# 公平Bernoulli平均的Chebyshev尾端 [← 導讀目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/) · [原始 MKO](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-weak-law-large-numbers/) 這是使用者已採用的自然語言教學導讀。有限／算術檢查不等於普遍證明；本輪未跑 Lean，各稿審查範圍見其修訂記錄。來源原有的狀態標籤保留為歷史資料。公式保留精確 TeX，不另造語意 AST。 derivation-mko-weak-law-large-numbers-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021 ## 目標與範圍 由全序列IID前提導出WLLN。 有限variance版弱大數律；只證依機率收斂。 ## 已知條件與符號 - work - G1 — 在一個已給定機率空間上，(X_i)_{i≥1}為無限IID序列，對任意有限不同indices的joint law都因子分解為Bernoulli(1/2)的乘積。此為全序列前提，不從有限資料估出。 - bar X_n — n項樣本平均 - N — epsilon-delta尾端起點 ## 規則與來源 - mko_definition · cited — 限明示IID通用證書、共同有限mean mu與variance sigma squared。independence先給Var(sample mean)=sigma squared/n，再用exact Chebyshev epsilon-delta tail證依機率收斂；有限模擬不足。 · mko-weak-law-large-numbers - work · prerequisite — 假設Chebyshev、期望線性與variance加法含covariance；獨立的有限二次矩變數covariance零。依機率收斂表示任意epsilon>0、delta>0皆有N，使所有n≥N的偏差機率P(|Y_n-Y|>epsilon)0 操作後 P(|\bar X_n-1/2|>\varepsilon)\le\frac1{4n\varepsilon^2} 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S05, work 葉節點依據：work Chebyshev的≥事件包含嚴格>事件，故同一上界可用。 S07 · implies操作前 \varepsilon,\delta>0,\quad N=\lfloor1/(4\varepsilon^2\delta)\rfloor+1 操作後 n\ge N\implies P(|\bar X_n-1/2|>\varepsilon)<\delta 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S06, work 葉節點依據：work 明示N嚴格大於臨界值，控制全部尾端。 S08 · implies操作前 \forall\varepsilon,\delta>0\ \exists N\ \forall n\ge N 操作後 \bar X_n\xrightarrow{P}1/2 條件：無 規則：work · 依賴：G1, S07, work 葉節點依據：work 這是依機率收斂定義，完成有限variance WLLN例證。 ## 局部子步與引理 本稿無局部子步。 ## 逐步反向審查 - S08 · premise_audit · G1, S07, work — 不是a.s.收斂證明或有限n常態等式。 - S07 · premise_audit · G1, S06, work — epsilon與delta先任取，N可依它們改變。 - S06 · premise_audit · G1, S05, work — epsilon必須正且每個mean、variance來自同一n。 - S05 · premise_audit · G1, S04, work — 不能把分母n平方漏成n。 - S04 · premise_audit · G1, S03, work — 同分布本身不保證此式。 - S03 · premise_audit · G1, S02, work — 分母n必須正，取n≥1。 - S02 · premise_audit · G1, S01, work — 此定理可容許零variance，本例則為1/4。 - S01 · premise_audit · G1, work — i任意，非只對X1成立。 ## 錯誤控制與反例 獨立用途只在cross covariance消去時使用，不把同分布當獨立。 嚴格尾端N取floor臨界值加一，確保