# 相對開集不等於母空間開集

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derivation-mko-subspace-topology-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

計算 Y={b,c} 的子空間拓撲與全部相對閉集。

完整有限母拓撲，所有相對補集在 Y 內取。





## 已知條件與符號


- sets
- topology
- definition_here


- G1 — X={a,b,c}，tau_X={空集,{a},{a,b},X}，Y={b,c}。


- Y — 子空間載體
- \tau_Y — 相對拓撲





## 規則與來源


- mko_definition · cited — tau_Y={U∩Y:U∈tau_X}，重複與空交集正規化。relative-open未必ambient-open且不要求U⊆Y；relative-closed以Y內補集open或F∩Y、F ambient closed判定。全部拓撲公理以Y作相對全集。 · mko-subspace-topology
- sets · prerequisite — 集合的聯、交、補集、包含與函數逆像以逐元素定義計算。
- topology · prerequisite — 拓撲含空集與全集，對任意聯及有限交封閉；有限集合族可完整核對。
- definition_here · prerequisite — 子空間拓撲為所有母開集與子空間載體的交；相對閉集是相對開集在子空間載體內的補集。





## 逐步主鏈

S01 · implies操作前

\varnothing\subset\{a\}\subset\{a,b\}\subset X

操作後

\tau_X\text{ is a topology},\quad Y\subseteq X

條件：無

規則：topology · 依賴：G1

葉節點依據：topology

母族是完整含兩端的有限鏈，聯交封閉；Y 確為子集。



S02 · equivalent操作前

\varnothing\cap Y,\ \{a\}\cap Y

操作後

\varnothing,\ \varnothing

條件：無

規則：sets · 依賴：G1

葉節點依據：sets

前兩個母開集的相交都空，保留重複直到正規化。



S03 · equivalent操作前

\{a,b\}\cap Y,\ X\cap Y

操作後

\{b\},\ Y

條件：無

規則：sets · 依賴：G1

葉節點依據：sets

後兩項給 {b} 與相對全集 Y。



S04 · definition操作前

\tau_Y=\{U\cap Y:U\in\tau_X\}

操作後

\tau_Y=\{\varnothing,\{b\},Y\}

條件：無

規則：definition_here · 依賴：S02, S03

葉節點依據：definition_here

去除重複後列出完整相對開集。



S05 · implies操作前

\varnothing\subset\{b\}\subset Y

操作後

\tau_Y\text{ is a topology on }Y

條件：無

規則：topology · 依賴：S04

葉節點依據：topology

再次以 Y 為全集核有限鏈的聯交公理。



S06 · definition操作前

\{Y\setminus V:V\in\tau_Y\}

操作後

\mathcal F_Y=\{Y,\{c\},\varnothing\}

條件：無

規則：definition_here · 依賴：S04

葉節點依據：definition_here

在 Y 中補集，得到全部相對閉集。



S07 · implies操作前

\{b\}\in\tau_Y

操作後

\{b\}\notin\tau_X

條件：無

規則：sets · 依賴：G1, S04

葉節點依據：sets

{b} 相對開但母空間不開，是兩個不同述詞。



S08 · implies操作前

Y\setminus\{c\}=\{b\}\in\tau_Y

操作後

\{c\}\text{ is relatively closed};\quad\{b\}\text{ is not relatively closed}

條件：無

規則：sets · 依賴：S06, S07

葉節點依據：sets

{c} 的相對補集開；{b} 的補集 {c} 不開。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · S06, S07 — 相對閉性完全由完整相對拓撲核對。
- S07 · premise_audit · G1, S04 — 母開集見證是 {a,b}，並非 {b} 自己。
- S06 · premise_audit · S04 — 若錯在 X 補集，會得到不是 Y 子集的集合。
- S05 · premise_audit · S04 — 全集項是 Y，不是 X。
- S04 · premise_audit · S02, S03 — 四個母開集都已取交，因此沒有漏掉相對開集。
- S03 · inverse_equivalence · G1 — 見證 {a,b} 不必包含於 Y。
- S02 · inverse_equivalence · G1 — 空交集仍是合法相對開集。
- S01 · premise_audit · G1 — 不從欲求子空間族反推母族合法。





## 錯誤控制與反例

交集全列逐一遍歷母開集，再去除重複。

相對全集相對補集與公理均固定使用 Y。


- 見證母開集必須包含於 Y。 → reject — {b} 的見證 {a,b} 不包含於 Y。
- {b} 在 X 中開。 → reject — 未列在完整母拓撲。
- Y 的相對全集仍是 X。 → reject — 相對拓撲的全集是 Y。





## 結論與限制

tau_Y={空集,{b},Y}，相對閉集為 {空集,{c},Y}。







## 驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 24419aa4e704355f75ed3b708e05ec2f2252aa18cea0d39bb65e43fd886167b6
- original source SHA-256: 24419aa4e704355f75ed3b708e05ec2f2252aa18cea0d39bb65e43fd886167b6
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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