# 非均勻梯形值與帶符號誤差 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-trapezoidal-quadrature/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-trapezoidal-quadrature-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 對 f(x)=x^2、nodes (0,1/2,2) 計算 T、I-T 與絕對誤差。 允許非均勻分割，完整二次函數給獨立積分；不證一般誤差界或收斂階。 ## 已知條件與符號 - algebra - polynomial - trap_def - integral_poly - G1 — f(x)=x^2，[a,b]=[0,2]，nodes (0,1/2,2)，values (0,1/4,4)。 - T — 梯形近似值 - E=I-T — 固定符號誤差 - h_i — 每段自己的寬度 ## 規則與來源 - mko_definition · cited — 來源語義轉述：合法非均勻分割的梯形值逐段以各自寬度乘端點值平均後加總；有限表不決定一般積分。 · mko-trapezoidal-quadrature - algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。 - polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。 - trap_def · prerequisite — 複合梯形值為各段 (x_i-x_(i-1))*(y_(i-1)+y_i)/2 之和；nodes 嚴格遞增、端點值對齊，n 段有 n+1 nodes。 - integral_poly · prerequisite — 實多項式有限區間積分逐項以 x^(k+1)/(k+1) 原始函數計算。 ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 0<1/2<2,\quad\#\text{nodes}=3 操作後 n=2,\quad\#\text{values}=3 條件：無 規則：trap_def · 依賴：G1 葉節點依據：trap_def 合法分割有兩段三節點，值陣列長度相符。 S02 · equivalent操作前 (f(0),f(1/2),f(2)) 操作後 (0,1/4,4) 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1, S01 葉節點依據：algebra 由完整函數獨立回算全部端點值。 S03 · equivalent操作前 h_1=x_1-x_0,\quad h_2=x_2-x_1 操作後 h_1=1/2,\quad h_2=3/2 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1, S01 葉節點依據：algebra 兩段寬度不同，不能偷換成單一 h。 S04 · implies操作前 T_1=\tfrac12\tfrac{0+1/4}{2},\quad T_2=\tfrac32\tfrac{1/4+4}{2} 操作後 T_1=1/16,\quad T_2=51/16 條件：無 規則：trap_def · 依賴：S02, S03 葉節點依據：trap_def 每段使用自己的寬度乘自己的端點平均。 S05 · equivalent操作前 T=T_1+T_2 操作後 T=52/16=13/4 條件：無 規則：algebra · 依賴：S04 葉節點依據：algebra 精確加總兩段。 S06 · implies操作前 I=\int_0^2x^2\,dx 操作後 I=[x^3/3]_0^2=8/3 條件：無 規則：integral_poly · 依賴：G1 葉節點依據：integral_poly 完整二次函數允許不依樣本值的獨立 reference integral。 S07 · equivalent操作前 E=I-T=8/3-13/4 操作後 E=-7/12,\quad|E|=7/12 條件：無 規則：algebra · 依賴：S05, S06 葉節點依據：algebra signed error 固定 exact integral 減梯形值；另外報絕對誤差。 S08 · implies操作前 \ell(x)=mx+b,\quad u