# 有限值IID的強律資格與固定n界線

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derivation-mko-strong-law-large-numbers-finite-valued-iid-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

對齊named SLLN前提，並明示prefix不是a.s.證明。

無限IID為前提；有限值SLLN為named theorem。





## 已知條件與符號


- work


- G1 — 在一個已給定機率空間上，(X_i)_{i≥1}為無限IID序列，對任意有限不同indices的joint law都因子分解為Bernoulli(1/2)的乘積。此為全序列前提，不從有限資料估出。


- bar X_n — 樣本平均
- μ — 共同邊際mean





## 規則與來源


- mko_definition · cited — 以明示infinite IID process certificate及normalized finite marginal law定義mu。SLLN結論為P(lim_{n→∞} n^{-1}sum_{i=1}^n X_i=mu)=1。exact families重算marginal mean、固定prefix的sample mean與固定n deviation event probability，但明示這些都不是a.s. convergence證書。non-IID與nonfinite-support只是本節scoped theorem不適用；finite prefix不證極限，wrong target不等於共同mean。 · mko-strong-law-large-numbers-finite-valued-iid
- work · prerequisite — 明示named theorem前提：給定機率空間上的無限IID有限值序列，其樣本平均a.s.收斂到共同mean；另假設binomial law及機率測度向下連續性。





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

\{0,1\},\quad p=(1/2,1/2)

操作後

p_0,p_1\ge0,\quad p_0+p_1=1

條件：無

規則：work · 依賴：G1, work

葉節點依據：work

先完整驗證共同有限邊際law。



S02 · implies操作前

\mu=0(1/2)+1(1/2)

操作後

\mu=1/2,\quad |X_i|\le1\text{ a.s.}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S01, work

葉節點依據：work

有限support給共同mean與有界可積性。



S03 · implies操作前

x_1,x_2,x_3,x_4=(1,0,1,1)

操作後

\bar x_4=3/4

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S02, work

葉節點依據：work

指定一段path prefix的樣本平均只為3/4。



S04 · implies操作前

S_4\sim\operatorname{Binomial}(4,1/2)

操作後

P(S_4=k)=(1,4,6,4,1)_k/16\quad(k=0,1,2,3,4)

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S03, work

葉節點依據：work

利用IID完整列固定n=4 law。



S05 · implies操作前

|S_4/4-1/2|\ge1/4

操作後

S_4\in\{0,1,3,4\},\quad P=10/16=5/8

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S04, work

葉節點依據：work

固定n偏差事件含端點等號，精確加四項。



S06 · implies操作前

\text{infinite IID common finite law}

操作後

P\!\left(\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i=1/2\right)=1\quad\text{(named SLLN)}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S05, work

葉節點依據：work

套用明示的有限值SLLN：無限IID、有限support與共同mean均有。



S07 · implies操作前

P(\lim_n\bar X_n=1/2)=1

操作後

\bar X_n\to1/2\quad\text{almost surely}

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S06, work

葉節點依據：work

收斂事件機率一等同a.s.結論，不保證每個抽象path。



S08 · implies操作前

X_i\equiv c\text{ a.s.}\quad\text{(boundary)}

操作後

\bar X_n=c\text{ a.s. for every }n

條件：無

規則：work · 依賴：G1, S07, work

葉節點依據：work

零variance的有限值law仍合格；強律不需要CLT的非退化性。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · G1, S07, work — nonfinite support僅超出本slice，不表示一般強律一定失敗。
- S07 · premise_audit · G1, S06, work — 全1事件E=交_{m≥1}{X1至Xm全為1}可測；有限prefix事件機率2^(-m)，由向下連續性得P(E)=lim 2^(-m)=0，不要求sample points本身是paths或singleton。
- S06 · premise_audit · G1, S05, work — 5/8不是這個極限事件機率；極限來自named theorem。
- S05 · premise_audit · G1, S04, work — k=2不在事件，k=1、3在事件。
- S04 · premise_audit · G1, S03, work — 五格點沒有省略任何樣本和。
- S03 · premise_audit · G1, S02, work — prefix值不同於共同mean1/2，沒有矛盾。
- S02 · premise_audit · G1, S01, work — boundedness綁所有i的共同law。
- S01 · premise_audit · G1, work — 這不單獨建立無限joint process。





## 錯誤控制與反例

過程與邊際有限law驗證與無限IID前提分別保留。

事件層次固定n偏差5/8與lim事件機率1不可互換。


- prefix平均3/4否定強律。 → reject — 極限不要求有限n等於mean。
- 強律必須σ²>0。 → reject — 常數IID序列也滿足此有限值強律。
- nonfinite support必違反所有SLLN。 → reject — 只是不屬本slice，其他強律有不同前提。





## 結論與限制

依named SLLN，平均a.s.趨1/2；固定n=4偏差機率5/8不證也不反證此極限。







## 驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: bdda8ad449130122c4fb072fb2338389ae3e3f6902e49ee7a1976ed50d7d5044
- original source SHA-256: da6d2c78524cf0fe83d2656b7f968e993ea5d1eb189113dbdbc2977b902653d6
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-strong-law-large-numbers-finite-valued-iid-01.json)