# 比值極限、幾何支配與 L=1 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-ratio-test-series/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-ratio-test-series-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 以完整有理比值證 L<1 收斂及 L>1 發散，並核 L=1 無結論。 先驗尾端非零與絕對比值極限，不從有限 ratios 推極限。 ## 已知條件與符號 - algebra - epsilon - real_complete - G1 — a_n=(1/2)^n/(n+1), b_n=2^n/(n+1)，全部 n≥0；另 c_n=1/(n+1)、d_n=1/(n+1)^2。 - L — 已證存在的絕對比值極限 - q — L 與 1 間支配比 ## 規則與來源 本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。 - mko_definition · cited — 對eventually nonzero序列明示L=lim |a_(n+1)/a_n|。L<1時另取L1時項絕對值最終不趨零而發散；L=1時判別無結論，p-series的p=2與p=1提供相反結果。必須取absolute ratio、證明極限而非只算有限多項，zero terms與不存在的ratio limit另行處理。 · mko-ratio-test-series - algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。 - epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。 - real_complete · prerequisite — 非空有上界的實集合有 supremum，故單調有界實數列收斂；這也適用非負級數有界部分和。 ## 逐步主鏈 S01 · equivalent操作前 a_n>0\quad(n\ge0) 操作後 \left|a_{n+1}/a_n\right|=\tfrac12\frac{n+1}{n+2}=\tfrac12-\frac1{2(n+2)} 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 所有項非零，完整絕對比值可用精確式直接取極限。 S02 · implies操作前 \frac1{2(n+2)}\to0 操作後 L_a=1/21/(2epsilon)，給真正極限及明示中間 q。 S03 · implies操作前 a_{n+1}/a_n<1/2<3/4\quad(n\ge0) 操作後 01,\quad b_{n+1}/b_n\ge3/2\ (n\ge2) 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 完整差式證極限 2，且 n≥2 時比值至少 3/2。 S06 · implies操作前 b_n\ge b_2(3/2)^{n-2}\quad(n\ge2) 操作後 b_n\not\to0;\quad\sum b_n\text{ diverges} 條件：無 規則：algebra · 依賴：S05 葉節點依據：algebra 歸納幾何增長，項甚至無界，所以違反級數收斂必要條件。 S07 · implies操作前 c_{n+1}/c_n=\frac{n+1}{n+2},\quad d_{n+1}/d_n=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^2 操作後 L_c=L_d=1 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 兩個有理比值相對於 1 的誤差趨零，因此極限同為 1；不是分母本身趨零，而且兩個比值都不是常數。 S08 · implies操作前 \sum c_n\text{ diverges by dyadic blocks};\quad\frac1{(n+1)^2}\le\frac1{n(n+1)}\ (n\ge1) 操作後 \sum d_n\text{ converges by telescoping upper comparison};\quad L=1\text{ is inconclusive} 條件：無 規則：epsilon · 依賴：G1, S07 葉節點依據：epsilon 調和每個二進位塊≥1/2；平方倒數尾上界望遠鏡和 1，因此同 L 有相反結果。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · G1, S07 — 判別無結論並不代表原級數沒有收斂性狀態。 - S07 · premise_audit · G1 — 沒有把 L=1 偷換為每一步 ratio=1。 - S06 · premise_audit · S05 — 不是將 ratio>1 的一項單獨當發散證明。 - S05 · premise_audit · G1 — 大於 1 的界是整個尾端。 - S04 · premise_audit · S03, real_complete — 需有界單調實數收斂性，並由幾何和獨立給上界。 - S03 · premise_audit · S01, S02 — 支配是每個 n，不是僅一個小比值。 - S02 · premise_audit · S01 — L