r≠1）；|r|<1 時餘項趨零，|r|≥1 的幾何項不趨零。 - harmonic_boundaries · prerequisite — 調和級數以二進位分塊每塊≥1/2 發散；交錯調和以偶奇部分和夾擠收斂。 ## 逐步主鏈 S01 · equivalent操作前 2^n(x-1)^n 操作後 r^n,\quad r=2(x-1) 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 整個冪級數化成幾何族，中心固定 1。 S02 · implies操作前 |x-1|<1/2 操作後 |r|<1\Longrightarrow\sum_{n\ge0}|r|^n<\infty 條件：無 規則：geom · 依賴：S01 葉節點依據：geom 有限和公式及消失尾項給內部絕對收斂。 S03 · implies操作前 |x-1|>1/2 操作後 |r|>1\Longrightarrow r^n\not\to0 條件：無 規則：geom · 依賴：S01 葉節點依據：geom 外部項不趨零，因此級數發散；R=1/2。 S04 · implies操作前 x=1+1/2\text{ or }1-1/2 操作後 r=1\text{ or }-1;\quad r^n\not\to0 條件：無 規則：algebra · 依賴：S01, S02, S03 葉節點依據：algebra 主幾何族兩個端點均發散，但這是另核項條件，不由半徑單獨決定。 S05 · implies操作前 a_n=2^n/(n+1),\quad x=1\pm1/2 操作後 \sum1/(n+1)\text{ diverges};\quad\sum(-1)^n/(n+1)\text{ converges conditionally} 條件：無 規則：harmonic_boundaries · 依賴：G1 葉節點依據：harmonic_boundaries 同半徑 endpoint law 在內部受幾何絕對尾界，外部比率最終>1；端點卻一發散一條件收斂。 S06 · implies操作前 a_n=n!,\quad x\ne0\text{ about center }0 操作後 |(a_{n+1}x^{n+1})/(a_nx^n)|=(n+1)|x|\ge2\text{ eventually};\quad R=0 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 任意非零 x 的項最終倍增，不能趨零；中心 x=0 只有首項。 S07 · implies操作前 a_n=1/n!,\quad x\in\mathbb R\text{ fixed} 操作後 |x|/(n+1)\le1/2\text{ eventually};\quad R=\infty 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 取整數 N>2|x|，尾項受 ratio 1/2 的幾何尾控制，對每個 x 絕對收斂。 S08 · implies操作前 a_n=b_n=0\ (0\le n\le N);\quad a_n=2^{n-N-1},\ b_n=3^{n-N-1}\ (n>N) 操作後 R_a=1/2,\quad R_b=1/3\text{ despite the same finite prefix} 條件：無 規則：geom · 依賴：G1 葉節點依據：geom 兩條完整律在有限前綴完全相同，之後尾端幾何率不同；有限零因子不改非中心收斂邊界。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · G1 — 半徑差異來自明示無限尾，而不是推測未知後項。 - S07 · premise_audit · G1 — x 固定後 N 可依 x，這足夠證逐點全實數收斂半徑無限。 - S06 · premise_audit · G1 — R=0 是合法邊界，不需普通有界集合 sup 規則排除。 - S05 · premise_audit · G1 — 端點使用獨立調和與交錯證書。 - S04 · premise_audit · S01, S02, S03 — 未把此族端點狀態外推全部同半徑冪級數。 - S03 · premise_audit · S01 — 發散由必要項條件，非僅公式分母符號。 - S02 · premise_audit · S01 — 必須用絕對值判內部，不只正 r。 - S01 · inverse_equivalence · G1 — 係數 2^n 與位移冪一起合併，未丟中心。 ## 錯誤控制與反例 端點另算內外半徑判準不處理等號，端點獨立證明。 全律係數規則要涵蓋全部 n。 - |x-c|=R 必絕對收斂。 → reject — 主幾何族端點項不趨零。 - ratio limit 不存在就沒有收斂半徑。 → reject — a_n=1+(-1)^n/2 的相鄰比交替為 1/3 與 3，極限不存在；但 1/2≤a_n≤3/2 使 |x|<1 受幾何支配，|x|>1 項不趨零，所以半徑 1。 - 前 N 個係數唯一決定半徑。 → reject — S08 給相同前綴、不同半徑的完整律。 ## 結論與限制 主族 R=1/2 且兩端發散；同半徑可有不同端點，R=0 與 infinity 均合法，有限前綴不決定 R。 ## 驗證及來源綁定 0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: b1b6d270c26519919c71c61c0d056e80a89da34835bc561d38bb1032610e97fc - original source SHA-256: b7e224751e7201b56434d747ff1921e9b689113df97dd8d49367655f50ab91d8 - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-power-series-radius-of-convergence-01.json)