# 中心平移與 factorial 的 Taylor 多項式

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derivation-mko-taylor-polynomial-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021



## 目標與範圍

以中心 a=1、order 2 構造指定三次多項式的 T_2。

只建有限 Taylor 多項式，不把有限 jet 當一般餘項或解析性證書。





## 已知條件與符號


- algebra
- polynomial
- definition_here


- G1 — f(x)=1+2(x-1)+3(x-1)^2-(x-1)^3，a=1，n=2。


- h=x-1 — 中心位移
- T_n — 有限 Taylor 多項式





## 規則與來源


- mko_definition · cited — 固定center a及order n≥0，並要求f^(k)(a)對0≤k≤n全部存在。T_n(x)=sum_{k=0}^n f^(k)(a)(x-a)^k/k!；n=0時為常數f(a)。Taylor polynomial本身不含remainder bound，也不保證無窮Taylor series收斂或等於f。若f本身是degree≤n的多項式則可exact重建；一般smooth函數不得由此外推analytic。 · mko-taylor-polynomial
- algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
- polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。
- definition_here · prerequisite — 中心 a、階數 n 的 Taylor 多項式為從 k=0 到 n 的 f^(k)(a)*(x-a)^k/k! 之和，須全部中心 jet 存在；n=0 時為 f(a)。





## 逐步主鏈

S01 · definition操作前

h=x-1

操作後

f(x)=1+2h+3h^2-h^3

條件：無

規則：definition_here · 依賴：G1

葉節點依據：definition_here

固定中心平移 h，所有 jet 與冪基底都用同一 a。



S02 · implies操作前

f'(x)=2+6h-3h^2

操作後

f(1)=1,\quad f'(1)=2

條件：無

規則：polynomial · 依賴：S01

葉節點依據：polynomial

h 對 x 的導數為 1，代 h=0 得前兩個 jet 值。



S03 · implies操作前

f''(x)=6-6h

操作後

f''(1)=6

條件：無

規則：polynomial · 依賴：S02

葉節點依據：polynomial

再次微分後於中心評估，補齊 0≤k≤2 的全部 jet。



S04 · definition操作前

T_2(x)=\sum_{k=0}^{2}\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k

操作後

T_2(x)=1+2h+\frac6{2!}h^2

條件：無

規則：definition_here · 依賴：S02, S03

葉節點依據：definition_here

將 jet 依 factorial 縮放後放進中心冪基底。



S05 · equivalent操作前

2!=2

操作後

T_2(x)=1+2(x-1)+3(x-1)^2

條件：無

規則：algebra · 依賴：S04

葉節點依據：algebra

精確除 factorial，得到所求有限多項式。



S06 · equivalent操作前

f(x)-T_2(x)

操作後

f(x)-T_2(x)=-(x-1)^3

條件：無

規則：algebra · 依賴：G1, S05

葉節點依據：algebra

完整原函數讓此例可直接相減；一般只有 jet 並無此完整差式。



S07 · implies操作前

f^{(3)}(1)=-6

操作後

T_3(x)=T_2(x)-h^3=f(x)

條件：無

規則：polynomial · 依賴：G1

葉節點依據：polynomial

此 f degree=3，加入三階係數 -6/3!=-1 才精確重建。



S08 · definition操作前

n=0\text{ as a separate order boundary}

操作後

T_0(x)=f(1)=1

條件：無

規則：definition_here · 依賴：S02, S05

葉節點依據：definition_here

零階沒有 x 的冪項，仍是定義良好的常數多項式。







## 局部子步與引理

本稿無局部子步。





## 逐步反向審查


- S08 · premise_audit · S02, S05 — 不能把 n=0 誤作沒有任何項。
- S07 · premise_audit · G1 — degree≤n 的特殊重建不外推任意 smooth 函數。
- S06 · inverse_equivalence · G1, S05 — 此等式不等於宣稱一般 Taylor 餘項定理已證。
- S05 · inverse_equivalence · S04 — 可反向由二次係數 3 乘 2! 回讀二階導數 6。
- S04 · premise_audit · S02, S03 — 二次係數不是裸導數 6。
- S03 · premise_audit · S02 — 沒有只給最高階而漏低階。
- S02 · premise_audit · S01 — 導數都在同一中心 1 評估。
- S01 · premise_audit · G1 — h 不是 x，不能省略 -1。





## 錯誤控制與反例

factorial每個 k 階導數除 k!，含 0!=1。

不帶餘項承諾有限多項式本身不保證任意區間誤差。


- 二次係數是 6。 → reject — 必除 2! 得 3。
- 相同 jet 可直接放到中心 0。 → reject — jet 綁中心 1，中心改變需重新評估。
- T_2 必等於完整 f。 → reject — 本例差為非零三次項。





## 結論與限制

T_2=1+2(x-1)+3(x-1)^2，差為 -(x-1)^3；T_3 才等於此 f。







## 驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。


- source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
- adopted source SHA-256: 933a8e53367e588e2e0bd950532d7fde4ed554f553b2e996d3de73948108fed0
- original source SHA-256: 933a8e53367e588e2e0bd950532d7fde4ed554f553b2e996d3de73948108fed0
- Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

[同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-taylor-polynomial-01.json)