# 同一資料函數與兩個參數law

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derivation-mko-statistical-estimator-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

核total estimator並計算逐theta期望。

本節不由期望自動宣稱統計品質。





## 已知條件與符號


- work


- G1 — Θ={1/4,3/4}，Ω={00,01,10,11}；P_(1/4)=(9,3,3,1)/16，P_(3/4)=(1,3,3,9)/16。
- G2 — U(x)=(x1+x2)/4，依Ω順序的total table為(0,1/4,1/4,1/2)，目標參數為g(theta)=theta。


- θ — 固定但未知參數
- U — 同一total statistic





## 規則與來源


- mko_definition · cited — 有限parameter model與共同sample space上，statistic table只依observation。逐theta可計算expectation但本輪不宣稱unbiased、consistent、sufficient、identifiable或posterior；完整sampling distribution留後續節點。 · mko-statistical-estimator
- work · prerequisite — 有限law機率非負且總和一；statistic只依樣本，期望為所有outcomes的加權和。





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

\Omega=\{00,01,10,11\}

操作後

U=(0,1/4,1/4,1/2)

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, work

葉節點依據：work

每個outcome恰有一值，完整table給total函數。



S02 · implies操作前

U(x)=(x_1+x_2)/4

操作後

U\text{ does not depend on }\theta

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S01, work

葉節點依據：work

規則只讀兩個觀察bit，不讀未知參數。



S03 · implies操作前

x=01

操作後

u_{\rm obs}=U(01)=1/4

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S02, work

葉節點依據：work

estimate是函數在此次資料的值。



S04 · implies操作前

E_{1/4}[U]=0(9/16)+(1/4)(3/16)+(1/4)(3/16)+(1/2)(1/16)

操作後

E_{1/4}[U]=1/8

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S03, work

葉節點依據：work

在第一law完整加權，兩個中間outcomes都保留。



S05 · implies操作前

E_{3/4}[U]=0(1/16)+(1/4)(3/16)+(1/4)(3/16)+(1/2)(9/16)

操作後

E_{3/4}[U]=3/8

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S04, work

葉節點依據：work

第二law用9/16給11，而非沿用第一列。



S06 · implies操作前

E_{1/4}[U]=1/8,\quad E_{3/4}[U]=3/8

操作後

\theta\mapsto E_\theta[U]\text{ is a parameterwise table}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S05, work

葉節點依據：work

同函數的分布性質可隨theta改變。



S07 · implies操作前

V_\theta(x)=\theta

操作後

V_\theta\text{ is not a usable unknown-parameter estimator rule}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S06, work

葉節點依據：work

若為不同未知theta換常數規則，不能由資料執行。



S08 · implies操作前

U:\Omega\to\mathbb Q\text{ total and parameter-independent}

操作後

U\text{ qualifies as an estimator for this model}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, G2, S07, work

葉節點依據：work

完成函數資格；bias、variance、sufficiency須各另核。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, G2, S07, work — 兩個期望數字沒有被擴大成一致性或posterior結論。
- S07 · premise_audit · G1, G2, S06, work — 形式上每個Vtheta是函數，但不是此模型要求的同一資料函數。
- S06 · premise_audit · G1, G2, S05, work — 變的是law而不是estimator定義。
- S05 · premise_audit · G1, G2, S04, work — 不把不同theta的權重混合。
- S04 · premise_audit · G1, G2, S03, work — 01與10值相同但各自有質量。
- S03 · premise_audit · G1, G2, S02, work — estimate1/4不是整個四值函數U。
- S02 · premise_audit · G1, G2, S01, work — 兩個theta都使用同一個U table。
- S01 · premise_audit · G1, G2, work — 沒有漏掉11或多值entry。





## 錯誤控制與反例

total table四個outcomes逐一對應，不因同值合併而漏資料。

theta與資料同一U，兩套Ptheta，禁止暗換U。


- U在11沒定義也可稱total。 → reject — total要求每個carrier outcome有值。
- 令U(x)=theta即可做未知theta的資料估計。 → reject — 未知theta不能作資料規則的輸入。
- 觀察estimate1/4就是E_(1/4)U。 → reject — 完整加權期望為1/8。





## 結論與限制

U是同一total estimator；觀察01的estimate為1/4，兩law期望為1/8與3/8。







## 驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 7d2a71efe1386b0a4e2ae04a859c98e82bdbfb5e2aa1303f1a80575333c06239
- original source SHA-256: 17561f6cd64c683c14d172706c4eb1d4846352d8213e1cf1b580c63cbb581dce
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-statistical-estimator-01.json)