# 三點域的精確上確界誤差 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-uniform-convergence-of-functions/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-uniform-convergence-of-functions-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 證 g_n(a)=1/(n+2),g_n(b)=-4/(n+2),g_n(c)=2/(n+2) 一致趨零。 完整有限域及全 n≥0 的有理尾項；N 不得依 x。 ## 已知條件與符號 - algebra - epsilon - definition_here - G1 — D={a,b,c}, g=0；三個公式對每個 n≥0 定義全部 g_n:D→R。 - E_n — 全域上確界誤差 - N — 共同尾端索引 ## 規則與來源 本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。 - mko_definition · cited — 使用有限domain及symbolic rational tails。逐點witness取有限最大值得該有限domain的一致witness；不可外推無限domain。另以sup gap與全稱tail核對，finite prefix不足。 · mko-uniform-convergence-of-functions - algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。 - epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。 - definition_here · prerequisite — 非空有限實數集合的 sup 是其最大值；一致收斂：每個正 epsilon 有一個共同 N，使全部 n≥N 及全部 x 的誤差小於 epsilon。 ## 逐步主鏈 S01 · implies操作前 n\ge0 操作後 n+2>0 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 所有點共用正分母，絕對值計算無除零問題。 S02 · equivalent操作前 (|g_n(a)|,|g_n(b)|,|g_n(c)|) 操作後 (1,4,2)/(n+2) 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1, S01 葉節點依據：algebra 逐點取絕對值，保留座標 b 的大小 4。 S03 · definition操作前 E_n=\sup_{x\in D}|g_n(x)-g(x)| 操作後 E_n=\max\{1,4,2\}/(n+2)=4/(n+2) 條件：無 規則：definition_here · 依賴：S02 葉節點依據：definition_here 有限完整域的上確界就是三個誤差的最大值，且在 b 取到。 S04 · implies操作前 \varepsilon>0,\quad N=\lfloor4/\varepsilon\rfloor+1 操作後 N>4/\varepsilon 條件：無 規則：epsilon · 依賴：S03 葉節點依據：epsilon 用 Archimedean 整數選擇，N 只依 epsilon。 S05 · implies操作前 n\ge N 操作後 |g_n(x)|\le E_n=4/(n+2)<\varepsilon\quad\forall x\in D 條件：x\in D,\ n\ge N 規則：algebra · 依賴：S03, S04 葉節點依據：algebra 全部尾端的分母均大於 4/epsilon，因此同時控制三點。 S06 · definition操作前 \forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N\ \forall x\in D 操作後 g_n\to0\text{ uniformly on }D 條件：無 規則：definition_here · 依賴：S05 葉節點依據：definition_here 量詞順序正好是共同 N 的一致收斂定義。 S07 · implies操作前 N_x=\lfloor |c_x|/\varepsilon\rfloor+1,\quad(c_a,c_b,c_c)=(1,-4,2) 操作後 \max_{x\in D}N_x=\lfloor4/\varepsilon\rfloor+1=N 條件：無 規則：epsilon · 依賴：G1 葉節點依據：epsilon 另一條有限最大值證法與精確 sup 誤差給同一證書。 S08 · implies操作前 \varepsilon=1/10,\quad N=41 操作後 E_n\le4/43<1/10\quad(n\ge41) 條件：無 規則：epsilon · 依賴：S04, S05 葉節點依據：epsilon 代一個有理 epsilon 作算術回查，但一般結論已由符號尾端證明。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · S04, S05 — 此數值核對沒有取代量化所有 epsilon 的證明。 - S07 · premise_audit · G1 — 最大存在是因域完整且有限。 - S06 · premise_audit · S05 — 不能改成先給 x 才選 N 來證一般一致收斂。 - S05 · premise_audit · S03, S04 — 對所有 n≥N 而非僅 n=N。 - S04 · premise_audit · S03 — N 的公式沒有 x。 - S03 · premise_audit · S02 — 不是只用若干點的最大值估未知無限域。 - S02 · inverse_equivalence · G1, S01 — 有號最大值不是絕對誤差最大值。 - S01 · premise_audit · G1 — 共同 n 與共同域保持不變。 ## 錯誤控制與反例 先取絕對值先列各點誤差，才求最大值。 共同索引N 只依 epsilon，並涵蓋全部後續 n。 - sup 誤差是 2/(n+2)。 → reject — 漏掉 b 的絕對誤差。 - N 可以依點 x 而不需共同上界。 → reject — 那只是逐點量詞。 - 有限網格 sup 必等於整個連續區間 sup。 → reject — 例如 h(x)=x(1-x) 在網格 {0,1} 最大值 0，但在 [0,1] 的 x=1/2 取值 1/4。 ## 結論與限制 sup 誤差恰為 4/(n+2)，共同 N=floor(4/epsilon)+1 證一致收斂。 ## 驗證及來源綁定 1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: 1a3da85dbb40310b278c7800673a12807c5d786870d07ca8dc757999c5f695d4 - original source SHA-256: 729e76f868ad91fc9a80212ab0f92d3ee8fb3af4d052e2d03b2201388c4fd253 - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-uniform-convergence-of-functions-01.json)