# 固定一個近似函數的 epsilon/3 傳遞 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-uniform-limit-continuity-theorem/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-uniform-limit-continuity-theorem-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 對 [0,1] 上的仿射擾動證一致收斂，並逐步傳遞連續性。 共同域與完整 sup 誤差；只固定一個 f_N，不要求全族共用 delta。 ## 已知條件與符號 - algebra - polynomial - epsilon - continuity_def - G1 — f_n(x)=2x+1+(3x-1)/(n+1)，n≥0，x∈[0,1]；f(x)=2x+1。 - N — 共同近似索引 - \delta — 固定 f_N 的連續半徑 - L_N — 仿射斜率 ## 規則與來源 本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。 - mko_definition · cited — 在共同domain上，每個f_n連續且sup_x |f_n(x)-f(x)|→0。題族用[0,1]上的affine perturbation、exact sup error與epsilon-N證書重算，並以epsilon/3 transfer把一個固定f_N的continuity傳給f。pointwise-only的x^n、uniform收斂到discontinuous limit但各項不連續、以及有限sample closeness都明示為失敗邊界。 · mko-uniform-limit-continuity-theorem - algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。 - polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。 - epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。 - continuity_def · prerequisite — 在共同域，f 於 x_0 連續指每個正 epsilon 有正 delta 控制全部域內 |x-x_0|0,\quad N=\lfloor6/\varepsilon\rfloor+1 操作後 \sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon/3\quad(n\ge N) 條件：無 規則：epsilon · 依賴：S02 葉節點依據：epsilon 同一 N 只依 epsilon，控制所有點與所有後項。 S04 · implies操作前 x_0\in[0,1],\quad L_N=2+3/(N+1)>0 操作後 \delta=\varepsilon/(3L_N)>0 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1, S03 葉節點依據：algebra 任取欲證連續的 x_0，固定前步選好的單一近似函數 f_N。 S05 · implies操作前 x\in[0,1],\quad|x-x_0|<\delta 操作後 |f_N(x)-f_N(x_0)|=L_N|x-x_0|<\varepsilon/3 條件：無 規則：algebra · 依賴：S01, S04 葉節點依據：algebra 仿射差值給固定近似函數的精確連續界。 S06 · implies操作前 |f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f(x_0)| 操作後 |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon 條件：無 規則：algebra · 依賴：S03, S05 葉節點依據：algebra 兩個一致誤差加一個固定函數連續誤差，三角不等式完成傳遞。 S07 · definition操作前 x_0\in[0,1]\text{ arbitrary},\quad\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0 操作後 f\text{ continuous on }[0,1] 條件：無 規則：continuity_def · 依賴：S04, S06, continuity_def 葉節點依據：continuity_def x_0 任意，對每點完成 epsilon-delta 定義；一般同樣傳遞只需每項連續及一致誤差。 S08 · implies操作前 u_n(x)=x^n\ (n\ge1),\quad u(x)=0\ (x<1),\ u(1)=1 操作後 u_n\to u\text{ pointwise but }|u_n(2^{-1/n})-u(2^{-1/n})|=1/2 條件：無 規則：algebra · 依賴：G1 葉節點依據：algebra 連續冪函數逐點極限在 1 不連續；每個 n 仍有誤差 1/2 的域內點，故不一致。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · G1 — 點可依 n 以否定 sup 控制，並非只核一個固定點。 - S07 · premise_audit · S04, S06, continuity_def — 未要求所有 f_n 共用一個 delta。 - S06 · premise_audit · S03, S05 — 兩端的近似誤差都需要同一 N 對全部 x 有效。 - S05 · premise_audit · S01, S04 — 端點也使用相對域中的 x，不需越出 [0,1]。 - S04 · premise_audit · G1, S03 — N 已固定才取 delta，delta 可依 N 與 epsilon。 - S03 · premise_audit · S02 — 不是先固定 x 再選 N。 - S02 · premise_audit · G1 — 不把有限網格最大值當完整區間 sup。 - S01 · premise_audit · G1 — 一致收斂本身不能替代這項前提。 ## 錯誤控制與反例 量詞順序先選與 x 無關的 N，再固定 f_N 取 delta。 三段誤差兩個一致近似誤差與中間連續誤差缺一不可。 - 逐點極限總是連續。 → reject — x^n 的極限在 1 不連續。 - 一致收斂不需各項連續也保極限連續。 → reject — 同一不連續函數的常值函數序列誤差恆零，極限仍不連續。 - 要所有 f_n 用同一 delta 才能證定理。 → reject — S04-S06 只固定一個 f_N 已足夠。 ## 結論與限制 精確 sup=2/(n+1) 證一致收斂；epsilon/3 傳遞證極限連續，沒有共用 delta 的要求。 ## 驗證及來源綁定 1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。 - source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f - adopted source SHA-256: 5b91758154756c5c6299fe5034cdb6883620b334d25e460b7f132e304c588e23 - original source SHA-256: 1da07516f1abb614567738a8bf1eec3d0b56736b28e9c367c0e769a458db9746 - Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW [同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）](https://ocme.evemisslab.com/data/derivations/coverage-20261021/guides/derivation-mko-uniform-limit-continuity-theorem-01.json)