# 隨機變數獨立：完整核對有限聯合表，零協方差只是後果 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-random-variable-independence/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-random-variable-independence-01 · production-20261019-adopted-96 ## 目標與範圍 （一）聯合表 J₁：X∈{0,1}、Y∈{0,1,2}，P(0,0)=1/12、P(0,1)=1/12、P(0,2)=1/6、P(1,0)=1/6、P(1,1)=1/6、P(1,2)=1/3。由聯合表聚合兩個邊際，核對全部 6 個值對的乘積式，判定 X、Y 是否獨立；並證明獨立推出任意座標事件 {X∈S} 與 {Y∈T} 獨立與 E[XY]=E[X]E[Y]。（二）聯合表 J₂：X 在 {−1,0,1} 上均勻、Y=X²。證明 Cov(X,Y)=0 但 X、Y 不獨立。（三）聯合表 J₃ 說明只核一個值對不夠。 在 MKO 的範圍內工作：完整的有限聯合支撐與精確有理質量屬於同一機率模型（假設 a1）；主要處理兩個變數，三個以上變數只在負向控制中說明兩兩獨立不推出相互獨立（假設 a2）。零協方差只作必要後果，不作反向證書。不處理連續分布或獨立同分布序列（下一節點），不改動 canonical MKO 或英文 edition。 ## 已知條件與符號 - prob_axioms - frac_rules - distributive - finite_sum_rules - numeric_evaluation - G1 — J₁：值集合 X∈{0,1}、Y∈{0,1,2}；p(0,0)=1/12、p(0,1)=1/12、p(0,2)=1/6、p(1,0)=1/6、p(1,1)=1/6、p(1,2)=1/3。 - G2 — J₂：值集合 X∈{−1,0,1}、Y∈{0,1}；p(−1,1)=1/3、p(0,0)=1/3、p(1,1)=1/3，其餘值對 (−1,0)、(0,1)、(1,0) 的質量為 0（即 Y=X²）。 - G3 — J₃：值集合 X∈{0,1}、Y∈{0,1,2}；p(0,0)=1/4、p(0,1)=1/4、p(0,2)=0、p(1,0)=1/4、p(1,1)=0、p(1,2)=1/4。 - p(x,y)=P(X=x,Y=y) — 聯合質量 - P(X=x),\ P(Y=y) — 由聯合表聚合的邊際 - J_1,J_2,J_3 — 三個聯合表 - E[\cdot] — 期望，對聯合表加權求和 - \operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y] — 協方差 - S,T — X 與 Y 的值集合子集（矩形事件） ## 規則與來源 - prob_axioms · prerequisite — 機率公理：P(A)≥0；P(Ω)=1；兩兩互斥事件的（可數）聯集機率等於各機率之和。由此 P(∅)=0、P(Aᶜ)=1−P(A)。 - frac_rules · prerequisite — 分數運算（分母皆非零）：a/c+b/c=(a+b)/c；(a/b)(c/d)=(ac)/(bd)；(a/b)/(c/d)=(ad)/(bc)（另需 c≠0）；a/b=(ak)/(bk)（k≠0）。 - distributive · prerequisite — 分配律：u(v+w)=uv+uw；配合乘法交換律也有 (v+w)u=vu+wu。 - finite_sum_rules · prerequisite — 有限和：Σ_{i=1}^{0} a_i=0、Σ_{i=1}^{n+1} a_i=Σ_{i=1}^{n} a_i + a_{n+1}；Σ(a_i+b_i)=Σa_i+Σb_i；Σ c·a_i=c·Σa_i。 - numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。 - def_unfold · prerequisite — 展開定義：把一個已定義的詞換成它的定義內容（或反向收回），命題的真假不變。 - case_analysis · prerequisite — 分情況論證：若 P∨Q 成立，且 P⇒R、Q⇒R 都已證，則 R 成立。所有情況必須涵蓋全部可能。 - mul_comm · prerequisite — 乘法交換律：uv=vu（在交換的數系中，例如 ℤ、ℚ、ℝ、ℂ）。 - mul_assoc · prerequisite — 乘法結合律：(uv)w=u(vw)。 - quantifier_negation · prerequisite — 量詞否定：¬(∀x, P(x)) 等價於 ∃x, ¬P(x)；¬(∃x, P(x)) 等價於 ∀x, ¬P(x)。 - and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。 - mko_rv_indep_def · cited — 有限值隨機變數 X,Y 獨立，若對每個值對 (x,y) 皆有 P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)。等價地，所有值事件逆像獨立。本輪完整核有限 joint table；零協方差只作必要後果而非反向證書。 · mko-random-variable-independence - mko_joint_def · cited — 二維有限聯合分布列出互異值對 (x,y) 及非負精確質量，總和恰為 1。邊際、矩形事件及單點質量都從同一 joint law 聚合。 · mko-finite-joint-distribution - expectation_def · prerequisite — 對有限聯合表，E[g(X,Y)]=Σ_{(x,y)} g(x,y)p(x,y)；特別地 E[X]=Σ_x x P(X=x)，Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]。 - L_rect · lemma — 若對所有值對 p(x,y)=P(X=x)P(Y=y)，則對值集合的任意子集 S、T：P(X∈S, Y∈T)=P(X∈S)P(Y∈T)。 - L_EXY · lemma — 若對所有值對 p(x,y)=P(X=x)P(Y=y)，則 E[XY]=E[X]E[Y]，所以 Cov(X,Y)=0。 ## 逐步主鏈 S01 · definition操作前 J_1:\ p(x,y)\ge0 操作後 \sum_{(x,y)}p(x,y)=\tfrac1{12}+\tfrac1{12}+\tfrac16+\tfrac16+\tfrac16+\tfrac13=1 條件：無 規則：mko_joint_def · 依賴：G1, mko_joint_def 葉節點依據：mko_joint_def + numeric_evaluation 先確認 J₁ 是同一個機率模型的完整聯合表：6 個互異值對、質量都非負，總和以 12 為分母是 1+1+2+2+2+4=12，即 1。之後的邊際與乘積都由這張表計算。 S02 · equivalent操作前 P(X=0)=\sum_{y}p(0,y),\ P(X=1)=\sum_{y}p(1,y) 操作後 P(X=0)=\tfrac1{12}+\tfrac1{12}+\tfrac16=\tfrac13,\ \ P(X=1)=\tfrac16+\tfrac16+\tfrac13=\tfrac23 條件：無 規則：prob_axioms · 依賴：S01, prob_axioms 葉節點依據：prob_axioms + frac_rules + numeric_evaluation 事件 {X=x} 是 3 個不交的值對事件 {X=x,Y=y} 的聯集，依可加性把該行相加（MKO：先由聯合表聚合邊際）。 S03 · equivalent操作前 P(Y=y)=\sum_{x}p(x,y) 操作後 P(Y=0)=\tfrac1{12}+\tfrac16=\tfrac14,\ P(Y=1)=\tfrac1{12}+\tfrac16=\tfrac14,\ P(Y=2)=\tfrac16+\tfrac13=\tfrac12 條件：無 規則：prob_axioms · 依賴：S01, prob_axioms 葉節點依據：prob_axioms + frac_rules + numeric_evaluation 同理按列相加。三個邊際之和 1/4+1/4+1/2=1，作為一致性核對。 S04 · definition操作前 X,Y\ \text{independent} 操作後 \forall x\in\{0,1\}\ \forall y\in\{0,1,2\}:\ p(x,y)=P(X=x)P(Y=y) 條件：無 規則：mko_rv_indep_def · 依賴：mko_rv_indep_def 葉節點依據：mko_rv_indep_def + def_unfold 依 MKO，獨立要求每個值對都通過乘積式；值集合的乘積有 2·3=6 對，全部都要核對，包括質量為 0 的值對（若有）。 S05 · implies操作前 x=0:\ P(X=0)=\tfrac13 操作後 \tfrac13\cdot\tfrac14=\tfrac1{12}=p(0,0),\ \tfrac13\cdot\tfrac14=\tfrac1{12}=p(0,1),\ \tfrac13\cdot\tfrac12=\tfrac16=p(0,2) 條件：無 規則：frac_rules · 依賴：S02, S03, G1 葉節點依據：frac_rules + numeric_evaluation 第一行的三個值對：乘積分別是 1/12、1/12、1/6，與 G1 的質量完全相同。 S06 · implies操作前 x=1:\ P(X=1)=\tfrac23 操作後 \tfrac23\cdot\tfrac14=\tfrac16=p(1,0),\ \tfrac23\cdot\tfrac14=\tfrac16=p(1,1),\ \tfrac23\cdot\tfrac12=\tfrac13=p(1,2) 條件：無 規則：frac_rules · 依賴：S02, S03, G1 葉節點依據：frac_rules + numeric_evaluation 第二行的三個值對：乘積分別是 1/6、1/6、1/3，也與質量相同。 S07 · implies操作前 6\ \text{of}\ 6\ \text{value pairs factor} 操作後 X,Y\ \text{independent under}\ J_1 條件：無 規則：case_analysis · 依賴：S04, S05, S06 葉節點依據：case_analysis + mko_rv_indep_def S05、S06 涵蓋 {0,1}×{0,1,2} 的全部 6 對（x=0 與 x=1 兩種情形窮盡），每一對都通過，依 S04 的定義 X 與 Y 獨立。這是對完整有限表的窮舉，不是抽樣。 S08 · implies操作前 S=\{1\},\ T=\{1,2\} 操作後 P(X\in S,Y\in T)=\tfrac16+\tfrac13=\tfrac12=\tfrac23\cdot\tfrac34=P(X\in S)P(Y\in T) 條件：無 規則：L_rect · 依賴：S07 葉節點依據：finite_sum_rules + distributive + prob_axioms MKO 說獨立等價於所有值事件逆像獨立。依引理 L_rect，值對的乘積式推出任意矩形事件的乘積式。例子：S={1}、T={1,2}，左邊 p(1,1)+p(1,2)=1/2，右邊 (2/3)(1/4+1/2)=(2/3)(3/4)=1/2。引理在子步 S08.1、S08.2 證明。 S09 · implies操作前 X,Y\ \text{independent} 操作後 E[XY]=E[X]E[Y],\ \ \operatorname{Cov}(X,Y)=0 條件：無 規則：L_EXY · 依賴：S07, expectation_def 葉節點依據：finite_sum_rules + distributive + expectation_def MKO 指出獨立可推出零協方差（有限值變數的二階矩自動有限）。依引理 L_EXY，由值對乘積式得 E[XY]=E[X]E[Y]。引理在子步 S09.1、S09.2 證明。這是必要後果，不是充分條件（見 S12）。 S10 · implies操作前 E[X]=\tfrac23,\ E[Y]=0\cdot\tfrac14+1\cdot\tfrac14+2\cdot\tfrac12=\tfrac54 操作後 E[XY]=1\cdot1\cdot\tfrac16+1\cdot2\cdot\tfrac13=\tfrac56=\tfrac23\cdot\tfrac54 條件：無 規則：numeric_evaluation · 依賴：S02, S03, S09, G1 葉節點依據：numeric_evaluation + expectation_def 直接核對 S09：E[XY] 只有 x=1 且 y≠0 的值對有貢獻，1/6+2/3=5/6；E[X]E[Y]=(2/3)(5/4)=10/12=5/6。兩者相等，Cov=0，與引理一致。 S11 · implies操作前 J_2:\ P(X=x)=\tfrac13\ (x=-1,0,1),\ P(Y=0)=\tfrac13,\ P(Y=1)=\tfrac23 操作後 E[X]=0,\ E[XY]=(-1)(1)\tfrac13+0+(1)(1)\tfrac13=0\ \Rightarrow\ \operatorname{Cov}(X,Y)=0-0\cdot\tfrac23=0 條件：無 規則：expectation_def · 依賴：G2, expectation_def, prob_axioms 葉節點依據：expectation_def + prob_axioms + numeric_evaluation J₂ 的邊際：X 在三個值上各 1/3；Y=0 只來自 (0,0)，機率 1/3；Y=1 來自 (−1,1) 與 (1,1)，機率 2/3。E[X]=(−1+0+1)/3=0；E[XY] 中只有兩個非零項 −1/3 與 1/3，相加為 0。所以 Cov(X,Y)=0。 S12 · implies操作前 p(0,1)=0,\ P(X=0)P(Y=1)=\tfrac13\cdot\tfrac23=\tfrac29 操作後 0\neq\tfrac29\ \Rightarrow\ X,Y\ \text{not independent, although}\ \operatorname{Cov}=0 條件：無 規則：quantifier_negation · 依賴：S11, G2, mko_rv_indep_def 葉節點依據：quantifier_negation + mko_rv_indep_def + numeric_evaluation 值對 (0,1) 不可能出現（X=0 時 Y=0），質量 0，但乘積 2/9≠0。乘積式在一個值對失敗，所以 X 與 Y 不獨立，雖然 S11 給出 Cov=0。這說明零協方差不能反推獨立：MKO 指出的誤解。 S13 · implies操作前 J_3:\ P(X=0)=\tfrac12,\ P(Y=0)=\tfrac12,\ P(Y=1)=\tfrac14 操作後 p(0,0)=\tfrac14=\tfrac12\cdot\tfrac12\ \text{but}\ p(0,1)=\tfrac14\neq\tfrac18=\tfrac12\cdot\tfrac14 條件：無 規則：quantifier_negation · 依賴：G3, prob_axioms, mko_rv_indep_def 葉節點依據：quantifier_negation + prob_axioms + numeric_evaluation J₃ 的邊際：P(X=0)=1/4+1/4+0=1/2，P(X=1)=1/2；P(Y=0)=1/2，P(Y=1)=1/4，P(Y=2)=1/4。值對 (0,0) 通過乘積式，若只核這一對會誤判獨立；但 (0,1) 失敗：1/4≠1/8。所以 J₃ 下 X、Y 不獨立，必須核完所有值對。 S14 · implies操作前 \text{S07},\ \text{S08},\ \text{S09},\ \text{S12},\ \text{S13} 操作後 J_1:\ X\perp Y;\ J_2:\ \operatorname{Cov}=0,\ X\not\perp Y;\ J_3:\ X\not\perp Y 條件：無 規則：and_intro_elim · 依賴：S07, S08, S09, S10, S12, S13 葉節點依據：and_intro_elim 合併：J₁ 的 6 個值對全部通過，X、Y 獨立，並推出矩形事件獨立與零協方差；J₂ 零協方差但不獨立；J₃ 一個值對通過但不獨立。 ## 局部子步與引理 S08.1 · equivalent操作前 P(X\in S,Y\in T) 操作後 \sum_{x\in S}\sum_{y\in T}p(x,y) 條件：無 規則：prob_axioms · 依賴：prob_axioms, mko_joint_def 葉節點依據：prob_axioms + mko_joint_def 事件 {X∈S, Y∈T} 是值對事件 {X=x,Y=y}（x∈S、y∈T）的不交聯集，依可加性它的機率是這些質量之和。 S08.2 · implies操作前 \sum_{x\in S}\sum_{y\in T}P(X=x)P(Y=y) 操作後 \Big(\sum_{x\in S}P(X=x)\Big)\Big(\sum_{y\in T}P(Y=y)\Big)=P(X\in S)P(Y\in T) 條件：p(x,y)=P(X=x)P(Y=y)\ \forall x,y 規則：distributive · 依賴：S08.1, finite_sum_rules, distributive 葉節點依據：finite_sum_rules + distributive + prob_axioms 代入假設 p(x,y)=P(X=x)P(Y=y)，內層和提出與 y 無關的 P(X=x)，外層和再提出 Σ_y P(Y=y)（有限和的分配律）；最後兩個和依可加性就是 P(X∈S) 與 P(Y∈T)。S08.1 與 S08.2 合起來證得引理 L_rect。 S09.1 · implies操作前 E[XY]=\sum_{x}\sum_{y}xy\,p(x,y) 操作後 E[XY]=\sum_{x}\sum_{y}\big(xP(X=x)\big)\big(yP(Y=y)\big) 條件：p(x,y)=P(X=x)P(Y=y)\ \forall x,y 規則：expectation_def · 依賴：expectation_def 葉節點依據：expectation_def + mul_comm + mul_assoc 依期望定義對所有值對求和，再把每個 p(x,y) 換成 P(X=x)P(Y=y)，並用乘法交換、結合律把每一項重排成 (xP(X=x))(yP(Y=y))。 S09.2 · equivalent操作前 \sum_{x}\sum_{y}\big(xP(X=x)\big)\big(yP(Y=y)\big) 操作後 \Big(\sum_{x}xP(X=x)\Big)\Big(\sum_{y}yP(Y=y)\Big)=E[X]E[Y] 條件：無 規則：finite_sum_rules · 依賴：S09.1, finite_sum_rules 葉節點依據：finite_sum_rules + distributive + expectation_def 有限雙重和的分配律把它分解成兩個單和的乘積，正是 E[X] 與 E[Y]。所以 Cov=E[XY]−E[X]E[Y]=0。S09.1 與 S09.2 合起來證得引理 L_EXY。 ## 逐步反向審查 - S14 · sufficient_goal_reduction · S07, S08, S09, S12, S13, and_intro_elim — 目標是三個任務的合取；各部分由所列步驟正向證得，H⇒G 由合取引入。 - S13 · premise_audit · quantifier_negation, prob_axioms, numeric_evaluation — 一個值對通過不推出全稱（N11），一個值對失敗就否定全稱（N12）。 - S12 · premise_audit · mko_rv_indep_def, quantifier_negation, numeric_evaluation — 否定全稱只需一個失敗的值對（N10）；質量 0 的值對也必須核對。 - S11 · premise_audit · expectation_def, prob_axioms, numeric_evaluation — 精確計算（N9）；零協方差在此只是一個事實，尚未推出任何獨立性結論。 - S10 · premise_audit · S09, numeric_evaluation — 這是對 J₁ 的獨立重算（N8），不是引理的證明。 - S09.2 · inverse_equivalence · finite_sum_rules, distributive — 有限和的分配律是等式，雙向成立。 - S09.1 · premise_audit · expectation_def, mul_comm, mul_assoc — 代入需要全部值對的乘積式。 - S09 · premise_audit · S07, L_EXY — 只宣稱獨立 ⇒ 零協方差；反向由 J₂ 否定。 - S08.2 · premise_audit · S08.1, finite_sum_rules, distributive, prob_axioms — 需要全部值對的乘積式；只有部分值對成立時，代入不合法。 - S08.1 · inverse_equivalence · prob_axioms, mko_joint_def — 可加性是等式，雙向成立；值對互異保證不重複計算。 - S08 · premise_audit · S07, L_rect, numeric_evaluation — 反向（矩形事件獨立 ⇒ 值對獨立）取 S={x}、T={y} 即得，但本步不需要；數字由 N7 核對。 - S07 · sufficient_goal_reduction · S04, S05, S06, case_analysis — 目標：獨立。足夠條件：6 對全部通過；H⇒G 由定義，H 由已知正向證得。 - S06 · premise_audit · frac_rules, numeric_evaluation — 精確比較（N5、N6）。 - S05 · premise_audit · frac_rules, numeric_evaluation — 每個等式都是精確有理數比較（N4、N13）。 - S04 · premise_audit · mko_rv_indep_def — 只展開定義；量化範圍是完整的值對集合，不是幾個樣本。 - S03 · inverse_equivalence · prob_axioms, frac_rules — 精確計算，兩邊同值（N3）。 - S02 · inverse_equivalence · prob_axioms, frac_rules — 精確有理數相加，兩邊同值（N2）。 - S01 · premise_audit · mko_joint_def, G1 — 只核資格（N1）；若總和不是 1，就不是機率模型，之後的判定無意義。 ## 錯誤控制與反例 零協方差不是獨立證書MKO 指出的誤解是由零協方差直接宣稱獨立。S09 證明獨立 ⇒ Cov=0，但 J₂ 中 Y 完全由 X 決定（Y=X²），Cov 卻為 0。零協方差只排除「線性」關聯，不排除其他依賴。 只核一個值對不夠J₃ 中值對 (0,0) 滿足 1/4=(1/2)(1/2)，但 (0,1) 不滿足。獨立量化所有值對，包括質量為 0 的值對（J₂ 的 (0,1) 正是質量 0 的值對失敗）。 只看邊際不夠J₃ 的邊際是 X：(1/2,1/2)、Y：(1/2,1/4,1/4)。具有相同邊際的獨立表是 (1/4,1/8,1/8; 1/4,1/8,1/8)，與 J₃ 不同。邊際不決定聯合分布，所以必須由聯合表逐對比較。 - J₂ 中 Cov(X,Y)=0，所以 X 與 Y 獨立 → reject — p(0,1)=0，但 P(X=0)P(Y=1)=2/9。 - J₃ 中 P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)，所以 X 與 Y 獨立 → reject — (0,1) 失敗：1/4≠(1/2)(1/4)=1/8。 - J₃ 與某個獨立表有相同的邊際，所以 J₃ 下 X、Y 獨立 → reject — 邊際不決定聯合表；J₃ 的 p(0,1)=1/4，獨立表的是 1/8。 - X、Y 為獨立的公平 0/1 變數，Z=(X+Y) mod 2；X、Y、Z 兩兩獨立，所以三者相互獨立 → reject — P(X=0,Y=0,Z=1)=0，但 (1/2)³=1/8；兩兩獨立不推出相互獨立。 ## 結論與限制 J₁ 的邊際為 P(X=0)=1/3、P(X=1)=2/3、P(Y=0)=1/4、P(Y=1)=1/4、P(Y=2)=1/2，全部 6 個值對都滿足 p(x,y)=P(X=x)P(Y=y)，所以 X 與 Y 獨立；因此任意座標事件 {X∈S} 與 {Y∈T} 也獨立（例：1/2=(2/3)(3/4)），且 E[XY]=5/6=E[X]E[Y]。J₂（Y=X²）中 Cov(X,Y)=0，但 p(0,1)=0≠2/9，所以不獨立。J₃ 中 (0,0) 通過而 (0,1) 失敗，不獨立。 - 第四個負向控制中「X、Y、Z 兩兩獨立」只作說明，未在本稿逐對核對。 - L_EXY 只用於有限值變數；無限值或連續變數需要可積性條件，不在本稿範圍內。 ## 驗證及來源綁定 14 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f - adopted source SHA-256: 7bf7621a002b7bd6ae4231f260d2c52de04b8a76aece92b976ea6093d4b8e054 - original source SHA-256: 7bf7621a002b7bd6ae4231f260d2c52de04b8a76aece92b976ea6093d4b8e054 - Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/production-20261019/guides/derivation-mko-random-variable-independence-01.json)