# 最終比較的方向與有限前綴 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-series-comparison-test/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-series-comparison-test-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 證一個有任意有限前綴的級數由幾何尾上比較收斂，並示下比較發散。 明示 cutoff N=2 之後的全部非負項；有限前綴不限制符號。 ## 已知條件與符號 - algebra - epsilon - nonnegative_series - G1 — a_0=5,a_1=-1，a_n=(3/4)2^{-n}（n≥2）；b_n=2^{-n}（n≥2）。 - N=2 — 全尾比較起點 - A_M — 非負尾部分和 ## 規則與來源 - mko_definition · cited — 對足夠大n明示0≤a_n≤b_n。若sum b_n收斂，則sum a_n收斂；若sum a_n發散，則sum b_n發散。題族以exact geometric tails、有限前綴與正下界證書核對；有限多項不影響級數收斂性。負項、反向不等式、只有有限多個sample或拿divergent upper bound推被比較級數發散，都不滿足判別責任。 · mko-series-comparison-test - algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。 - epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。 - nonnegative_series · prerequisite — 非負項部分和單調；若其有上界則由實數完備性收斂，若其無界則發散；有限前綴只加固定常數。 ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 n\ge2 操作後 0\le a_n=(3/4)2^{-n}\le2^{-n}=b_n 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 係數 3/4 介於 0 與 1，證每個尾項的同方向比較。 S02 · implies操作前 \sum_{n=2}^{M}b_n 操作後 \sum_{n=2}^{M}2^{-n}=1/2-2^{-M}\to1/2 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 有限幾何相減給上比較級數的獨立收斂證書。 S03 · implies操作前 A_M=\sum_{n=2}^{M}a_n 操作後 0\le A_M\le\sum_{n=2}^{M}b_n\le1/2 條件：無 規則：algebra · 依賴：S01, S02 葉節點依據：algebra 逐項非負比較相加得到所有尾部分和上界。 S04 · theorem_application操作前 A_M\text{ nondecreasing and bounded above} 操作後 \sum_{n=2}^{\infty}a_n\text{ converges} 條件：無 規則：nonnegative_series · 依賴：S01, S03 葉節點依據：nonnegative_series 非負性給單調，上界給完備性可用，這就是正向比較的實際證法。 S05 · implies操作前 \sum_{n=0}^{M}a_n=5-1+(3/4)\sum_{n=2}^{M}2^{-n} 操作後 \sum_{n=0}^{\infty}a_n=4+3/8=35/8 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1, S02, S04 葉節點依據：algebra 完整公式還能算精確和；有限前綴只加 4。 S06 · implies操作前 c_n=1,\quad d_n=1+2^{-n}\quad(n\ge2) 操作後 0\le c_n\le d_n,\quad\sum_{n=2}^{M}c_n=M-1 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 另取完整非負下比較，常數項的和無界。 S07 · implies操作前 \sum_{n=2}^{M}d_n\ge M-1\to\infty 操作後 \sum d_n\text{ diverges} 條件：無 規則：nonnegative_series · 依賴：S06 葉節點依據：nonnegative_series 發散的是下界級數才可推較大非負級數發散。 S08 · implies操作前 0\le u_n\le v_n\text{ eventually} 操作後 \sum v_n\text{ convergent}\Rightarrow\sum u_n\text{ convergent};\quad\sum u_n\text{ divergent}\Rightarrow\sum v_n\text{ divergent} 條件：\exists N\ \forall n\ge N:\ 0\le u_n\le v_n 規則：algebra · 依賴：S01, S04, S06, S07 葉節點依據：algebra 前面兩種部分和界論證對任意給定全尾比較有效，有限多前項由固定常數排除。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · S01, S04, S06, S07 — 這是有前提的方向命題，不是由幾何實例外推未驗比較。 - S07 · premise_audit · S06 — 發散上界沒有同方向結論。 - S06 · premise_audit · G1 — 新 c,d 與主 a,b 已清楚區分。 - S05 · premise_audit · G1, S02, S04 — 不把前綴符號當影響收斂性的尾證書。 - S04 · premise_audit · S01, S03 — 若允許任意負尾項，這個單調證法失效。 - S03 · premise_audit · S01, S02 — 不等式涵蓋所有 M≥2，不是有限 grid。 - S02 · premise_audit · G1 — 參考級數收斂不是從被比較級數猜來。 - S01 · premise_audit · G1 — 未對負前綴 a_1 強加非負比較。 ## 錯誤控制與反例 方向收斂看上界，發散看下界。 最終量詞指定 N 後對所有後項證非負比較。 - 上界級數發散則較小級數必發散。 → reject — 2^{-n}≤1/n（n≥1）但前者收斂後者發散。 - 有限多個比較成立就夠。 → reject — 需要每個 n≥N 的全稱尾端。 - a_1=-1 使最終比較不能用。 → reject — 前綴可分離，N=2 後全尾非負。 ## 結論與限制 主級數收斂為 35/8；正下界 c_n=1 迫使 d 級數發散。 ## 驗證及來源綁定 1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: fd28c54d3495eae6e7b299be008c76fd110252a14dcfe00ac96ae8711826fd0a - original source SHA-256: fd28c54d3495eae6e7b299be008c76fd110252a14dcfe00ac96ae8711826fd0a - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-series-comparison-test-01.json)